2022-2023學(xué)年湖北省武漢市高一下冊(cè)數(shù)學(xué)六月考試題

（含解析）

一、單選題

1.從高一抽三名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，記事件/為“三名學(xué)生都是女生”，事件8

為“三名學(xué)生都是男生“，事件C為“三名學(xué)生至少有一名是男生"，事件。為“三

名學(xué)生不都是女生“，則以下錯(cuò)誤的是（）

A.事件Z與事件8互斥B.P（CHP（D）

C.事件Z與事件。互斥D.事件Z與事件。對(duì)立

2.甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若

從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，則選出的2名教師性別相同的概率是（）

2452

CD-

A.9-B.9-9-3

3.少年強(qiáng)則國(guó)強(qiáng)，少年智則國(guó)智.黨和政府一直重視青少年的率

一

A頻

Tg距

健康成長(zhǎng)，出臺(tái)了一系列政策和行動(dòng)計(jì)劃，提高學(xué)生身體素質(zhì).尹OS.三

06k一

S

05h二

二

了加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的營(yíng)養(yǎng)健康監(jiān)測(cè)，某校在3000名學(xué)生中，抽查了S04l-U

03h-

O.02l-

100名學(xué)生的體重?cái)?shù)據(jù)情況.根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布

O556065707580?g∕kg

直方圖如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）j

A.樣本的眾數(shù)為65B.樣本的第80百分位數(shù)為72.5

C.樣本的平均值為67.5D.該校學(xué)生中低于65kg的學(xué)生大約為IOoO人

4.在MBC中'角A、B、C的對(duì)邊分別為。、…，若意熹,C?=/+/",

則MBC是（）

A.鈍角三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

5.在斜三棱柱/8。-ZfG中，4,A）分別為側(cè)棱/4,84上的點(diǎn)，且知

BBa=A0A.,過(guò)％,B0,G的截面將三棱柱分成上下兩個(gè)部分體積之比為（）

A.2:1B.4:3C.3:2D.1:1

班級(jí)人數(shù)平均分?jǐn)?shù)方差

1I140705

6.在高三某次模擬考試中，甲、乙兩個(gè)班級(jí)的數(shù)學(xué)成績(jī)統(tǒng)乙60808

計(jì)如下表，則兩個(gè)班所有學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為（）.

A.6.5B.13

C.30.8D.31.8

7.在三棱錐1-8。中，△/BO和48CO都是等邊三角形，BD=6,平面4801平

面88,M是棱NC上一點(diǎn)，且4W=2∕C,則過(guò)M的平面截三棱錐Z-8CD外

接球所得截面面積的最大值與最小值之和為（）

A.24πB.25πC.26πD.27π

8.已知正四棱錐P-48C。的體積為36,底面/88的面積為18,點(diǎn)E、/分別

為P4、PC的中點(diǎn)，點(diǎn)G為PB的靠近點(diǎn)8的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)￡、F、G的平面將

該四棱錐分成上、下兩部分，截面形狀為四邊形，則該四邊形的面積為（）

ANB?座C?@ID?3石

555

二、多選題

9.一個(gè)不透明的袋中裝有黑、白兩種顏色的球各三個(gè)，現(xiàn)從中任意取出兩個(gè)球.

設(shè)事件P表示“取出的球都是黑球“，事件。表示“取出的球都是白球“，事件火

表示“取出的球中至少有一個(gè)黑球“，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.P和火是互斥事件B.P和。是對(duì)立事件

C.Q和及是對(duì)立事件D.。和R是互斥事件，但不是對(duì)立

事件

10.?18C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為α,b,C,α=√7,b=2,/=1,則（）

A.c=3B.sin8=且C.外接圓的面積為芋D.”8C的面

73

積為也

2

11.現(xiàn)有甲、乙、丙三位籃球運(yùn)動(dòng)員連續(xù)5場(chǎng)籃球比賽得分情況的記錄數(shù)據(jù)，已

知三位球員得分情況的數(shù)據(jù)滿足以下條件：甲球員：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是26,眾

數(shù)是24；乙球員；5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是29,平均數(shù)是26；丙球員：5個(gè)數(shù)據(jù)有1

個(gè)是32,平均數(shù)是26,方差是9.6；

根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，下列統(tǒng)計(jì)結(jié)論一定正確的是（）

