專題03均值不等式及其應(yīng)用一、鞏固提升練【題型一】“1”的代換：基礎(chǔ)思維型【題型二】“1”的代換：分母和定型【題型三】“1”的代換：湊配系數(shù)型【題型四】“1”的代換：分離常數(shù)型【題型五】“1”的代換：換元型【題型六】“1”的代換：綜合難題【題型七】消元型【題型八】換元型【題型九】二次型：因式分解【題型十】三元型【題型十一】三元型因式分解【題型十二】“1”的代換：萬能k型【題型十三】均值其錯(cuò)：均值用兩次【題型十四】均值不等式恒成立求參型二、能力培優(yōu)練熱點(diǎn)好題歸納【題型一】“1”的代換：基礎(chǔ)思維型知識(shí)點(diǎn)與技巧：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.1.（2020·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求出的最小值.【詳解】，，，且，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：D.2.（2022秋·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）設(shè)（為常數(shù)），且的最小值為，則的值為A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析：先由題得到，再把化成，再利用基本不等式求函數(shù)的最小值.詳解：由題得，所以=點(diǎn)睛:(1)本題主要考查基本不等式求最值,意在考查學(xué)生對(duì)該基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平和轉(zhuǎn)化能力.(2)本題的解題關(guān)鍵是常量代換，即把化成，再利用基本不等式求函數(shù)的最小值.3（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知,,且,則的最小值為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】因?yàn)?利用基本不等式,注意等號(hào)成立的條件,即可求得答案.【詳解】當(dāng)且僅當(dāng),取等號(hào),即,結(jié)合,可得時(shí),取得最小值．故選:A.4.（2019秋·全國·高二專題練習(xí)）已知兩個(gè)正數(shù)a，b滿足，則的最小值是()A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)題意，分析可得，對(duì)其變形可得，由基本不等式分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，正數(shù)，滿足，則；即的最小值是；故選．5.（2021·安徽省六安中學(xué)高一期中）下列運(yùn)用基本不等式求最值，使用正確的個(gè)數(shù)是①已知，由，求得的最小值為2②由，求得的最小值為2③已知，由，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，把代入得的最小值為4.A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】A【解析】根據(jù)基本不等式求最值得條件：一正、二定、三相等逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)與同號(hào)時(shí)，；當(dāng)與異號(hào)時(shí)，，故①不正確.對(duì)于②，，當(dāng)，即，等號(hào)成立的條件不存在，故②不正確.對(duì)于③，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，由于，積不是定值，故③不正確；故選：A【題型二】“1”的代換：分母和定型知識(shí)點(diǎn)與技巧：均值不等式有分母的題型較多，一般情況下，見到分?jǐn)?shù)型，多對(duì)分母采取適當(dāng)?shù)呐錅悂砬蠛?，或者差，看看和差是否是定值，如果是定值，則可以配湊拆分，進(jìn)行”1“的代換求解1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，則的最小值為（

）A．16 B．18 C．8 D．20【答案】B【分析】將轉(zhuǎn)化為，發(fā)現(xiàn)所求式子兩個(gè)分母和為定值1，即，所以運(yùn)用“1”的靈活代換及均值不等式即可求解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以（?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立），故選：B.2.（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高一期末）函數(shù)（）的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由展開后，運(yùn)用基本不等式可得所求最小值，注意取值條件.【詳解】由，可得，，僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.故選：B3.（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，則的值可以是．【答案】5（答案不唯一，只要不小于即可）【分析】由基本不等式“1”的代換求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則.故答案為：5（答案不唯一，只要不小于即可）4.（2022秋·廣東廣州·高一廣州市番禺區(qū)大龍中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則的最小值為（

