2023年北京中考數(shù)學一模分類匯編一一圓綜合

1.(2023?海淀區(qū)一模)如圖，AB為。。的直徑，C為。。上一點，。為踴的中點，DE

交AC的延長線于點E.

(1)求證：直線。E為。。的切線;

(2)延長48,交于點F.若B尸=2,sin/AFE」，求AC的長.

3

2.(2023?西城區(qū)一模)如圖，AB是。。的直徑，C是。。上一點，NAC8的平分線交。。

于點D,過點D作。O的切線交CB的延長線于點E.

(1)求證：DE//AB；

(2)若OA=5,sinNBAC=3,求線段QE的長.

3.(2023?東城區(qū)一模)如圖，AB是。。的直徑，點C,。在。。上，點。為宜的中點,

。。的切線OE交BA的延長線于點E,連接AC,BC,CD.

(1)求證：NE=NBAC；

(2)若。0的半徑長為5,COS￡=A,求C￡＞和OE的長.

4.(2023?朝陽區(qū)一模)如圖，A8是。。的弦，過點。作0CLA8,垂足為C,過點A作

。。的切線，交OC的延長線于點。，連接。B.

(1)求證：NB=ND；

(2)延長BO交于點E,連接AE,CE,若4。=2代，$出8=近＞,求CE的長.

5

5.(2023?豐臺區(qū)一模)如圖，A8是。。的直徑，AD,8c是。。的兩條弦，ZABC=2Z

A,過點D作。。的切線交CB的延長線于點E.

(1)求證：CELDE；

(2)若tanA=1，BE=1,求CB的長.

DE

6.(2023?石景山區(qū)一模)如圖，AB是。0的直徑，點。是弦4c延長線上一點，過點。

作。EJ_AB于點E,過點C作。。的切線，交。E于點F.

(1)求證：FC=FD；

(2)若E是。8的中點，sinO=3,04=2,求尸。的長.

5

7.(2023?通州區(qū)一模)如圖，△ABC是圓內(nèi)接三角形，過圓心。作。E_LAC,連接。4,

OC,過點C作CD〃AO,交B4的延長線于點。，NCOE=45°.

(1)求證：DC是。。的切線；

(2)如果BC-CE=8,求。。半徑的長度.

8.(2023?平谷區(qū)一模)如圖，AB是0。的直徑，C、。是。。上的兩點，且笳=位，過

點D作。。的切線交AC的延長線于點E.

(1)求證：ZE=90°；

(2)連接CD,若cos/ECD上，A8=9,求CE的長.

3

9.(2023?門頭溝區(qū)一模)如圖，AB是。0的直徑，點。在。。上，連接A。并延長到C,

使AC=AB,連接3c交。。于E,過點5作O。的切線交0E的延長線于點F.

(1)求證：OEUAC：

(2)如果48=10,AD=6,求EF的長.

10.(2023?房山區(qū)一模)如圖，△4BC中，AB=AC,以BC為直徑作。0,與邊AC交于

點。，過點。的。。的切線交的延長線于點E.

(1)求證：/BAC=2/DBC；

(2)若COS/8AC=3,DE=4,求BE的長.

5

ZADO=ZBOC.

(1)求證：AO是。。的切線；

(2)若tanNB4C=!，AD=3,求。。的半徑.

12.(2023?大興區(qū)一模)如圖，AB是。。的直徑，C為圓上一點，連接AC,BC,過點。

作0CAC于點￡>.過點A作。。的切線交。。的延長線于點P,連接CP.

(1)求證：C尸是。。的切線；

(2)過點B作BEJ_PC于點￡,若CE=4,cosNCA8=&,求?！?的長.

P

13.(2023?順義區(qū)一模)如圖，在。。中，A8是直徑，是弦，點C在。。上，CEL

A8于點E,CFA,AD,交AO的延長線于點F,且CE=CF.

(1)求證：CF是。。的切線：

(2)若CF=1,ZBAF=60°,求BE的長.

14.(2023?北京一模)如圖，AB為。。的直徑，C為。。上一點，點。為黃的中點，連

接AD,過點。作。ELAC,交AC的延長線于點E.