A.甲球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分都不低于24分

B.乙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分都不低于24分

C.丙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分都不低于24分

D.丙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分的第60百分位數(shù)大于24

12.如圖，矩形/8CZ)中，AD=CAB=I陋,邊4D,BC的中點(diǎn)分別為E,F,

直線BE交/C于點(diǎn)G,直線。/交NC于點(diǎn)”.現(xiàn)分別將A∕8E,AC。尸沿BE,DF

折起，點(diǎn)4C在平面BEOE同側(cè)，則()

D.當(dāng)4C重合于點(diǎn)尸時(shí)，三棱錐尸-8"與三棱錐P-OEF外接球的公共圓的

周長(zhǎng)為IoJt

三、填空題

13.某校共有學(xué)生2000名，男生1200名，女生800名，現(xiàn)按比例分配樣本進(jìn)行

分層抽樣，從中抽取50名學(xué)生，則應(yīng)抽取的女生人數(shù)是人

14.將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次，記第一次得到的點(diǎn)數(shù)為X,第二次得

到的點(diǎn)數(shù)為人則bgQ+y)≥2的概率為.

15.某同學(xué)為了測(cè)量天文臺(tái)的高度，選擇附近學(xué)校宿舍樓三樓一陽(yáng)臺(tái)4A

到地面的距離/3為(15-5√J)m,在它們之間的地面上的點(diǎn)M(β,M,c

。三點(diǎn)共線)處測(cè)得陽(yáng)臺(tái)4天文臺(tái)頂C的仰角分別是15。和60。，在

陽(yáng)臺(tái)A處測(cè)得天文臺(tái)頂C的仰角為30。，假設(shè)”，CD和點(diǎn)M在同一平鼠二

DMB

面內(nèi)，則該同學(xué)可測(cè)得學(xué)校天文臺(tái)CO的高度為m.

16.設(shè)銳角“BC的三個(gè)內(nèi)角A.8.C的對(duì)邊分別為。.6.c,且c=1,力=2C,則"IBC

周長(zhǎng)的取值范圍為.一

四、解答題

17.已知函數(shù)"x)=αχ2-bχτ,集合P={1函,3,4},Q={2,4,6,8},若分別從集合尸,

。中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)4和6,構(gòu)成數(shù)對(duì)SM.

⑴記事件/為“函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［1，+8)”，求事件/的概率；

(2)記事件B為“方程∣∕(x)∣=2有4個(gè)根”，求事件B的概率.

18.從2022年秋季學(xué)期起，四川省啟動(dòng)實(shí)施高考綜合改革,實(shí)行高考科目“3+1+2”

模式.“3”指語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門(mén)統(tǒng)考學(xué)科，以原始分?jǐn)?shù)計(jì)入高考成績(jī)；“1”指考

生從物理、歷史兩門(mén)學(xué)科中“首選”一門(mén)學(xué)科，以原始分?jǐn)?shù)計(jì)入高考成績(jī)；“2”指

考生從政法、地理、化學(xué)、生物四門(mén)學(xué)科中“再選”兩門(mén)學(xué)科，以等級(jí)分計(jì)入高考

成績(jī).按照方案，再選學(xué)科的等級(jí)分賦分規(guī)則如下，將考生原始成績(jī)從高到低劃

分為兒B,C,D,E五個(gè)等級(jí)，各等級(jí)人數(shù)所占比例及賦分區(qū)間如下表：

將各等級(jí)內(nèi)考生的原始分依照等等級(jí)ABCDE

比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到賦分區(qū)間

人數(shù)比例15%35%35%13%2%

內(nèi)，得到等級(jí)分，轉(zhuǎn)換公式為

賦分區(qū)間[86,100][71,85][56,70][41,55][30,40]

=與子，其中毛，八分別表

示原始分區(qū)間的最低分和最高分，T1,弓分別表示等級(jí)賦分區(qū)間的最低分和最高

分，丫表示考生的原始分，7表示考生的等級(jí)分，規(guī)定原始分為乂時(shí)，等級(jí)分為小

計(jì)算結(jié)果四舍五入取整.某次化學(xué)考試的原始分最低分為50,最高分為98,呈連

續(xù)整數(shù)分布，其頻率分布直方圖如下：

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)按照等級(jí)分賦分規(guī)則，估計(jì)此次考試化學(xué)成績(jī)4等級(jí)

的原始分區(qū)間.

(3)用估計(jì)的結(jié)果近似代替原始分區(qū)間，若某學(xué)生化學(xué)成

績(jī)的原始分為90,試計(jì)算其等級(jí)分.