）.A．9 B． C．5 D．【答案】B【分析】首先將所給的不等式進(jìn)行恒等變形，然后結(jié)合均值不等式即可求得其最小值，注意等號(hào)成立的條件.【詳解】.，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值2.的最小值為.故選B.5.【題型三】“1”的代換：湊配系數(shù)型1.（2021·高一單元測(cè)試）若，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】，再利用基本不等式即可得出答案.【詳解】解：2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足4x+3y＝4，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】將4x+3y＝4變形為含2x+1和3y+2的等式，即2(2x+1)+(3y+2)＝8，再由換元法、基本不等式換“1”的代換求解即可．【詳解】由正實(shí)數(shù)x，y滿足4x+3y＝4，可得2(2x+1)+(3y+2)＝8，令a＝2x+1，b＝3y+2，可得2a+b＝8，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴的最小值為.故選：A．3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，且，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】利用變形為，將變形后利用均值不等式求解.【詳解】因?yàn)?所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：D4.（2020秋·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，則取得最小值時(shí)的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，得，利用基本不等式化簡即可求得最值，并求得等號(hào)成立時(shí)的值.【詳解】依題意得，，由，得.因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，結(jié)合，知，.故選:B.5.（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，且，則的最小值為.【答案】12【分析】，展開后利用基本不等式可求．【詳解】∵，，且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故的最小值為12．故答案為：12．【題型四】“1”的代換：分離常數(shù)型1.（2022·高一單元測(cè)試）已知正實(shí)數(shù)，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將變?yōu)?，即可得，因此將變?yōu)?，結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，，故，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故選：C2.（2022秋·江西宜春·高一江西省豐城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知x，y為正實(shí)數(shù)，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】x，y為正實(shí)數(shù)，利用基本不等式求的最小值.【詳解】x，y為正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.最小值為6，故選：A3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，且，則（

）A．有最小值為 B．有最小值為C．有最大值為 D．有最大值為【答案】A【分析】對(duì)變形得到，利用基本不等式求出最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，故，即取等號(hào).故選：A.4.（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）若，，則的最小值是（

）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】C【分析】化簡，再根據(jù)基本不等式求最小值即可【詳解】因?yàn)椋?，所?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立)，所以的最小值是20.故選：C5.（2022秋·湖南長沙·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)，，若，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】依題意可得，利用基本不等式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，，且，所以，所以?dāng)且僅當(dāng)，即，或時(shí)取等號(hào)；故選：D【題型五】“1”的代換：換元型1.（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用換元法和基本不等式即可求解.【詳解】令，，則，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故選：A.2.（2022春·河南洛陽·高二洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用雙換元法化簡后，根據(jù)基本不等式計(jì)算【詳解】，令，，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故有最小值．故選：B3.．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）已知均為正實(shí)數(shù)，，則的最小值是.【答案】4【分析】將看成一個(gè)整體，將所求式轉(zhuǎn)化為常見二元最值問題，借助“1”的代換，適當(dāng)變形后利用基本不等式求解即可.【詳解】設(shè)，，原題轉(zhuǎn)化為：已知，，且，求的最小值.由.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值為4.故答案為：4.4.（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，若，則的最小值是.【答案】【分析】將用與表示，湊配常數(shù)1，使用“1”的代換與基本不等式求解.【詳解】設(shè)，由對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得，得所以整理得即所以.經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，等號(hào)可取到.故答案為：5.（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）已知且，則的最小值為（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【分析】令，結(jié)合可得，由此即得，展開后利用基本不等式即可求得答案.【詳解】由題意得，，令，則，由得，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)取等號(hào)，也即，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為9，故選：B【題型六】“1”的代換：綜合難題1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若正實(shí)數(shù)滿足.則的最小值為.【答案】/【分析】將化為，然后利用帶入可化為，最后妙用“1”可得.【詳解】已知且，整理得...①而.將①式代入得.又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為故答案為：2.．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，且，的最小值為m，的最大值為n，則mn為，【答案】【分析】根據(jù)條件等式利用基本不等式中“1”的妙用可求得，由并結(jié)合即可求得，便可得出.【詳解】由可得，由可得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；即的最小值為；，所以，即；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；即的最大值為；所以.故答案為：3.（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，，則的最大值為．【答案】/【分析】將化為，繼而將變形為，展開后利用基本不等式即可求得答案.【詳解】由已知，，，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為.故答案為：.4.（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，且，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】先把轉(zhuǎn)化為，再將，根據(jù)基本不等式即可求出．【詳解】，且，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故的最小值為，故選：D．5.（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，且，，則（

