2023-2024學年江西省九江市永修縣九年級（上）月考數(shù)學試卷（10

月份）

一、選擇題（本大題共6小題，共18.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.3x-1=0B.ax2+bx+c=0（a,b,c為常數(shù)）

C.x2+x=3D.3x2-2xy-5y2=0

2.菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）

A,對角線互相垂直B.對邊相等C.對角相等D.是中心對稱圖形

3.解方程/=4的結(jié)果為（）

A.x=2B.%=4

C.Xj=-2,x2=2D.xr=-4,不=4

4.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.當AB=BC時，它是正方形

B.當4C180時，它是菱形

C.當AC=8。時，它是矩形

D.當乙4BC=90。時，它是矩形

5.已知關(guān)于x的一元二次方程/+法+c=0有一個非零實數(shù)根c,則b+c的值為（）

A.1B.-1C.0D.2

6.如圖，把一張矩形紙片48CD按如下方法進行兩次折疊：第一次將ZM邊折疊到OC邊上得到折痕為。

連接A'M,CM,第二次將AMBC沿著MC折疊，MB邊恰好落在MD邊上.若4。=1,則AB的長為（）

二、填空題（本大題共6小題，共18.（）分）

7.把一元二次方程X。-3）=4化成aM+bx+c=0的一般形式，其中a=1,則常數(shù)項c=

8.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,BD相交于點。，如果4ADB=25°,那么乙AOB八

的度數(shù)為.

9.關(guān)于久的方程/-2尤+k=0有兩個相等的實數(shù)根，貝必的值是。

10.若關(guān)于x的一元二次方程a/=b（ab>0）的兩個根分別為m與2m—6,則m的值為

11.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形04BC是正方形，點4的坐標是（2,1）,）丁

D

則點C的坐標是.A

12.如圖，在菱形力BCD中，AB=20Z=45。，點E在邊AB上，4E=13,

點P從點4出發(fā)，沿著力TDTCTB的路線向終點B運動，連接PE,若

△APE是以AE為腰的等腰三角形，則4P的長可以是

EB

三、計算題（本大題共1小題，共3.0分）

13.解方程：x2—2x—1=0.

四、解答題（本大題共U小題，共81.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

14.（本小題3.0分）

如圖，在Rt△力BC中，乙4cB=90。，D為48的中點，乙4=30。，BC=2,求CD的長.

15.（本小題6.0分）

如圖，矩形力BCD的對角線AC,BC相交于點。，過點C作BD的平行線交4B的延長線于點E.求證：AC=CE.

A0

16.（本小題6.0分）

如圖，菱形力的對角線4C,8。相交于點。，過點4作AE1BC于E,若OB=2,S菱形ABCD=4,求4E的

長.

A

c

17.（本小題6.0分）

如圖，AACB和ACE。都是等腰直角三角形，點B,C,E在同一直線上且E是8c的中點，請僅用無刻度的

直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）.

（1）在圖1中，作口ABMC；

（2）在圖2中，作正方形ACBN.

BB

z^DXV

ACAC

圖1圖2

18.（本小題6.0分）

如圖，矩形綠地的長為12m,寬為9m,將此綠地的長、寬各增加相同的長度后，綠地面積增加了7262,求

綠地的長、寬增加的長度.

19.（本小題8.0分）

設關(guān)于X的一元二次方程為/+bx+c=0.在下面的四組條件中選擇其中一組b,c的值，使這個方程有兩個

不相等的實數(shù)根，并解這個方程.

①b=2,c=1；

（2）b=1,c=2；

@b=3,c=-1；

（4）b——3,c=2.

注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個解答計分.

20.（本小題8.0分）

定義：如果關(guān)于x的一元二次方程a/+bx+c=0（a于0）滿足b=a+c,那么我們稱這個方程為“完美方

程”.

（1）下面方程是"完美方程"的是.（填序號）①/—4x+3=0；@2x2+x+3=0；（3）2x2—x—

3=0.

（2）已知3/+6》+n=0是關(guān)于》的“完美方程”，若m是此“完美方程”的一個根，求m的值.

21.（本小題8.0分）

如圖，在。4BCD中，E,F分別是邊CD,BC上的點，連接BE,DF,BE與DF交于點P,BE=DF.添加下列

條件之一使0ABe。成為菱形：①CE=CF;@BE1CD,DF1BC.