19.A∕8C的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,已知c="7,且"8C的面

⑴求C;

(2)若“8C內(nèi)一點(diǎn)P滿足/P=ZC,BP=CP,求NPNd

20.如圖1,在直角三角形/8C中，/C為直角，4=30。,。在ZC上,且D∕=oc=√L

作DEjL4B于E,將三角形ADE沿直線DE折起到ΛPDE所處的位置,連接PB,PC,

如圖2.

EB

m∣

⑴若平面尸。EI平面BCOE,求證：BE，PZ)；

(2)若二面角尸-OE-/為銳角，且二面角P-8C-E的正切值為手，求P8的長(zhǎng).

21.已知如圖1直角梯形Z8CD,AB//CD,/DAB=90°,AB=A,AD=CD=

2,E為28的中點(diǎn),沿EC將梯形ABCD折起(如圖2),使平面BED_L平面AECD.

(1)證明：BE，平面NEa)；

(2)在線段CD上是否存在點(diǎn)凡使得平面口8與平面EBC\

所成的銳二面角的余弦值為白若存在，求出點(diǎn)廠的位置：J——LA

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.某公園有一塊長(zhǎng)方形空地/88,如圖，AB=I,AD=A.為迎接“五一”觀

光游，在邊界BC上選擇中點(diǎn)E,分別在邊界/8、上取V、N兩點(diǎn)，現(xiàn)將三

角形地塊MEN修建為花圃，并修建觀賞小徑EM,EN,MN,且,

ΛMEN=-π.

(1)當(dāng)NBEM=9時(shí)，求花圃的面積;

6

⑵求觀賞小徑EM與EN長(zhǎng)度和的取值范圍.

答案解析

一、單選題

I.從高一抽三名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，記事件/為“三名學(xué)生都是女生”，事件8為“三名學(xué)生

都是男生"，事件C為“三名學(xué)生至少有一名是男生“，事件。為“三名學(xué)生不都是女生”，則

以下錯(cuò)誤的是（）

A.事件”與事件8互斥B.P(C)≠P(D)

C.事件/與事件?；コ釪.事件4與事件C對(duì)立

【正確答案】B

2.甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若從甲校和乙

校報(bào)名的教師中各任選1名，則選出的2名教師性別相同的概率是（）

24-56

A.~B.—C.-D.一

9999

【正確答案】B

3.少年強(qiáng)則國(guó)強(qiáng)，少年智則國(guó)智.黨和政府一直重視青少年的健康成長(zhǎng)，出臺(tái)了一系列政

策和行動(dòng)計(jì)劃，提高學(xué)生身體素質(zhì).為了加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的營(yíng)養(yǎng)健康監(jiān)測(cè)，某校在3000名學(xué)生

中，抽查了100名學(xué)生的體重?cái)?shù)據(jù)情況.根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示,

則下列結(jié)論正確的是（）

A頻率

T組距

0.06r-------------1I

0.05卜------

湍二F葉力

o?or∏Iτ?,

。556065707580,重∕kg

A.樣本的眾數(shù)為65B.樣本的第80百分位數(shù)為72.5

C.樣本的平均值為67.5D.該校學(xué)生中低于65kg的學(xué)生大約為IOoo

人

【正確答案】B

4.在Δ∕LSC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,若，—=—匕，c2=a2+b2-ab,

cosAcosB

則A45C是（

A.鈍角三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【正確答案】B

5.在斜三棱柱NBC-4Bg中，4，為分別為側(cè)棱/4，8片上的點(diǎn)，且知BK）=44,過(guò)

4，穌，G的截面將三棱柱分成上下兩個(gè)部分體積之比為（）

A.2:1C.3:2D.1:1

【正確答案】A

6.在高三某次模擬考試中，甲、乙兩個(gè)班級(jí)的數(shù)學(xué)成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下表:

班級(jí)人數(shù)平均分?jǐn)?shù)方差

甲40705

乙60808

則兩個(gè)班所有學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為（）.

A.6.5B.13C.30.8D,31.8

【正確答案】C

7.在三棱錐/-5C。中，△[8。和45CD都是等邊三角形，5。=6,平面/8DJ.平面88,

"是棱/C上一點(diǎn)，且工M=2MC,則過(guò)M的平面截三棱錐/-8CD外接球所得截面面積

的最大值與最小值之和為（）.