(1)求證：QE是。。的切線；

(2)延長交A8的延長線于點F,若BF=2,DF=4,求。0的半徑和OE的長.

2023年北京中考數(shù)學一模分類匯編一一圓綜合

參考答案與試卷解析

1.(2023?海淀區(qū)一模)如圖，A8為。。的直徑，C為。。上一點，O為食的中點，DE

±AC交AC的延長線于點E.

(1)求證：直線OE為。。的切線；

(2)延長4B,EO交于點尸.若BF=2,sin/AFE」，求AC的長.

3

【分析】(1)連接OD,連接8c交0￡＞于點F,證明。E〃BC,由垂徑定理得出。

CB,得出由切線的判定可得出答案；

(2)連接BC,OD,根據(jù)銳角三角函數(shù)求出OB=1,AB=2,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出N

ABC=NAFE,根據(jù)銳角三角函數(shù)求解即可.

【解答】(1)證明：連接OD,連接8C,

是。。的直徑,

AZACB=90°,

：.BCLAE,

'JDEVAC,

：.DE//BC,

;點。是它的中點,

J.ODYCB,

：.OD±DE,

又為。。的半徑，

...DE是。。的切線；

(2)解：如圖，連接8C,0D,

由(1)知，ODLEF,BC//EF,

VsinZAFE—A,

3

?-?一0,D-_-1，

OF3

,:BF=2,OB=OD,

?OB=1,

-，0B+2京，

OB=1,

，AB=2,

\'BC//EF,

：.NA8C=ZAFE,

；.sin/ABC=sinN4FE,

?AC=1,

ABT

：.AC=2L.

3

【點評】此題考查了切線的判定與性質(zhì)、解直角三角形，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)、

解直角三角形是解題的關(guān)鍵.

2.(2023?西城區(qū)一模)如圖，AB是。0的直徑，C是。0上一點，NACB的平分線交

于點D,過點D作。O的切線交CB的延長線于點E.

(1)求證：DE//AB-,

(2)若。4=5,sin/BAC=3,求線段OE的長.

5

【分析】（1）連接0D,根據(jù)圓周角定理得到/ACB=90°,根據(jù)角平分線的定義得到N

ACD^ZBCD=45°,根據(jù)切線的性質(zhì)得到/OOE=90,根據(jù)平行線的判定定理即可得

到結(jié)論；

（2）過B作BHA.DE于H,根據(jù)正方形的判定定理得到四邊形ODHB是正方形，根據(jù)

正方形的性質(zhì)得到OD=DH=BH=OB=5,/。8"=90°,根據(jù)勾股定理得到AC=

VAB2-BC2=8）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】（1）證明：連接。

是。。的直徑，

：.ZACB=90°,

平分/AC8,

AZACD=ZBCD=45°,

???NAOD=2/ACO=90°,

TOE是。。的切線，

???NOOE=90,

：.ZODE=ZAOD,

：.DE//AB；

（2）解：過B作BHLDE于H,

VOD1DE,

???OD//BH,

■:DE//AB、OD=OB,

，四邊形ODHB是正方形，

；.OD=DH=BH=OB=5,NOBH=90°,

TAB是。。的直徑，

AZACB=90°,

，sin/BAC=W=3,

AB5

：.BC=6,

?'?^C=VAB2-BC2=8,

'JAB//DE,

N48C=NE,

?.,NBHE=/4CB=90°,

.、△ABCs△BE”，

?ACBC

"BH'EH"

?.?—8=--6-,

5EH

.?.￡7/=耳

4

.?.OE=Z)H+EH=5+工=至

44

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，平行線的判定和性質(zhì)，解直角三角形,

正方形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

3.(2023?東城區(qū)一模)如圖，A8是。O的直徑，點C,。在00上，點力為眾的中點,

。。的切線QE交區(qū)4的延長線于點E,連接AC,BC,CD.

(1)求證：ZE=ZBAC；

(2)若G)O的半徑長為5,cosE="l,求CD和。E的長.