（1）你添加的條件是（填序號），并證明.

（2）在（1）的條件下，若N4=45。，ABFP的周長為4,求菱形的邊長.

AC

E

D

22.(本小題9.0分)

【閱讀】

解方程：(X-1)2-5(X-1)+4=0.

解：設x—l=y,則原方程可化為y2—5y+4=0,

解得乃=1，%=4.

當y=l時，即x—1=1,解得x=2；

當y=4時，即x—1=4,解得x=5.

所以原方程的解為％=2,x2=5.

上述解法稱為“整體換元法”

【應用】

(1)若在方程?-含=0中，設丫=?，則原方程可化為整式方程：

(2)請運用“整體換元法”解方程：(2%-3產(chǎn)一(2x-3)-2=0.

23.(本小題9.0分)

如圖1,在口ABCD中，點E,F在對角線4C上，AE=CF,DE1AC,過點。作DG〃/1C交BF的延長線于點G.

(1)求證：四邊形CEFG是矩形.

(2)如圖2,連接DF,BE,當/DFG=NBEF時，判斷四邊形DEFG的形狀，并說明理由.

24.(本小題12.0分)

(1)如圖1,在正方形4BCC中，尸為對角線4C上一點，連接BF,DF.圖中的全等三角形有(寫出一對

即可，不必證明).

(2)如圖2,P為DF延長線上一點，旦DP交BC于點E.判斷△BPE的形狀.并說明理由.

(3)如圖3,過點尸作HF1BF交DC的延長線于點H.

①求證：HF=DF.

②若4B=C+1/CBF=30。，請直接寫出CH的長.

圖1圖2圖3

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：4方程3x-l=0不是一元二次方程，故本項不符合題意；

B.方程aM+bx+c=0當。=0時不是一元二次方程，故本項不符合題意；

C.方程/+x=3符合定義，是一元二次方程，故本項符合題意；

D方程37—2xy-5y2=0含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故本項不符合題意；

故選：C.

根據(jù)一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程判

斷即可.

本題主要考查了一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，

并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程.

2.【答案】A

【解析】解：力、菱形具有對角線互相垂直平分，平行四邊形具有對角線互相平分，符合題意；

8、菱形具有對邊相等，平行四邊形具有對邊相等，不符合題意；

C、菱形具有對角相等，平行四邊形具有對角相等，不符合題意；

。、菱形是中心對稱圖形，平行四邊形是中心對稱圖形，不符合題意.

故選：A.

利用菱形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)進行判斷可求解.

本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)犍.

3.【答案】C

【解析】解：X2=4,

%]=-2,%2=2,

故選：C.

兩邊直接開平方即可.

本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配

方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法.

4.【答案】4

【解析】解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

???當4B=8C,平行四邊形ABCD是菱形，但不一定是正方形，故選項4錯誤，符合題意；

當AC_L8D,平行四邊形4BCD是菱形，故選項5正確，不符合題意：

當4c=BD,平行四邊形48CD是矩形，故選項C正確，不符合題意；

當4ABe=90。，平行四邊形ABCD是矩形，故選項。正確，不符合題意；

故選：4.

根據(jù)矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定可得出答案.

本題考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確它們各自的判定方法.

5.【答案】B

【解析】解：,??關(guān)于x的一元二次方程/+bx+c=0有一個非零實數(shù)根c,

c2+be+c=0,即c(c+b+1)=0

rcH0,

c+b+1=0,

b+c=—1,

故選：B.

由關(guān)于x的一元二次方程M+bx+c=0有一個非零實數(shù)根c,可得c+b+l=0,然后移項變形即可得解.

本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解的意義是解答本題的關(guān)鍵.

6.【答案】B

【解析】解：???四邊形4BCD為矩形，

Z.ADC=/.BAD=90°,ABHCD,AB=CD,AD=BC.

由第一次折疊可知，/.DA'M=Z.DAM=90°,DA'=DA,

四邊形AM4D為正方形，

：.AM=A'M=AD,

DM=VAD2+AM2=yTlAD=

由第二次折疊可知，4BMC=NB'MC,

vBM//CD,

4DCM=4BMC,

:.乙B'MC=4DCM,

CD=DM=<7,

?1?AB=CD=2-

故選:B.