）A．有最大值，無最小值 B．有最大值，有最小值C．無最大值，有最小值 D．無最大值，無最小值【答案】C【分析】對(duì)代數(shù)式進(jìn)行變形處理利用基本不等式即可得解.【詳解】當(dāng)無限接近0時(shí)，為正數(shù)，趨近于正無窮大，所以無最大值，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，即最小值為2故選：C【題型七】消元型1.（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，且，則的最小值為．【答案】3【分析】由已知得，代入，然后由基本不等式得最小值．【詳解】因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故答案為：3．2.（2020秋·上海普陀·高一曹楊二中?？计谀┤魧?shí)數(shù)且，則的最小值為【答案】【解析】根據(jù)，，變形，利用基本不等式求解最值.【詳解】實(shí)數(shù)且，則當(dāng)時(shí)，即時(shí)取得等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：3．（2021·全國·高一專題練習(xí)）已知ab，a，b∈（0，1），則的最小值為A．4 B．.6 C． D．【答案】D【解析】根據(jù)代入，變形為，等價(jià)處理成，利用基本不等式求最值.【詳解】由題：ab，a，b∈（0，1），，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，解得當(dāng)時(shí)，取的最小值.故選：D4.（2021·全國·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)a，b∈（0，1）且，則的最小值為．【答案】【解析】先根據(jù)條件消掉b，將代入原式得，并用“1”的代換法，最后應(yīng)用基本不等式求其最小值．【詳解】解：因?yàn)閍b＝，所以b＝，因此＝，＝＝＝＝＝＝＝4+，當(dāng)且僅當(dāng)a＝，取“＝”，所以的最小值為，故答案為：5.（2022·浙江浙江·高一期中）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】經(jīng)轉(zhuǎn)化可得，，條件均滿足，即可得解.【詳解】根據(jù)題意可得，由，所以，由，可得，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：B.【題型八】換元型1.（2022秋·四川成都·高一校聯(lián)考期中）若實(shí)數(shù)、滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，，則，，可得出，利用基本不等式可求得的最大值.【詳解】令，，則，，且，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，的最大值為.故選：C.2.（2023·全國·學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)、、滿足，則的最小值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】設(shè)，由已知推出，將多變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】設(shè)，則，，則，則，即有，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)取等號(hào)，驗(yàn)證，時(shí)，，則，符合題意，；時(shí)，，則，，符合題意，故選：C3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】利用換元法表示出代入所求式子，化簡利用均值不等式即可求得最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，令，則且，代入中得：當(dāng)即時(shí)取“=”,所以最小值為1.故選：B4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，且，則的值最小時(shí)，實(shí)數(shù)（