A.24πB.25πC.26πD.27π

【正確答案】D

8.已知正四棱錐P-NBC。的體積為36,底面458的面積為18,點(diǎn)E、尸分別為P/、PC

的中點(diǎn)，點(diǎn)G為P8的靠近點(diǎn)8的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E、尸、G的平面將該四棱錐分成上、下

兩部分，截面形狀為四邊形，則該四邊形的面積為（）

A*B.處CxD.3√5

555

【正確答案】C

二、多選題

9.（多選）一個(gè)不透明的袋中裝有黑、白兩種顏色的球各三個(gè)，現(xiàn)從中任意取出兩個(gè)球.設(shè)

事件P表示“取出的球都是黑球”，事件。表示“取出的球都是白球“，事件R表示“取出的球

中至少有一個(gè)黑球，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.P和R是互斥事件

B.尸和。是對(duì)立事件

C.。和R是對(duì)立事件

D.。和7?是互斥事件，但不是對(duì)立事件

【正確答案】ABD

10."8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為b,c,α=√7,b=2,/=1,則()

A.c=3

B?sinB=---

7

C.外接圓的面積為三

D.”5。的面積為邁

2

【正確答案】ABD

11.現(xiàn)有甲、乙、丙三位籃球運(yùn)動(dòng)員連續(xù)5場(chǎng)籃球比賽得分情況的記錄數(shù)據(jù)，已知三位球員

得分情況的數(shù)據(jù)滿足以下條件：

甲球員：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是26,眾數(shù)是24；

乙球員；5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是29,平均數(shù)是26；

丙球員：5個(gè)數(shù)據(jù)有1個(gè)是32,平均數(shù)是26,方差是9.6；

根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，下列統(tǒng)計(jì)結(jié)論一定正確的是()

A.甲球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分都不低于24分

B.乙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分都不低于24分

C.丙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分都不低于24分

D.丙球員連續(xù)5場(chǎng)比賽得分的第60百分位數(shù)大于24

【正確答案】AD

12.如圖，矩形/8Co中，AD=gB=?陋,邊AD,8C的中點(diǎn)分別為E,F,直線

BE交AC于點(diǎn)、G,直線OF交/C于點(diǎn)”.現(xiàn)分別將“BE,ACDF沿BE,。尸折起，點(diǎn)4C

在平面BFZ)E同側(cè)，貝∣J()

A.當(dāng)平面/EBl平面BEOF時(shí)，4G，平面BEDF

B.當(dāng)平面/仍〃平面CO尸時(shí)，AEHCD

C.當(dāng)4C重合于點(diǎn)尸時(shí)，二面角P-DF-8的大小等于60°

D.當(dāng)4C重合于點(diǎn)P時(shí)，三棱錐P-8EF與三棱錐P-OEE外接球的公共圓的周長(zhǎng)為IOn

【正確答案】ACD

三、填空題

13.某校共有學(xué)生2000名，男生1200名，女生800名，現(xiàn)按比例分配樣本進(jìn)行分層抽樣，

從中抽取50名學(xué)生，則應(yīng)抽取的女生人數(shù)是人

【正確答案】20

14.將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲兩次，記第一次得到的點(diǎn)數(shù)為X,第二次得到的點(diǎn)數(shù)為

y,則10g,(x+?)>2的概率為.

【正確答案】?

1O

15.某同學(xué)為了測(cè)量天文臺(tái)CO的高度，選擇附近學(xué)校宿舍樓三樓一陽(yáng)臺(tái)44到地面的距

離/3為(15-5g^)m,在它們之間的地面上的點(diǎn)M(β,M,。三點(diǎn)共線)處測(cè)得陽(yáng)臺(tái)出

天文臺(tái)頂C的仰角分別是15。和60。，在陽(yáng)臺(tái)A處測(cè)得天文臺(tái)頂C的仰角為30。，假設(shè)48,

CD和點(diǎn)M在同一平面內(nèi)，則該同學(xué)可測(cè)得學(xué)校天文臺(tái)的高度為m.

【正確答案】30

16.設(shè)銳角力8C的三個(gè)內(nèi)角A.8.C的對(duì)邊分別為0.6.c,且c=l,A=IC,則周

長(zhǎng)的取值范圍為一

【正確答案】(2+√Σ,3+G)

四、解答題

17.已知函數(shù)/(工)=加-江-1,集合己={1,2,3,4},0={2,4,6,8},若分別從集合產(chǎn),。中隨

機(jī)抽取一個(gè)數(shù)”和6,構(gòu)成數(shù)對(duì)(%〃).