由第一次折疊可知NDA'M=ZIMM=90。，DA'=DA,則四邊4MAD為正方形，AM=A'M=AD,DM=

BAD,由第二次折疊可知NBMC=4B'MC,利用平行線的性質(zhì)得“CM=&BMC,于是可得ZB'MC=

乙DCM,由等邊對等角得CD=DM=GAD,以此即可求解.

本題主要考查矩形的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握折疊

的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

7.【答案】一4

【解析】解：x(x-3)=4,

2

Ax—3x-4=0,

va=1,

???常數(shù)項c=-4.

故答案為：-4.

直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案.

本題主要考查了一元二次方程的一般式，熟練掌握一元二次方程的一般式a/+版+c=0(a#0)其中a為

二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)，c為常數(shù)項是解題的關(guān)鍵.

8.【答案】50°

【解析】解：???四邊形4BCD是矩形，

OA=^AC,OD=^BD,AC=BD,

??.OA=OD,

???/,ADB=25°,

???Z.OAD=/.ODA=25°,

???Z.AOB=Z.OAD+乙ODA=50°.

故答案為：50°.

根據(jù)矩形的性質(zhì)證得04=OD,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題.

本題考查矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題.

9.【答案】1

【解析】解：???關(guān)于久的方程“2-2%+卜=0有兩個相等的實數(shù)根，

???△=(―2)2—4xlx/c=0,

解得：fc=1.

故答案為：1.

根據(jù)根的判別式△=(),即可得出關(guān)于k的一元一次方程，解之即可得出k值.

本題考查了根的判別式，牢記“當△=()時，方程有兩個相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵.

10.【答案】2

【解析】解：由題意得：

m+2m—6=0,

3m=6,

m=2,

故答案為:2.

根據(jù)題意可得m+2m-6=0,然后進行計算即可解答.

本題考查了一元二次方程的解，熟練掌握解一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵.

11.【答案】(一1,2)

【解析】解：如圖，過點C作CDlx軸，過點A作AElx軸，

???點4的坐標是(2,1),

AE=1,OE=2,

?.?四邊形04BC是正方形，

AO=CO,^AOC=90°,

???乙4OE+乙COD=90°,且乙4OE+^OAE=90。，

?1?乙COD=^OAE,且4。=CO,Z.AEO=Z-CDO=90。，

???△AOE^^0coQMS)

DO=AE=1,CD=OE=2,

???點C坐標為(-1,2)

故答案為：(—1,2)

如圖,過點C作CD1x軸，過點4作4E_Lx軸，由aAAS”可證△AOEWAOCD,可得DO=AE=1,CD=OE

2,即可求解.

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形

是本題的關(guān)鍵.

12.【答案】13或13丁花或5，^

【解析】解：過點。作DHLAB于

??,四邊形4BCD是菱形，AB=20,乙4=45°,

?■AD=DC=BC=AB=20,

AH=DH=^AD=10V-l>13，

又點E在邊48上，AE=13,

當點P在4。邊上時，

若力P=AE,貝IL4P=13；

若PE=4E,則NAPE==45°,

???AAEP=90°,

.?.△APE是等腰直角三角形，

???AP=\T2AE=13V1;

當點P在CD邊上時，AP>PE>AE,不可能為等腰三角形；

當點P在BC邊上，且PE=4E=13時，如圖，過點P作PG14B于G,

???四邊形4BCD是菱形,

■■■AD//BC,

乙PBG==45°,

??.△PBG是等腰直角三角形,

???PG—BG,

設PG=BG=y,

則EG=y+7,

???EG2+PG2=PE2,

???(y+7)2+y2=132,

解得：y=5(負值舍去)，

PG=5,AG=25,

.?■AP=VAG2+PG2=7252+52=5V-26；

綜上所述，HP的長為13或13/1或

故答案為：13或或5，^.

過點D作DH148于可求得4H=DH=106,分四種情況：當點P在力。邊上時，若力P=AE,若PE=AE,

可分別求得4P的長；當點P在CD邊上時，AP>PE>AE,不可能為等腰三角形；當點P在BC邊上，且PE=

4E=13時，可求得AP=5j4.

此題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì).注意掌握輔助線的作法，注意掌握分類討論思

想與方程思想的應用是解此題的關(guān)鍵.

13.【答案】解："a=1,b=—2,c=-1,

???A=b2-4ac=(-2)2-4x1x(-1)=8>0,

-b±Jb2-4ac-(-2)±V-8.,

???X=2^-=2X1=1土々

=1+yj~2>x2=1-V-2.