）A． B．C． D．1【答案】A【分析】利用換元法,設(shè)，即，故，然后利用基本不等式求最值即可．【詳解】設(shè)，解得，所以，即，設(shè)，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即，則的值最小時(shí)，實(shí)數(shù)，故選:．5.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，且，則的最小值為．【答案】【分析】首先變量替換為，變形后得，再利用換元，結(jié)合基本不等式求最值.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，得，所以，記，所以，所以，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立，此時(shí)，.故答案為：【題型九】二次型：因式分解1.（2023春·四川宜賓·高二校考階段練習(xí)）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】法一：因式分解后根據(jù)式子特征，設(shè)，，從而表達(dá)出，結(jié)合基本不等式去除最小值；法二：采用三角換元，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換，利用三角函數(shù)有界性求出最小值.【詳解】法一：∵，∴可設(shè)，，∴，代入所求式子得，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為.法二：設(shè)，，代入已知等式得，，∴，其中，.∴，所以的最小值為.故選：D2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的最小值是（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【分析】對(duì)原式因式分解得，然后利用基本不等式即可求解.【詳解】由，得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是2.故選：A.3.（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為．【答案】【分析】化簡得，，再將看成整體，利用基本不等式求解最小值即可【詳解】由有，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).故答案為：4.（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為.【答案】【解析】已知條件可化為，故可設(shè)，從而目標(biāo)代數(shù)式可化為，利用基本不等式可求其最大值.【詳解】由，得，設(shè)，其中.則，從而，記，則，不妨設(shè)，則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即最大值為.故答案為：.5.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知0＜a＜1，0＜b＜1，且，則的最小值是．【答案】【解析】轉(zhuǎn)化條件為，令，進(jìn)而可得，轉(zhuǎn)化條件為，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】已知，由得，即，令，所以，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號(hào).故答案為：．【題型十】三元型1.（2022春·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知正數(shù)滿足，則的最小值A(chǔ)． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，題干條件變形利用基本不等式可得，代入所求式子化簡整理，再次利用均值不等式即可求解.【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值，故選：．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求得及的取值范圍，再把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的代數(shù)式，利用函數(shù)的單調(diào)性去求的取值范圍即可解決【詳解】由，可得，則，則，令，則，又在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，則，即故選：C3.（2022秋·浙江·高一階段練習(xí)）已知，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】設(shè)，，，即可表示出、、，再利用基本不等式計(jì)算可得.【詳解】解：設(shè)，，，則，，，且，，，∴，，，∴，令，∴.當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)等號(hào)成立.（如，即時(shí)等號(hào)成立）.∴的最小值為；故選：B．4.（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）設(shè)a，b，c，d均為大于零的實(shí)數(shù)，且abcd＝1，令m＝a（b+c+d）+b（c+d）+cd，則a2+b2+m的最小值為（）A．8 B．4+2 C．5+2 D．4【答案】B【分析】根據(jù)條件可得，然后利用重要不等式和基本不等式可求出的最小值．【詳解】解：，，，均大于零且，，，當(dāng)且僅當(dāng)，，，即，時(shí)取等號(hào)，的最小值為．故選：．5.（2023春·天津河?xùn)|·高二天津市第七中學(xué)校考階段練習(xí)）若，，，，則的最小值為．【答案】/【分析】令，則，由此可將變形為，結(jié)合基本不等式，即可求得答案。【詳解】由題意，，，，得：，設(shè)，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，故的最小值為，故答案為：【題型十一】三元型因式分解1.（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考二模）若a，b，c均為正數(shù)，且滿足，則的最小值是（