5

E

e

------^B

【分析】（1）先根據(jù)垂徑定理得到OOLAC,再根據(jù)切線的性質(zhì)得到OOJ_OE,所以O(shè)E

//AC,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到結(jié)論；

⑵。。交AC于尸點，如圖，在RgOAQE中利用余弦的定義求出0￡=絲，則利用

4

勾股定理可計算出DE=西,再在RtAOAF中利用余弦的定義求出A尸=4,則利用勾股

4

定理計算出。尸=3,所以。尸=2,接著根據(jù)垂徑定理CF=AF=4,然后利用勾股定理可

計算出CD的長.

【解答】（1）證明：???點。為京的中點，

：.OD±AC,

為。。的切線，

，ODLDE,

.,.DE//AC,

：.ZE=ZBAC；

（2）解：0。交AC于尸點，如圖，

在Rt/\OADE中，?/COSE=?.=A,

0E5

：.0E=^-X5=^-,

44

2T（晉）2-52=號，

在RtZkOAF中，cosZOAF=cosE=A=

5OA

.'.AF=—OA=4,

5

°F=VOA2-AF2=VB2-42=3'

：.DF=OD-OF=5-3=2,

'：OD±AC,

：.CF=AF=4,

22=2

在RtZXCD/中，^=^2+4^5)

即CD的長為2炳,DE的長為三.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.也考查了垂徑定理

和解直角三角形.

4.(2023?朝陽區(qū)一模)如圖，AB是。0的弦，過點。作。C_LA8,垂足為C,過點4作

。。的切線，交OC的延長線于點。，連接。8.

(1)求證：ZB=ZD；

(2)延長BO交。。于點E,連接AE,CE,若4。=2泥，sinB=恒，求CE的長.

5

【分析】(1)如圖，連接OA,根據(jù)切線的性質(zhì)得到NOAD=90°,根據(jù)余角的性質(zhì)得到

NOAB=ND,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)解直角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：如圖，連接04

B

A

??NO是OO的切線,

：.ZOAD=90Q,

：.ZCAD+ZOAB=90°,

'/OC_LAB,

???ZACD=90,

AZCAD+ZD=90°,

：.ZOAB=ZD,

???OA=OB,

：?/OAB=/B,

:?/B=ND；

(2)解：如圖，在RtZVlCZ)中，AD=2后,sin￡>=sinB=^,

5

???A8=2AC=4,

?,-C￡>=7AD2-AC2=4,

，tanB=tanZ)=

2

,??BE為。。的直徑,

：.ZEAB=90°,

在RtAABE中，AE=A3?tanB=2,

在RdACE中，根據(jù)勾股定理得CE=2近.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，正

確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

5.(2023?豐臺區(qū)一模)如圖，A3是。0的直徑，AD,BC是00的兩條弦，/ABC=2/

A,過點。作。。的切線交CB的延長線于點E.

(1)求證：CE1DE；

(2)若tanA=2，BE=1,求CB的長.

DE

【分析】(1)連接。。，證出/ABC=NOO8,由平行線的判定得出0￡>〃CE,由切線的

性質(zhì)得出OD1.DE,則可得出結(jié)論；

(2)過點。作OELBC于尸，證出=得出tan4=tan/BOE=巨支:Ji,求出

DE3

DE=3,由勾股定理求出的長，證出四邊形OOEF為矩形，得出EF=OD=5,則可

得出答案.

【解答】(1)證明：連接OD,

'：AO=DO,

：.ZA=ZADO,

：.NBOD=ZA+ZADO=2ZA,

又；ZABC=2ZA,

：.NABC=NDOB,

：.OD//CE,

〈DE是。。的切線，

:.0D上DE,

.\CE1DE；

(2)解：過點。作0FJ_8C于F,

VZODE=90°,

：./ODB+NBDE=90°,

又〈AB是。。的直徑，

AZADB=90°,

AZA+ZABD=90°,

又?:OD=OB,

：?NODB=NOBD,

：.NA=NBDE,

/.tanA=tanZBDE==A,

DE3

?：BE=\,

：.DE=3,

22

?*-BD=7BE+DE=Vl2+32=，

：.AD=3-/wf

:?AB=dAD?+BD2=10，

???00=08=5,

?：/0DE=NE=/OFB=90°,

???四邊形ODE尸為矩形，

:?EF=0D=5,

：?BF=EF?BE=5-1=4,

,：0F1.BC,

:?BC=2BF=8.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性

質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

6.(2023?石景山區(qū)一模)如圖，AB是。0的直徑，點。是弦AC延長線上一點，過點。

作于點E,過點C作。。的切線，交DE于點、F.