【解析】本題考查了解一元二次方程的方法-公式法.

原方程是一元二次方程的一般形式，先由系數(shù)求得根的判別式，再利用求根公式求解.

14.【答案】解：?；N4CB=90。，。為4B的中點，

???CD是AB邊上的中線，

CD=^AB,

???LA=30°,

?■AB=2BC=4,

CD=2X4=2,

【解析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出4B,根據(jù)直角三角形30。角所對的直角邊等于斜

邊的一半求出2BC=4B即可得解.

本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，直角三角形30。角所對的直角邊等于斜邊的一半的性

質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.【答案】證明：?.?四邊形力BCD是矩形，

BD=AC,AB//DC,

???BE//DC,

又?:BD//CE,

四邊形BECD是平行四邊形，

BD=CE,

???AC=CE.

【解析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可以得到4C=BD,根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)可以得到BD=CE,從而可以

得到4c=CE.

本題考查矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出BO=CE.

16.【答案】解：?.?四邊形4BCD是菱形，

???OA=OC.OB=OD=^BD,BDLAC,

BD=2OB=4.

S菱形ABCD=同c?BD=4,

???AC=2,

:.OC=1,

???BC=VOB2+OC2=C.

S^ABCD=BC-AE=4,

44<5

-AE=7^=--

【解析】由四邊形4BCC是菱形，。8=2,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得8。=4,再根據(jù)菱形的面積等于兩條對角

線乘積的一半求得4c=2,再根據(jù)勾股定理求得BC,進而利用面積即可求得力E的長.

本題考查了菱形的性質(zhì)及勾股定理，根據(jù)菱形的面積公式（菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半）求得

AC=2是解題的關(guān)鍵.

17.【答案】解：(1)如圖1,0ABMc為所作;

(2)如圖2,正方形ACBN為所作.

圖1圖2

【解析】(1)延長AE和CD,它們的交點為例點，則四邊形4BMC滿足條件；

(2)延長DE交于。點，然后分別延長C。和MB,它們相交于點N,則四邊形2CBN滿足條件.

本題考查了作圖-復雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把

復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了平行四邊形和正方形的判定.

18.【答案】解：設綠地的長、寬增加的長度各為xm,

由題意得：(12+x)(9+x)=12x9+72,

整理得：X2+21x—72=0,

解得：Xj=3,x2=-24(不符合題意，舍去)，

答：綠地長、寬增加的長度各為3m.

【解析】設綠地的長、寬增加的長度為xm,由題意：將此綠地的長、寬各增加相同的長度后，綠地面積增

力口了72nl2,列出一元二次方程，解方程即可.

本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

19.【答案】解：?.?這個方程有兩個不相等的實數(shù)根，

:.b2—4ac>0.

a=1,

b2>4c,

選①②時，不符合，

③④均可.

選③解方程，則這個方程為+3X-1=0,

_-biy)b2-4cc__3+V13,

?1,*==~2~

-3+\T13-3-\T13

??冗1-2，尢2-2，

選④解方程，則這個方程為久2一3X+2=0,

_-b+flfa_3+1,

"X2a2

X]-2,%2=1?

【解析】先根據(jù)這個方程有兩個不相等的實數(shù)根，得b2>4c,由此可知b、C的值可在①②③中選取，然

后求解方程即可.

本題主要考查的是根據(jù)一元二次方程根的判別式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的判別式大于0,

方程有兩個不相等的實數(shù)根；根的判別式等于0,方程有兩個相等的實數(shù)根：根的判別式小于0,方程無解.

20.【答案】③

【解析】解：(1)①/—4%+3=0,

va=1,b=-4,c=3,

???a+c=4。匕，則方程%2—4%4-3=0不是“完美方程”；

②2/+%+3=0,

va=2,b=1,c=3,

???a+c=5Hb,則方程2/+%+3=0不是“完美方程”；

③2/—%—3=0,

va=2,b=-1,c=—3,

.?.a+c=b,則方程2/_%_3=0是“完美方程”；

故答案為：③.

(2)v3/+巾無+幾=0是關(guān)于》的“完美方程”，

Am=3+n,

An=m—3,

,原方程為3-+mx+m—3=0.