）A．6 B． C． D．【答案】C【分析】利用因式分解法，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】，因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，所以有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，故選：C2.．（2022秋·江蘇常州·高一江蘇省奔牛高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，，則的最小值為（）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】利用因式分式法，結(jié)合分式的運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，的最小值為1，故選：B3.（2022·高一課時(shí)練習(xí)）若、、均大于0，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】注意,而,從而溝通了問題與已知的聯(lián)系,然后利用基本不等式求最值.【詳解】解：、、均大于0,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”,的最大值為.故選:C【題型十二】“1”的代換：萬能k型知識(shí)點(diǎn)與技巧：基本特征及方法：有“分子”與“分母”的和型定值?？梢苑蛛x“分子”與“分母”項(xiàng)，與所求的項(xiàng)一致，構(gòu)造“1”的代換求范圍消去“分母”或者“分子”，構(gòu)造余下的“分子”或者“分母”的一元二次不等式求解。關(guān)鍵的特征：所求的“分子”或者“分母”項(xiàng)與題干中的“分子”或者“分母”項(xiàng)一致（或者系數(shù)是線性關(guān)系），否則無法解所構(gòu)造的一元二次不等式。當(dāng)然，也可以通過換元，把所求的設(shè)為新元，在進(jìn)行構(gòu)造。1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知、，且，則的取值范圍是.【答案】【解析】由題意可得，將題中等式變形為，在等式兩邊同時(shí)乘以，利用基本不等式可得出關(guān)于的二次不等式，解此二次不等式可得出的取值范圍.【詳解】、，，，，，所以，即，，解得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.因此，的取值范圍是.故答案為：.2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)、滿足，則的最大值為.【答案】【分析】在等式兩邊同時(shí)乘以，利用基本不等式可得出關(guān)于的不等式，即可解得的最大值.【詳解】因?yàn)?，所以即，化簡得，①因?yàn)?，（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以①式化為，即解得，由，解得，所以當(dāng)且時(shí)，的最大值為.故答案為：.3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為正數(shù)，且，則的最大值為．【答案】【分析】等式化為，兩邊平方，令，由基本不等式可得，即可求出.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即，令，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即，所以的最大值為8.故答案為：．4.（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，若，則的最小值是（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】A【分析】設(shè)，將變形整理，用含k的式子表示，這樣會(huì)出現(xiàn)互為倒數(shù)的形式，再利用基本不等式即可求解.【詳解】解：設(shè)，則，∴∴整理得：，由得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”.∴，解得或（舍去）,即當(dāng)時(shí)，取得最小值8，故選：A.5.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A． B．1 C．2 D．9【答案】D【分析】利用基本不等式以及一元二次不等式求解.【詳解】因?yàn)?，所?所以，即所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，解得或時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)有最大值為9.故選:D.【題型十三】均值易錯(cuò)：均值用兩次1.（2022秋·四川宜賓·高二四川省宜賓市第四中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知a，b∈R，且，則的最小值是．【答案】2【分析】兩次利用基本不等式即可得出結(jié)論.【詳解】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1＝b時(shí)取等號(hào)，其最小值是2，故答案為：2．2.（2022秋·山東東營·高二勝利一中?？计谀┮阎獙?shí)數(shù)x，y滿足，若，則z的最小值是【答案】8【分析】先由基本不等式放縮，然后再用基本不等式得最小值．【詳解】因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)．故答案為：8．3.（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，則的最小值為.【答案】6【分析】對(duì)式子進(jìn)行變形，然后利用基本不等式求解即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，即取等號(hào)，所以的最小值為6.故答案為：64.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，，則的最小值為（

）A． B．2 C．6 D．【答案】D【分析】基本不等式乘1法，構(gòu)造法解決即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，（應(yīng)用基本不等式時(shí)注意等號(hào)成立的條件）所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即且時(shí)，等號(hào)成立，故最小值為，故選：D5..（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）已知正數(shù)a，b滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先參變分離得，再利用，與相乘，然后連續(xù)運(yùn)用兩次基本不等式即可.【詳解】依題意，．又，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，前后兩個(gè)不等號(hào)中的等號(hào)同時(shí)成立，所以的取值范圍為故選：【題型十四】均值不等式恒成立求參型1.（2023·全國·高一專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式對(duì)任意恒成立，則正實(shí)數(shù)a的取值集合為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意可得對(duì)任意恒成立，由基本不等式可得最小值，再由一元二次不等式的解法，可得的取值集合.【詳解】由題意可得對(duì)任意恒成立，由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得等號(hào)，則，解得.故選：C.2.（2023·全國·高一專題練習(xí)）當(dāng)，時(shí)，恒成立，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將左側(cè)分式的分子因式分解成的形式，再利用均值不等式的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算即可以得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為．所以，即．故選：A.3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式求出，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為，然后解不等式即可.【詳解】恒成立，即，又，上述兩個(gè)不等式中，等號(hào)均在時(shí)取到，，，解得且，又，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.4.．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）若關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值集合為（

）A．（－1，4] B．（0，4） C．（0，4] D．（1，4]【答案】C【分析】由題意可得對(duì)任意恒成立，由基本不等式可得最小值，再由一元二次不等式的解法，可得的取值集合.【詳解】由題意可得對(duì)任意恒成立，由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取得等號(hào)，則，解得.故選：C.5.（2022秋·廣東清遠(yuǎn)·高一連州市連州中學(xué)校考階段練習(xí)）已知不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)m的最小值是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】將不等式左邊變形后利用基本不等式求出最小值為，再解不等式可得，從而可得結(jié)果.【詳解】不等式對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x，y恒成立，又，，即，所有，得，即正實(shí)數(shù)m的最小值是4．故選：B.培優(yōu)練一、單選題1．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）已知且，則的最小值為（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【分析】令，結(jié)合可得，由此即得，展開后利用基本不等式即可求得答案.【詳解】由題意得，，令，則，由得，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)取等號(hào)，也即，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為9，故選：B2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若正數(shù)x，y滿足，則的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】方法一