(1)求證：FC=FD；

(2)若E是。B的中點，sinO=3,OA=2,求尸。的長.

【分析】(1)連接OC,如圖，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到/OC廣=90°,再證明

FCD,從而得到FC=FQ；

(2)連接3C,過b點作于H,如圖，先在RtZ\AOE中利用正弦的定義求出

AD=5,再根據(jù)圓周角定理得到/AC8=90°,則乙48c=/。，接著在RtAABC中利

用正弦的定義求出4C=絲，則CD=型，由于FC=FD,FHA.CD,根據(jù)等腰三角形

55

的性質(zhì)得到然后在Rt^DFH中利用解直角三角形可求出DF的長.

10

【解答】(1)證明：連接OC,如圖，

為。。的切線，

，OCVCF,

：.ZOCF^9QQ,

：.ZFCD+ZACO=90°,

'：OA=OC,

：.ZOCA=ZA,

.,.ZFCD+ZA=90°,

"：DEI.AB,

.,.ZD+ZA=90°,

：.ZD=ZFCD,

:.FC=FD;

(2)解：連接8C,過尸點作FH_LC。于〃，如圖,

是。8的中點，0A=2,

：.OE=\,

；.A￡：=3,

在RtAADf中，

?.?sinZ)=^=3,

AD5

：.AD=^-X3=5,

3

為直徑，

AZACB=90°,

AZXBC+ZA=90°,

VZD+ZA=900,

：.ZABC=ZD,

在RtAABC中,

VsinZ/lBC=sinD=-^-=—,

AB5

；.AC=3X4=￡

55

CD=AD-AC=5-11=旦

55

'：FC=FD,FHLCD,

：.DH=CH^1.CD=H,

210

在RtaOFH中，

VsinD=^.=—,

DF5

...設(shè)"/=3x,DF=5x,

：.DH=4x,

即4x=烏

10

解得X=J1,

40

二。尸=5義里=里

408

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.也考查了圓周角定

理和解直角三角形.

7.(2023?通州區(qū)一模)如圖，△A8C是圓內(nèi)接三角形，過圓心。作OEJ_AC,連接OA,

OC,過點C作CD〃AO,交BA的延長線于點。，NCOE=45°.

(1)求證：。。是。。的切線；

(2)如果BUCE=8,求。。半徑的長度.

【分析】(1)根據(jù)同圓的半徑相等得等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)得出

ZAOE^ZCOE,根據(jù)平形線的性質(zhì)推出/OC￡>+NAOC=180°,進而得到NOCD=

90°,證明OC是。0的切線；

(2)根據(jù)(1)得/AOC=90°,N。4c=45°,進而得到NABC=/OAC=45°,再

加一個公共角，證明△ABCs^EAC,得比例線段理型，再根據(jù)BC?CE=8,求出

ACCE

AC的長，再根據(jù)勾股定理得OA的長.

【解答】(1)證明：：OA=OC,

：./\AOC為等腰三角形，

'：OE±AC,

：.ZAOE=ZCOE,

：NCOE=45°,

AZAOC=2ZCOE=90a,

'JCD//AO,

：.ZOCD+ZAOC=\SO°,

：.ZOCD=90°,

OC±OD,

?.?點c在。。上，

是。。的切線；

(2)解：由(1)可知NAOC=90°,NOAC=45°,

AZABC=AZAOC=45°,

2

AZABC=ZOAC=45a,

"：ZBCA=ZACE,

.?.△ABCs/XEAC,

?BCAC

**AC=CE，

：.AC2=BC'CE,

；BC?CE=8,

:.AC=2版,

根據(jù)勾股定理得，OA2+OC2=AC2,

；.O4=2,

???。。半徑的長度是2.

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)、解直角三角

形，掌握這幾個性質(zhì)定理的綜合應用是解題關(guān)鍵.

8.（2023?平谷區(qū)一模）如圖，AB是0。的直徑，C、。是。0上的兩點，且笳=防，過

點D作。。的切線交AC的延長線于點E.