⑴記事件N為“函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［1,+8)”，求事件4的概率;

(2)記事件B為“方程∣∕(x)∣=2有4個(gè)根”，求事件B的概率.

【正確答案】(I)J

4

【分析】(1)列舉樣本空間所有的樣本點(diǎn)，依題意有b=2α,列舉滿足條件的樣本點(diǎn)，根據(jù)

古典概型概率公式計(jì)算；

(2)依題意有從>4”，列出所有符合條件的樣本點(diǎn)，根據(jù)古典概型概率公式計(jì)算.

【詳解】(1)由題知α∈{1,2,3,4},b∈{2,4,6,8},所以，數(shù)對(duì)(%>的可能取值為:

(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8)共

16對(duì).

若函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為[l,+∞),則函數(shù)/(X)的對(duì)稱軸為X=g=l,即，=20

2a

所以，滿足條件的基本事件有:(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),共4對(duì)，

41

所以，事件4的概率為P(∕)=77=:

164

(2)因?yàn)棣?gt;0,二次函數(shù)開(kāi)口向上，

所以，方程"S)l=2有4個(gè)根，即為/(x)=2和/(x)=-2各有2個(gè)根，

所以，二次函數(shù)/Cr)="/-bx-l的最小值小于-2.

所以-4α-8<_2,即/>4"，

4a

滿足條件的基本事件有：(1,4),(1,6),(1,8),(2,4),(2,6),(2,8),(3,4),(3,6),(3,8),(4,6),(4,8),共Il

對(duì)，

所以，事件8的概率尸(5)=2

16

18.從2022年秋季學(xué)期起，四川省啟動(dòng)實(shí)施高考綜合改革，實(shí)行高考科目“3+1+2”模式.“3”

指語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門(mén)統(tǒng)考學(xué)科，以原始分?jǐn)?shù)計(jì)入高考成績(jī)；"1”指考生從物理、歷史兩

門(mén)學(xué)科中“首選，，一門(mén)學(xué)科，以原始分?jǐn)?shù)計(jì)入高考成績(jī)；“2”指考生從政法、地理、化學(xué)、生

物四門(mén)學(xué)科中“再選，，兩門(mén)學(xué)科，以等級(jí)分計(jì)入高考成績(jī).按照方案，再選學(xué)科的等級(jí)分賦分

規(guī)則如下，將考生原始成績(jī)從高到低劃分為4B,C,D,E五個(gè)等級(jí)，各等級(jí)人數(shù)所占比

例及賦分區(qū)間如下表：

等級(jí)ABCDE

人數(shù)比例15%35%35%13%2%

賦分區(qū)間[86,100][71,85][56,70][41,55][30,40]

將各等級(jí)內(nèi)考生的原始分依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到賦分區(qū)間內(nèi)，得到等級(jí)分，轉(zhuǎn)換公式

匕一丫

73,其中X，匕分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，7],弓分別表示等

Y-Y1T-Tt

級(jí)賦分區(qū)間的最低分和最高分，y表示考生的原始分，T表示考生的等級(jí)分，規(guī)定原始分為

K時(shí)，等級(jí)分為工，計(jì)算結(jié)果四舍五入取整.某次化學(xué)考試的原始分最低分為50,最高分為

98,呈連續(xù)整數(shù)分布，其頻率分布直方圖如下：

頻率

0.04

0.03

0.02

成績(jī)

（1）求實(shí)數(shù)。的值；

（2）按照等級(jí)分賦分規(guī)則，估計(jì)此次考試化學(xué)成績(jī)/等級(jí)的原始分區(qū)間.

（3）用估計(jì)的結(jié)果近似代替原始分區(qū)間，若某學(xué)生化學(xué)成線的原始分為90,試計(jì)算其等級(jí)分;

【正確答案】⑴0.005

⑵［85,98］

（3）91分

【分析】（1）利用頻率分布直方圖列出關(guān)于實(shí)數(shù)。的方程，解之即可求得實(shí)數(shù)。的值；

（2）先利用頻率分布直方圖求得第85百分位數(shù)對(duì)應(yīng)的原始分，進(jìn)而估計(jì)出此次考試化學(xué)成

績(jī)4等級(jí)的原始分區(qū)間；

（3）利用題給轉(zhuǎn)換公式即可求得其等級(jí)分.