由，從而，利用基本不等式求解；方法二

對(duì)原條件式轉(zhuǎn)化得，得到，利用基本不等式求解；【詳解】解：方法一

由條件得，由，知，從而，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)．故的最小值為5．方法二

對(duì)原條件式轉(zhuǎn)化得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，即，時(shí)取等號(hào)．故的最小值為5．故選：D3．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】由題意得到關(guān)于的表達(dá)式，再利用換元法與基本不等式即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，則，由，得，令，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，則的最小值為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用表示，從而將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式，由此利用基本不等式即可得解.4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由，得到，再利用“1”的代換求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立．故選：C5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）實(shí)數(shù)，，滿足：，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】用立方和公式和完全平方公式將用與表示，再分離出，使用基本不等式求解即可.【詳解】∵，∴，∴，∴，∴，∵，，令，則易知與均不為且符號(hào)相同，∴，解得或.（此時(shí)，可通過驗(yàn)證時(shí)，滿足題意，，結(jié)合選項(xiàng)確定選項(xiàng)D正確.）又∵，，，，∴由基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴，又∵，∴，（當(dāng)時(shí)，），∴解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.∴綜上所述，的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題若忽視中的與同號(hào)，直接使用基本不等式求解，就容易錯(cuò)解，而優(yōu)先考慮與同號(hào)，并結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行特值驗(yàn)證，則可以很輕松的選出正確選項(xiàng).6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，且，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最小值為16 D．沒有最小值【答案】A【分析】先將題意整理成，然后利用基本不等式可得到，最后檢驗(yàn)是否成立即可【詳解】由，得.因?yàn)?，所以所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.由得,設(shè)函數(shù)，則由，得在上至少一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)，故存在，使得不等式中的等號(hào)成立，故的最小值為.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：這道題關(guān)鍵的地方在于檢驗(yàn)是否成立，需要構(gòu)造，并結(jié)合零點(diǎn)存在定理進(jìn)行驗(yàn)證7．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）已知正數(shù)a，b滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先參變分離得，再利用，與相乘，然后連續(xù)運(yùn)用兩次基本不等式即可.【詳解】依題意，．又，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，前后兩個(gè)不等號(hào)中的等號(hào)同時(shí)成立，所以的取值范圍為故選：8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】D【分析】令，則原不等式等價(jià)于，應(yīng)用柯西不等式得，再兩次應(yīng)用基本不等式求的最小值，注意最小值的取值條件.【詳解】令，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立，綜上，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：令，應(yīng)用柯西不等式求得，再利用基本不等式求的最值即可.二、多選題9．（2023秋·山西晉城·高一晉城市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿足，則（

）A．的最小值為4B．的最大值為C．的最大值為D．的最小值為【答案】ABCD【分析】根據(jù)條件等式求最值，可判斷A；直接利用基本不等式可判斷B，C；利用推出可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由于正實(shí)數(shù)a，b滿足,故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B，正實(shí)數(shù)a，b滿足，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D，∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確，故選：ABCD．10．（2023秋·河北保定·高一河北省唐縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，，且，則下列說法正確的是（

）A．a(chǎn)b有最大值 B．有最大值C．有最小值4 D．有最小值【答案】ABC【分析】利用基本不等式求最值判斷各選項(xiàng)．【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故ab有最大值，故A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，所以有最大值，故B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即有最小值4，故C正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．11．（2022·全國·高一專題練習(xí)）（多選）函數(shù)稱為取整函數(shù)，也稱高斯函數(shù)，其中表示不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)（）A．若，則的最小值為B．若，則的最大值為1C．若正數(shù)x，y滿足，則的最小值為9D．若，則的最小值為【答案】ABD【分析】對(duì)于A，易知，再由函數(shù)單調(diào)性可判斷；對(duì)于B，利用基本不等式可得，由此可判斷；