（1）求證：ZE=90°；

(2)連接CD,若cos/ECD上，A8=9,求CE的長.

3

【分析】（1）連接OD,CD根據(jù)圓周角定理得到NEA￡>=ND48,證明OO〃AE,根

據(jù)平行線的性質(zhì)得到結(jié)論;

（2）求出COS/B=2，由銳角三角函數(shù)的定義可得出答案?

3

【解答】（1）證明：連結(jié)OD.

?「DE為。。的切線,

：.ZEDO=90Q,

VBD=DC.

：.4EAD=4DAB,

?.?。4=0。,

：.ZOAD=ZADO,

：.ZEAD=ZADOt

：.OD//AEf

：.ZE=ZEDO=90°；

(2)解：連接8。，CD,

???四邊形ABOC內(nèi)接于OO,

：./B=NECD,

??2

,cos/ECDf

?9

,?cosNB二不，

o

TAB是直徑，

AZADB=90°,

,.?A8=9,

：.BD=6f

VBD=DC)

：?CD=BD=6,

??2

,cosNECDf

o

：.CE=4.

【點評】本題考查的是切線的判定，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解直角三角

形，掌握經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵.

9.(2023?門頭溝區(qū)一模)如圖，AB是。。的直徑，點。在。0上，連接AO并延長到C,

使4c=AB,連接BC交。。于E,過點8作。。的切線交OE的延長線于點立

(1)求證：OE〃AC；

(2)如果48=10,AD=6,求EF的長.

【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)證出NC=NOEB,由平行線的判定可得出結(jié)論；

(2)由勾股定理求出BD=8,由垂徑定理求出BM=4,得出sin/0BM=SL=3,證

0B5

出得出sinF=@&=3,則可得出答案.

OF5

【解答】(1)證明：：OB=OC,

；.NOBE=NOEB,

又

：.ZABC=ZC,

：.ZC=ZOEB,

：.OE//AC-,

(2)解：連接BO,交OF于M,

為OO的直徑，

：.ZADB=90°,

'：AB=10,AD=6,

???BD=VAB2-AD2=V102-62=8,

VOE//AC,ADLBD,

：.OELBD,

；.BM=DM=4D=4,

2

°M=7OB2-BM2=VB2-42=3,

.?.sin/O2M=3L=3,

OB5

為。。的切線，

J.OBLBF,

；.NOB尸=90°,

：.ZBOF+ZF=90°,

：NOBM+NBOM=90°,

；.NOBM=NF,

；.sinF=^2m

OF5

??3?5,

5OF

0尸=生，

3

：.EF=OF-OE=^-5=曲.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，正確的

作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

10.(2023?房山區(qū)一模)如圖，ZVIBC中，AB=AC,以BC為直徑作O。，與邊AC交于

點。，過點。的。。的切線交8c的延長線于點E.

(1)求證：/BAC=2NDBC；

(2)若cos/BAC=&,DE=4,求BE的長.

5

【分析】(1)連接AO,如圖，先根據(jù)等腰三角形的“三線合一”得到AOLBC,AO平

分NBAC,則NBAC=2/OAC,再根據(jù)圓周角定理得到NB￡>C=90°,然后根據(jù)等角

的余角相等得到NOAC=NO2C,從而得到結(jié)論；

（2）連接?！?gt;,如圖，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到NODE=90°,再根據(jù)圓周角定理得到N

C0D=2ZDBC,則NCOQ=/BAC,接著在RtAOD￡中利用余弦的定義得到cos/

￡0。=型=旦，則設(shè)OO=3x,OE=5x,所以￡>E=4x=4,解得x=l,然后計算

0E5

OB+OE即可.

