數(shù)列求和的基本方法

總則：求和看通項、求和有六法、凡等比求和必看公比。

一、公式法：適用于an=一次項（等差），或an=常系數(shù)?幕式（等比）。

例1：已知an=2n+3,求其前n項的和Sn

例2：已知a=—,求其前n項的和s

n2nn

二、錯位相減法：適用于即=一次式?幕式或an=需盍

累式

例1：已知an=(2n+3)?3n,求其前n項和Sn

n

解：Van=(2n+3)?3

Sn=ai+a2+a3+,,,+an-----------展開

2n

即Sn=3X3'+5X3+7X33+???+(2n+3)?3①---------具體化

234n+1

3Sn=3X3+5X3+7X3+???+(2n+3)-3②---------兩邊同時乘

以公比做好對應性

由①-②有-2Sn=9-(2n+3)-3n+1+2X32+2X33+???+2-3n錯位相減

2n+l

=9-(2n+3)?3n+i+2x3-2x3

1-3

=9-(2n+3)?3n+1-9+3n+1

=-2n?311+1---------化簡

n+1

.,.Sn=n?3---------求和

練習：

1、已知陪竽,求其前n項和M

2、已知an=2n+l,bn=2?,設(shè)cn=an,bn,求｛0｝前n項和Tn

3、已知x+2x2+3x3+,，,4-nx11,則化簡結(jié)果?

三、裂項相消法：適用于an=分式、根式(分母可因式分解)

核心:

1、如何分裂：①對分母進行因式分解②由因式較小的倒數(shù)-因式較

大的倒數(shù)③保證分裂前后的一致性

2、怎樣相消？①前后項相消②間項相消

例1：已知an=——-——，求S

n(n+1)n

..4

?an--------

n(n+1)

??-4(---------)

nn+1

Sn=ai+a2+a3+,?,+an

即:Sn=4(1-i)+4(---)+4+???+4(1--—)

22334nn+1

z,1^1JIJ,11、

22334nn+1

練習

1>已知an=------------，求Sn

n(n+3)

2、已知/(n+D(n+丁求其前n項和加

3、已知an=-r~,求其前n項和s

Vn+Vn+1n

4、已知an=n￥n+3,求其前n項和加

n+n

四、分組求和法(適用于a-多項式)

例：求數(shù)列1+；,2+?3+???，n+1的前n項和。

解：設(shè)*n+泉

Sn=a】+a2+a3+,,,+an

=1+—+2+，+3+，+,,,+n+——

2482n

=(1+2+3+,,+n)+(-+—+-++—)

2482n

11

_n(n+1)22n+l

------------------十---------------

21-1

2

1n(n+1)1

=1+1------------

22n

練習：已知an=2n+-+-3--n--,--2n,求s

n(n+1)n

五、分段求和(適用于an=分段或含絕對值或含(-1)n)

分段有兩種：1、k前k后分段2、奇位偶位分段

3n，n<7,

例1：已知an=-求｛an｝的前II項和Sn

2n-l,n>7

on+1Q

解：1、當n<7時，Sn=ai+a2+a3+,,,+a=31+32+33+,??+3n=-———(n<7)

n2

2、當nN7時,Sn=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+,?,+an

設(shè)bn=2n-LnGN+,其前n項和為Tn

2

則Tn=bi+b2+,,,+bn=l+3+,,,+(2n-l)=n

,37

??Sn=S6+TrrT6二一+n2-36=n2-1056

2

Qn+IQ

,n<7

綜上可知Sn=-2

n2-1056,n>7

練習：

"3n,n為偶

1、已知an=-，求la"的前n項和Sn

2n-l,n為奇

六、倒序相加法。

練習：f(x)=—圖像上有兩點pi(xi,yi),p?(X