關(guān)于立體幾何中球的內(nèi)切和外接問題完美版二、球與多面體的接、切定義1：若一個多面體的各頂點都在一個球的球面上，

則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體，

這個球是這個。定義2：若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，

則稱這個多面體是這個球的外切多面體，

這個球是這個。一、球體的體積與表面積①②多面體的外接球多面體的內(nèi)切球第2頁,共46頁，2024年2月25日，星期天剖析定義1一、由球心的定義確定球心在空間，如果一個定點與一個簡單多面體的所有頂點的距離都相等，那么這個定點就是該簡單多面體的外接球球心。第3頁,共46頁，2024年2月25日，星期天一、定義法針對講解1第4頁,共46頁，2024年2月25日，星期天

求正方體、長方體的外接球的有關(guān)問題2第5頁,共46頁，2024年2月25日，星期天2②出現(xiàn)正四面體外接球時利用構(gòu)造法(補(bǔ)形法)，聯(lián)系正方體。求正方體、長方體的外接球的有關(guān)問題例2.（全國卷）一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（）

A.B.C.D.第6頁,共46頁，2024年2月25日，星期天破譯規(guī)律-特別提醒2第7頁,共46頁，2024年2月25日，星期天球與正四面體內(nèi)切接問題3【例3】求棱長為a的正四面體內(nèi)切球的體積．第8頁,共46頁，2024年2月25日，星期天球與正四面體內(nèi)切接問題3第9頁,共46頁，2024年2月25日，星期天正四面體內(nèi)切、外接結(jié)論3

球內(nèi)接長方體的對角線是球的直徑。正四面體（棱長為a）的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r之比為R：r＝3：1.外接球半徑：

內(nèi)切球半徑：結(jié)論：正四面體與球的接切問題，可通過線面關(guān)系證出，內(nèi)切球和外接球的兩個球心是重合的，為正四面體高的四等分點，即定有內(nèi)切球的半徑(為正四面體的高)，且外接球的半徑．2、正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合。3、正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合。第10頁,共46頁，2024年2月25日，星期天1例4、正三棱錐的高為1，底面邊長為。求棱錐的全面積和它的內(nèi)切球的表面積。過側(cè)棱AB與球心O作截面(如圖)在正三棱錐中，BE是正△BCD的高，O1

是正△BCD的中心，且AE為斜高解法1：O1ABEOCD作OF⊥AE于FF設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則OA=1－r∵Rt△AFO∽Rt△AO1E

第11頁,共46頁，2024年2月25日，星期天例4、正三棱錐的高為1，底面邊長為。求棱錐的全面積和它的內(nèi)切球的表面積。

解法2：設(shè)球的半徑為r，則VA-BCD=VO-ABC+VO-ABD+VO-ACD+VO-BCD注意：①割補(bǔ)法，②O1ABEOCD第12頁,共46頁，2024年2月25日，星期天變式訓(xùn)練：一個正方體內(nèi)接于一個球，過球心作一截面，如圖所示，則截面的可能圖形是（）A

．①②Ｂ．②④Ｃ．①②③Ｄ．②③④①②③④第13頁,共46頁，2024年2月25日，星期天ABCDD1C1B1A1O球的內(nèi)接正方體的對角線等于球直徑。第14頁,共46頁，2024年2月25日，星期天變式訓(xùn)練：已知正四面體內(nèi)接于一個球，某人畫出四個過球心的平面截球與正四面體所得的圖形如下，

則（）

A．以下四個圖形都是正確的B．只有②④是正確的C．只有④是正確的D．只有①②是正確的①

②③④

D第15頁,共46頁，2024年2月25日，星期天ABCDOABCDO求正多面體外接球的半徑求正方體外接球的半徑解法2：第16頁,共46頁，2024年2月25日，星期天直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點。4解析：球內(nèi)接多面體，利用圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)求出小圓半徑，通常用到余弦定理求余弦值，通過余弦值再利用正弦定理得到小圓半徑，從而解決問題。第17頁,共46頁，2024年2月25日，星期天正棱錐的外接球的球心是在其高上5第18頁,共46頁，2024年2月25日，星期天正棱錐的外接球的球心是在其高上5第19頁,共46頁，2024年2月25日，星期天測棱相等的錐體頂點的投影在底面外接圓心6第20頁,共46頁，2024年2月25日，星期天若棱錐的頂點可構(gòu)成共斜邊的直角三角形，則共斜邊的中點就是其外接球的球心。7第21頁,共46頁，2024年2月25日，星期天破譯規(guī)律-特別提醒03第22頁,共46頁，2024年2月25日，星期天例題剖析-針對講解2第23頁,共46頁，2024年2月25日，星期天舉一反三-突破提升04第24頁,共46頁，2024年2月25日，星期天舉一反三-突破提升41、（2015海淀二模）已知斜三棱柱的三視圖如圖所示，該斜三棱柱的體積為______.第25頁,共46頁，2024年2月25日，星期天舉一反三-突破提升42、（2015鄭州三模）正三角形ABC的邊長為

，將它沿高AD翻折，使點B

與點C間的距離為

，此時四面體ABCD的外接球的體積為

。

等邊三角形第26頁,共46頁，2024年2月25日，星期天舉一反三-突破提升43.(2015南昌二模）某幾何體的三視圖如圖，該幾何體的頂點都在球O的球面上，球O的表面積是（）C第27頁,共46頁，2024年2月25日，星期天舉一反三-突破提升44.（2015石家莊一模）三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩互相垂直,Q為底面內(nèi)一點，若Q到三個側(cè)面的距離分別為3,4,5,則過點P和Q的所有球中，表面積最小的球的表面積為

第28頁,共46頁，2024年2月25日，星期天-29-考點一考點二考點三舉一反三-突破提升4第29頁,共46頁，2024年2月25日，星期天-30-考點一考點二考點三舉一反三-突破提升4第30頁,共46頁，2024年2月25日，星期天-31-舉一反三-突破提升4第31頁,共46頁，2024年2月25日，星期天-32-舉一反三-突破提升4第32頁,共46頁，2024年2月25日，星期天.四棱錐P—ABCD，底面ABCD是邊長為6的正方形，且PA=PB=PC=PD，若一個半徑為1的球與此四棱錐的各個面相切，則此四棱錐的體積為（）

A．15B．24C．27D．30舉一反三-突破提升4第33頁,共46頁，2024年2月25日，星期天舉一反三-突破提升4第34頁,共46頁，2024年2月25日，星期天舉一反三-突破提升4第35頁,共46頁，2024年2月25日，星期天舉一反三-突破提升4第36頁,共46頁，2024年2月25日，星期天舉一反三-突破提升4第37頁,共46頁，2024年2月25日，星期天舉一反三-突破提升4第38頁,共46頁，2024年2月25日，星期天正視圖側(cè)視圖俯視圖第39頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第40頁,共46頁，2024年2月25日，星期天第41頁,