【解答】（1）證明：連接AO,如圖，

'：AB=AC,OB=OC,

：.AO±BC,A。平分NBAC,

：.ZBAC^2ZOAC,

為直徑，

AZBDC=90°,

NOBC+N8co=90°,

'：ZOAC+ZBCD=90°,

：.ZOAC=ZDBC,

：.NBAC=2NDBC；

（2）解：連接?！辏?如圖，

為。。的切線，

".OD1DE,

：.ZODE=90°,

■:NCOD=2NDBC,

NBAC=2NDBC,

，NCOO=NBAC,

/.cosZCOD=cosZBAC=—,

5

在RtZiODE中，VCOSZ￡OD=P5.=.3,

OE5

設(shè)。O=3x,OE=5x,

。―?、僧a(chǎn)-⑶產(chǎn)=叔，

即4x=4,

解得x=l,

：.OD=3,OE=5,

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.也考查了等腰三角

形的性質(zhì)、圓周角定理和解直角三角形.

（2023?延慶區(qū)一模）如圖，。0是△ABC的外接圓，A8是。0的直徑，OO_LOC,且

ZADO=ZBOC.

（1）求證：是。。的切線;

（2）若tan/BAC=上，AD=3,求。。的半徑.

2

【分析】（I）根據(jù)OOLOC,得出/DOC=90°,進而得NAOO+NBOC=90°,則N

ZMO=90°,由A8是。。的直徑得出結(jié)論；

(2)因為AB是。。的直徑，推出N8AC+NB=90°,過點C作CE_LAB于點E,則N

ECB+NB=90°,則/B4C=NEC8,貝ijtanNECB=tan/B4C=」，設(shè)BE="(a>0),

2

則CE=2a,BC=45a,則AC=2屆a,AB=5a,求出OA和OE,由△AOOs4

EOC,得出AD,進而求得OA=4.

【解答】（1）證明：;。。，。。

：.ZDOC=90Q.

AZA0D+ZB0C=9Q°.

'：ZADO=ZBOC,

：.ZAOD+ZADO=90Q.

.,.ND4O=90°.

是O。的直徑，

.??AC是。。的切線.

(2)解：是。。的直徑,

/.ZACB=90°.

.,.ZBAC+ZB=90°.

過點C作CELAB于點E,

:.NECB+NB=9Q°.

：.ZBAC=ZECB.

.".lanZECB=tanZBAC=—,

2

設(shè)BE=a(?>0),則CE=2a,BC=&a.

.,.AC=2-\[5a,AB=5a.

：.OA=OB=2.5a.

.,.0E—\,5a.

,//\ADO^/\EOC,

?ADQE

"AO"EC'

.AD1.5a3

,?而:2aN

\'AD=3,

AOA=4.

???。0的半徑為4.

【點評】本題考查圓周角定理，切線的判定和性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系以及等腰三

角形，掌握切線的判定方法，直角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的前提.

12.(2023?大興區(qū)一模)如圖，AB是。。的直徑，C為圓上一點，連接AC,BC,過點。

作OOLAC于點D過點A作。0的切線交0。的延長線于點P,連接CP.

(1)求證：CP是。。的切線；

(2)過點B作BELPC于點E,若CE=4,COSZCAB=A,求OD的長.

P

【分析】(1)連接OC,如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得NB4B=90°,再根據(jù)垂徑定理證明

0。垂直平分AC,則PA=PC,接著證明/PCO=N%O=90°,然后根據(jù)切線的判定

方法得到結(jié)論；

(2)根據(jù)圓周角定理，由AB為直徑得到NACB=90°,再證明NA=NBCE,接著在

Rt/XBCE中利用余弦的定義求出BC=5,然后證明。。為△ABC的中位線，從而得到0。

的長.

【解答】(1)證明：連接。C,如圖，

為。。的切線，AB為直徑，

：.PA1AB,

：.ZPAB=90a,

,CODA.AC,

：.AD=CD,即0。垂直平分AC,

：.PA^PC,

：.ZPCA^^PAD,

'：0A=0C,

：.Z0CA^Z0AC,

：./PC0=ZPCA+ZOCA^ZPAC+ZOAC^ZPAO=90Q,

：.PCL0C,

；oc為oo的半徑，

...CP是。。的切線；

(2)解：為直徑，

AZACB=90°,

AZA+ZABC=9QQ,

'：OB=OC,

:.NOBC=NOCB,

VZOC￡=90°,

：.ZOCB+ZBCE=90°,

：.NA=NBCE,

'：BEICE,

AZ￡=90°,

在RdBCE中，VCOSZBCE=COSZBAC=-^-=A,