【詳解】（1）由10（α+0.02+0.03+0.04+q）=l,可得α=0.005

（2）由頻率分布直方圖知，原始分成績(jī)位于區(qū)間［90,100］的占比為5%,

位于區(qū)間［80,90］的占比為20%,

估計(jì)等級(jí)/的原始分區(qū)間的最低分為90-15■為×10=85,

所以估計(jì)此次考試化學(xué)成績(jī)4等級(jí)的原始分區(qū)間為［85,98］

（3）由槳=器解得T=喈“91，該學(xué)生的等級(jí)分為91分

90—85T—8613

19.JBC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,已知c=√L，且的面積

b2+c2-a

⑴求C;

⑵若448C內(nèi)一點(diǎn)尸滿足AP=AC,BP=CP,求APAC.

【正確答案】（I）C=?∣

【分析】（1）利用三角形的面積公式以及余弦定理可求得tan4的值，可求得角A的值，由

c?=√2a結(jié)合正弦定理求出SinC的值，結(jié)合角C的取值范圍可求得角C的值；

（2）設(shè)∕PZC=e,可得出NXCP=NNPC=Km,ZBCP=-,在△/!/<■、48PC分別利

22

用正弦定理可求得Sine的值，結(jié)合。的取值范圍可求得角。的值.

【詳解】（1）解：由余弦定理得S="+）一，=LbCcos/,

42

因?yàn)镾=-bcsmA,所以SinA=COS4,

2

因?yàn)楱M∈(0,π),則cos∕=sin∕>0,所以tan4=l,所以/=：,

因?yàn)镃=VΣQ,所以SinC=7IsinZ=VIsin；=l,

因?yàn)镃∈(01),所以。=?

⑵解：由⑴知”=所以5—=>",所以6衿

τι~0

設(shè)皿C=。，因?yàn)楱MP=∕C,所以//CP=NNPC=——，

因?yàn)镃=巴，所以NBCP=巴-//CP=。,

222

PCAC

因?yàn)樵赼NPC中/P=NC,由正弦定理嬴?萬(wàn)=.兀-6

sin

2

2O∕4Csem-cos—Θ∩∩

可得尸c=g^

=-----------?-----=2￡sm—=2flsin—,

C7θ22

COScos—

22

Oθ

在.BPC中，BP=CP,則/PBC=/PCB=―,則NB尸C=兀一2x—=兀一。，

22

PC_BC2asin—.

由正弦定理R=Sin(兀一e)，即——六=—―，所以，Sin。=4,

s*n2sin-Sme2

2

因?yàn)镹PNC=ee(θ,(),所以NP/C=?=^.

20.如圖1,在直角三角形/8C中，/C為直角，NZ=30。,。在NC上，且D4=DC=5

作QE工力8于E,將VnoE沿直線OE折起到aPDE所處的位置，連接P8,PC,如圖2.

(1)若平面POEJ.平面BCDE,求證:8Ej_PZ)；

(2)若二面角尸-Z)E-N為銳角，且二面角P-BC-E的正切值為半，求P8的長(zhǎng).

【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵√∏

【分析】(1)由題意知BEJOE,由面面垂直的性質(zhì)定理可得8E_L平面PD￡,進(jìn)而可得

BELPD；

(2)作尸，_L5E所在的直線于點(diǎn)”,由題意可得知。E_LBE,DE_LPE,所以ED_L平面PE8,

即可得平面PBE_L平面BCOE,作“G,BC于點(diǎn)G,連接尸G,進(jìn)而可得NPG”為二面角

P-BC-E的平面角，設(shè),ZPGH=O,貝IJtan。=瑞=半，設(shè)CG=X(O<x<；),貝IJ

AH=2x,HE=^--2x,HB=4-2x,進(jìn)而可得一^匚也,解得X=1,再由PB=?∣PH2+HB2>

2√3(2-x)92

計(jì)算即可得答案.

【詳解】(1)證明：由題意知5E工￡>E,

又平面PDE_L平面BCDE,平面PDE∩平面BCDE=DE,BEU平面BCDE,

所以8EJ.平面尸OE.

又尸。U平面Pz)E,

所以8EJ_P。；

(2)解：由題意知DE_LBE,DELPE,

PECEB=E,PEu平面PEB,EBU平面PEB,

因而EOJ.平面PE8,

又EDU平面BCDE,因而平面PBE，平面BCDE.

