【課前小測】

1./(x)=：T那么/(/(-1))的值為___________.

2x,x<0

2.假如函數(shù)/+4)"為奇函數(shù),那么a的值為______

V74(3r-l)

3.設(shè)2"=5'=10,那么，+，=()

ab

(A)10(B)1(C)0(D)1

【學(xué)問框架】

【學(xué)問點(diǎn)】

1.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義

(1)對(duì)數(shù)的定義：一般地，假如。(。>0,。/1)滿意4?=乂，那么塞指數(shù)人叫做以。為底N

的對(duì)數(shù)，記作log,,N=6,其中“叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，式子log,,N叫做對(duì)

(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義函數(shù)y=log“x(a>叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定

義域是(。,+8)

(3)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像：如圖1所示，左圖為。>1時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)的大致圖像，右圖為°<4<1時(shí)

注：底數(shù)互為倒數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)圖像關(guān)于X軸對(duì)稱。

(4)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

1)定義域：(0,+幻)

2)值域：R

3)單調(diào)性：當(dāng)。＞1時(shí)，函數(shù)在(0,+8)上為增函數(shù)；當(dāng)0＜。＜1時(shí)，函數(shù)在(0,+8)上

為減函數(shù)

4)奇偶性：非奇非偶函數(shù)

5)值變性：

①當(dāng)。＞1時(shí)，x＞l時(shí)，y＞0,函數(shù)值為正，0＜x＜l時(shí)，＞＜0函數(shù)值為負(fù)；

②當(dāng)0＜。＜1時(shí)，x〉l時(shí)，?。?函數(shù)值為負(fù)，0cx＜1時(shí)，y＞0,函數(shù)值為正。

6)函數(shù)過定點(diǎn)(1,0)

(5)自然對(duì)數(shù)：通常將以無理數(shù)e為底數(shù)的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，記為log,N,并簡記為InN,

其中無理數(shù)e=2.71828……

通常將以10為底的對(duì)數(shù)函數(shù)表示為卜=lgx(x＞0)

【考點(diǎn)分類】

考點(diǎn)一.指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化：a'=N=x=log〃N(。＞0且。。1)

【例1】把以下指數(shù)式寫成對(duì)數(shù)形式：

1(1Yn

⑴54=625;(2)2-6=—;(3)-=5.73

64⑶

【例2】★(1)log,16=-4;(2)lg0.01=-2;(3)In10=2.303

2

要點(diǎn)二.對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算

(1)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)(a,b,A/,N>O,a#l)

a.log,(MN)=log“M+log“N

,M,,、，

b-log?—=log?Mz-log?7V

c.log(,M*=Nlog“M

&log”/哈og“b

(2)換底公式：log“6=

log,a

(3)對(duì)數(shù)恒等式：，°%.=汽(。,%>0且4*1)

(4)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：log“N=b=a'=N(a,N>0且awl)；指數(shù)函數(shù)歹=/與

對(duì)數(shù)函數(shù)V=k>g“x互為反函數(shù)(a>0且a#1)o

考點(diǎn)二.對(duì)數(shù)式的化簡和運(yùn)算

【例1】1g5—1g；=_.

2

i83x3隔2

【例2】I十算：-----------

lne+log4乙

64

111。2

10§3——X

【例3】計(jì)算：32—10g322.bg后3+(不)3=

乙/

考點(diǎn)三.換底公式的應(yīng)用

【例1】設(shè)log|47=a,14"=5，試用。、6表示Iog3s28

2

【例2】計(jì)算：310g39+log[4-8§=.

2

【例3】設(shè)Ig2=〃/g3=b,試用。、人表示log512。

考點(diǎn)四.對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖像

［例1］設(shè)。=ln2,b=log32,c=52,d=log,3,

2

那么()

(A)c<b<a<d(B)a<d<b<c

(C)<c<a<b(D)d<b<a<c

【例2】設(shè)a>l,函數(shù)/(x)=log,,X在區(qū)間［a,2?上的最大值與最小值之差為g,那么a等

于()

(A)41(B)2(C)2V2(D)4

【例3】函數(shù)y=a'.與y=-log〃x（a>0且awl）在同一坐標(biāo)系中的圖象只可能是（）

(A)(B)(C)(D)

考點(diǎn)五.不等式與函數(shù)

【例1】假設(shè)1080伍2+1)<108。(2。)<0,那么4的取值范圍是()

(A)(0,1)(B)(-,1)(C)(0,-)(D)(I,+8)

22

【例2】假設(shè)定義域?yàn)镽的偶函數(shù)/(x)在(0,+8)上是增函數(shù)且/(￡=0那么不等式

/(log4x)>0.的解集是

【例3】解關(guān)于x的不等式210g4(x-l)>log4[a(x-2)+l](a為常數(shù)且a>2)的解集。

考點(diǎn)六.對(duì)數(shù)與一次二次函數(shù)

10glx,x>1,

【例1】函數(shù)/(x)=(5的值域?yàn)?/p>

2r,x<l

【例2】函數(shù)y=J2_log3x的定義域是.

【例3】函數(shù)/(X)=炮1/+^+1)的定義域?yàn)镠的真子集，那么”的取值范圍是

考點(diǎn)七.對(duì)數(shù)的復(fù)合函數(shù)

/、[logx,x>0

[例1]函數(shù)/'(X)={/(X)=<{3

[2x,x<0

那么/(/("))=___________?

【例2】求函數(shù)y=log?(3+2x—F)的單調(diào)區(qū)間和值域

2

【例3】函數(shù)/(x)=log2(W^

(1)求/(x)的定義域；

(2)判定/(x)的奇偶性；

(3)判定并證明/(x)的單調(diào)性.

【易錯(cuò)題】

【例1】函數(shù)y=log(2.i)J3x—2的定義域是()

(A)fp+00'|⑻(；，l)u(l,+8)

?*2)f|,JU(l,+co)

【例2】a〉0,。#1,以下四個(gè)函數(shù)中表示相等函數(shù)的是（）

(A)歹=log“x與y=(log、.a)?(B)

(C)y=2x與y=log“a2x(D)yHog”/與丁=2bg〃x

［例3］計(jì)算(1g；-1g25)+100-5=

14

【例4】假設(shè)/=—,那么bg,。=

9t

【例5】設(shè)函數(shù)/(X)=log2(罐一6'),且/⑴=l,〃2)=log212。

⑴求出6的值;

(2)當(dāng)xc［1,2］時(shí),求/(X)的最大值.

【課后檢測】

1.函數(shù)y=Jlog3（x-1）的定義域是

2.3loS34-27?-lg0.01+lne3=()

(A)14(B)0(C)1(D)6

3.函數(shù)〃x)=lg(x+3)的定義域?yàn)?)

(A){x|x>—3}(B)R(C){x|x>-3|(D)|x|x>-21

4.假設(shè)實(shí)數(shù)a=2°」,6=log32,c=logo34,那么a,b,c的大小關(guān)系為（）

(A)a>b>c(B)b>a>c(C)c>a>b(D)a>c>b

5.假設(shè)log&a〉l,那么實(shí)數(shù)Q的取值范圍是.

5

6.假設(shè)log2(2x-l)<log2(-X+5),那么x的取值范圍

是.

【課后作業(yè)】

1.假設(shè)則/(X)的定義域是-----------------

2.假設(shè)3"=4,則log32的值等于()

(A)2a(B)a(C)-(D)-

24

3.,a>0且a￥l,假設(shè)log。2=/njog43=zi,

那么CP""，，=.

4.計(jì)算—#0.064+