???m是此“完美方程”的一個根，

???3m2+m2+m—3=0,即4*+m—3=0,

解得：m=—1或m

(1)根據(jù)“完美方程”的定義進行求解即可；

(2)根據(jù)“完美方程”的定義得到九=3,則原方程為3/+租工+巾—3=0,再由m是此“完美方程”

的一個根，得到462+加一3=0,解方程即可.

本題主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定義，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

21.【答案】②

【解析】解：（1）②.

證明：,??BE1.CD,DF1BC,

???Z,CFD=乙CEB=90°,

在^CE8中

NCFD=乙CEB

Z.C=Z.C，

DF=BE

???△CFD?CEBQL4S),

CD=CB,

???四邊形/BCD是平行四邊形,

???四邊形是菱形.

(2)如圖，連接CP,

由(1)知△CFD三ZkCEB,

???CF=CE,

在Rt△CEP^Rt△CFP

(CP=CP

ICE=CF'

???Rt△CEP=Rt△CFP(HL),

???PE=PF,

在菱形ABC。中，乙4=45。，

???(BCD=45°,

???(CFD=乙CEB=90°,

???Z.BFP=Z-DEP=90°,

???Z.CBE=Z.BPF=乙BCD=45°,

/.BE=CE,BF=PF,

???△8FP的周長為4,

???BP+PF+BF

BP+PE+BF

=BE+BF

=CE+BF

=CF+BF

=BC=4.

即菱形的邊長為4.

(1)可證△CFD三△CEB,可得CD=CB,即可求證；

(2)連接CP,BjiiE/?tACEP^/?tACFP,可得PE=PF,再證BE=CE,BF=PF,即可求解.

本題考查了菱形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定方

法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.【答案】y2-3=0

【解析】解：(l)y=?,

七二一鳥=0變形為：--3-^--=0,

Xx—1XX

則七1一名=0可化為：y-l=0,即y2_3=0,

xx—1y'

故答案為：y2—3=0；

(2)設y=2x—3,則原方程變形為y2—y—2=0,

A(y-2)(y+l)=0,

???y-2=0或y+1=0,

解得yi=2,y2=

當y=2時，即2x-3=2,解得x=|；

當y=-l時，EP2x-3=-1,解得x=l.

?,?原方程的解為=|,%2=

(1)將原方程變形為只含有子的形式，再將y="代入，化為整式方程即可；

(2)根據(jù)“整體換元法”，設y=2x-3,解新的一元二次方程，解出未知數(shù)后代入即可求解原方程的解.

本題主要考查解一元二次方程的方法，熟練掌握解一元二次方程的基本方法，利用整體換元法解方程是解

答本題的關(guān)鍵.

23.【答案】(1)證明：在。ABCD中，AD=CB,AD//CB,

??Z-DAE=乙BCF.

又AE=CF,

???△ADE三△CBF(SAS),

???Z-AED=Z-CFB.

vZ-AFG=Z-CFB,

???Z-AED=Z.AFG,

???DE//GF.

???DG//AC,

???四邊形DEFG是平行四邊形.

vDE1AC,

???乙CED=90°.

???四邊形CEFG是矩形.

(2)四邊形DEFG是正方形.

理由：由(1)知OE〃B尸，DE=BF,

???四邊形CEB尸是平行四邊形，

?-?DF//BE,

Z.AFD=Z.BEF.

Z.DFG=Z.BEF,

Z.AFD=Z.DFG.

在矩形DEFG中，Z.EFG=Z.DEF=90°,

乙DFE=乙EDF=45°,

DE=EF,

矩形DEFG是正方形.

【解析】⑴由平行四邊形的性質(zhì)可得力。=CB,AD//CB,從而得出NZME=NBCF,推出△ADE*

CBF(SAS),得到乙4ED=NCFB.再證出DE〃GF,從而得到最后結(jié)果；

(2)先證得DEBF是平行四邊形，得出DF〃BE,從而得出乙4FD=/BEF.進一步得出乙4FO=NDFG.最后可

得出OEFG是正方形.

本題考查四邊形綜合題、平行四邊形的性質(zhì)及判定、矩形的性質(zhì)與判定、正方形的判定和性質(zhì)，全等三角

形的性質(zhì)與判定等知識，解題的關(guān)鍵是學會特殊四邊形的有關(guān)性質(zhì)及判定.

24.【答案】△ADFWAABF

【解析】(1)解：?.?正方形4BCO，

???AB=AD,