如圖，作所在的直線于點(diǎn)H,

又平面PBEC平面BCDE=BE,P"u平面尸8￡,所以PH_L平面BCDE.

作“GL8C于點(diǎn)G,連接PG,

則/尸G”為二面角尸-8C-E的平面角，

設(shè)ZPGH=θ,貝IJtane=處，

在-18C中，NC=90",ZX=30,Q=DC=√J,

3

所以4B=4,BC=2,/IE=I,

設(shè)CG=X[O<x<j),則AH=2x,HE='-2x,HB=4-2x,

因而/W=J《_(|_2x)=√6x-4x2,∕∕G=y/∕B=√3(2-x),

在直角三角形P"G中，tan9=粵=羋，即隼三I=半,

HG9√3(2-x)9

解得X=L或X=3(舍去)，此時(shí)P〃=√T,HB=3,

211

從而PB=-JPH2+HB2=√ΓT.

21.已知如圖1直角梯形/88,AB//CD,ZDAB=90°,AB=4,AD=CD=2,E為AB

的中點(diǎn)，沿EC將梯形ZBC。折起（如圖2）,使平面8￡D_L平面4ECZλ

（1）證明：8E_L平面/ECZ）；

7

（2）在線段CD上是否存在點(diǎn)F,使得平面FAB與平面EBC所成的銳二面角的余弦值為;,

若存在，求出點(diǎn)尸的位置：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）存在，F(xiàn)為CD中點(diǎn)

【分析】（1）在直角梯形中證明/EC。為正方形，在幾何體中連接/C,利用面面垂直的性

質(zhì)、線面垂直的判定推理作答；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)廠(α,0,2)(0≤α≤2),根據(jù)向量法求出二面角的余弦即可得

解.

【詳解】(1)在直角梯形Z8C。中，AB∣∣CD,E為48的中點(diǎn)，即/E〃CD,AE=CD,

四邊形ZEC。為平行四邊形，

而4)/3=90°,AD=CD=2,則口，Es為正方形，

連接/C,如圖，

因?yàn)槠矫鍮EOl?平面ZEC。，平面為^口平面/石。。=。后,力。匚平面4￡?！?,

于是得ZC_L平面8E3,

而B(niǎo)Eu平面8皮)，則有4C_L8E,

又CELBE,AC[}CE=C,AC,CE?5FfflAECD,

所以BEJ.平面/EO

(2)由(1)得8E，平面4ECD,所以8E_LZE,

所以E/,EB,EC兩兩垂直，

分別以應(yīng),EB＞反方向?yàn)閄，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系E-Xyz,

如圖所示,

則/(2,0,0),8(0,2,0),設(shè)F(a,0,2)(0≤α≤2),

所以#=(α-2,0,2),BF=(a,-2,2),

設(shè)平面FAB的法向量為，7=(xj,z),

則AF?n=(α-2)x+2z=0

BFn=ax—2y+2z=Q

取x=2,得萬(wàn)=(2,2,2-α),

取平面EBC的法向量為所=(1,0,0),

ffι./722

因?yàn)镃o加〉70

所以α=l或"3(舍去)，

故線段。。上存在點(diǎn)R且F為。中點(diǎn)時(shí)?，使得平面￡45與平面E8C所成的銳二面角的

7

余弦值為

22.某公園有一塊長(zhǎng)方形空地Z8C。，如圖，AB=2,AD=A.為迎接“五一”觀光游，在邊

界BC上選擇中點(diǎn)E,分別在邊界18、CQ上取“、N兩點(diǎn)，現(xiàn)將三角形地塊MEN修建為

2

花圃，并修建觀賞小徑￡以，EN,MN,SLAMEN=-π.

(1)當(dāng)N8EΛ∕=E時(shí)，求花圃的面積；

6

(2)求觀賞小徑EM與EN長(zhǎng)度和的取值范圍.

【正確答案】(1)竽

【分析】(1)由題可得NNEC=-,BE=LBC=EC=2,后由銳角三角函數(shù)知識(shí)可得EW,

62

EN,即可得花圃的面積；

8>∕3sin∣a+-J

(2)設(shè)NBEM=a,則NCEN=工-a,則可將"E+EN化為——S-*■,又令

32sinl2α+-j+l

/=sin^,可得ME+EN==,后由f=sin[α+1]范圍及函數(shù)y=4/-；單調(diào)性可得