第六章計(jì)數(shù)原理

汽車號(hào)牌的序號(hào)一般是從26個(gè)英文字母、10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字中選出若干個(gè),并按適當(dāng)順序排列而成.隨著人們生活水平的提高，家庭汽車擁有量迅速增長，汽車號(hào)牌序號(hào)需要擴(kuò)容.那么，交通管理部門應(yīng)如何確定序號(hào)的組成方法,才能滿足民眾的需求呢?這就需要“數(shù)出”某種汽車號(hào)牌序號(hào)的組成方案下所有可能的序號(hào)數(shù)，這就是計(jì)數(shù).

日常生活、生產(chǎn)中類似的問題大量存在.例如,幼兒會(huì)通過一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)的方法，計(jì)算自己擁有玩具的數(shù)量;學(xué)校要舉行班際籃球比賽，在確定賽制后，體育組的老師需要知道共需要舉行多少場(chǎng)比賽;用紅、黃、綠三面旗幟組成航海信號(hào)，顏色的不同排列表示不同的信號(hào)，需要知道共可以組成多少種不同的信號(hào)……如果問題中數(shù)量很少，一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)也不失為一種計(jì)數(shù)的好方法.但如果問題中數(shù)量很多，我們還一個(gè)一個(gè)地去數(shù)嗎?

在小學(xué)我們學(xué)了加法和乘法，這是將若干個(gè)“小”的數(shù)結(jié)合成“較大”的數(shù)最基本的方法.這兩種方法經(jīng)過推廣就成了本章將要學(xué)習(xí)的分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.這兩個(gè)原理是解決計(jì)數(shù)問題的最基本、最重要的方法，利用兩個(gè)計(jì)算原理還可以得到兩類特殊計(jì)數(shù)問題的計(jì)數(shù)公式——排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，應(yīng)用公式就可以方便地解決一些計(jì)數(shù)問題.作為計(jì)數(shù)原理與計(jì)數(shù)公式的一個(gè)應(yīng)用，本章我們還將學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)上有廣泛應(yīng)用的二項(xiàng)式定理.6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

第一課時(shí)(分類加法計(jì)數(shù)原理

分步乘法計(jì)數(shù)原理)

計(jì)數(shù)問題是我們從小就經(jīng)常遇到的,通過列舉一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)是計(jì)數(shù)的基本方法.但當(dāng)問題中的數(shù)量很大時(shí)，列舉的方法效率不高.能否設(shè)計(jì)巧妙的“數(shù)法”，以提高效率呢?下面先分析一個(gè)簡(jiǎn)單的問題,并嘗試從中得出巧妙的計(jì)數(shù)方法.

用一個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的一個(gè)座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼?一、探究新知

因?yàn)橛⑽淖帜腹灿?6個(gè)，阿拉伯?dāng)?shù)字共有10個(gè)，所以總共可以編出

26＋10=36種不同的號(hào)碼.

你能說一說這個(gè)問題的特征嗎?

首先，這里要完成的事情是“給一個(gè)座位編號(hào)”;其次是“或”字的出現(xiàn):

一個(gè)座位編號(hào)用一個(gè)英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字表示.因?yàn)橛⑽淖帜概c阿拉伯?dāng)?shù)字互不相同，所以用英文字母編出的號(hào)碼與用阿拉伯?dāng)?shù)字編出的號(hào)碼也互不相同.這兩類號(hào)碼數(shù)相加就得到號(hào)碼的總數(shù).

上述計(jì)數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)是:

(1)確定分類標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)問題條件分為字母號(hào)碼和數(shù)字號(hào)碼兩類；

(2)分別計(jì)算各類號(hào)碼的個(gè)數(shù)；

(3)各類號(hào)碼的個(gè)數(shù)相加，得出所有號(hào)碼的個(gè)數(shù).

你能舉一些生活中類似的例子嗎?一、探究新知二、分類加法計(jì)數(shù)原理

分類加法計(jì)數(shù)原理：

完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有

N=m+n種不同的方法.

兩類不同方案中的方法互不相同.A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)例1在填寫高考志愿表時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到,A、B兩所大學(xué)

各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，如下表.

如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè),那么他共有多少種選擇?二、分類加法計(jì)數(shù)原理三、探究新知

如果完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法?

如果完成一件事情有n類不同方案，在每一類中都有若干種不同的方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢?三、探究新知

用前6個(gè)大寫英文字母和1～9這9個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字,以A1、A2、…、A9，B1、B2，…的方式給教室里的一個(gè)座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼?

這里要完成的事情仍然是“給一個(gè)座位編號(hào)”，但與前一問題的要求不同.在前一問題中，用26個(gè)英文字母中的任意一個(gè)或10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字中的任意一個(gè)，都可以給出一個(gè)座位號(hào)碼.但在這個(gè)問題中，號(hào)碼必須由一個(gè)英文字母和一個(gè)作為下標(biāo)的阿拉伯?dāng)?shù)字組成，即得到一個(gè)號(hào)碼要經(jīng)過先確定一個(gè)英文字母，后確定一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字這樣兩個(gè)步驟.用下圖所示的方法可以列出所有可能的號(hào)碼.三、探究新知

用前6個(gè)大寫英文字母和1～9這9個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字,以A1、A2、…、A9，B1、B2，…的方式給教室里的一個(gè)座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼?

也可以這樣思考:

由于前6個(gè)英文字母中的任意一個(gè)都能與9個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè)組成一個(gè)號(hào)碼，而且它們互不相同，因此共有6×9=54種不同的號(hào)碼.

右圖是解決計(jì)數(shù)問題常用的“樹狀圖”.你能用樹狀圖列出所有可能的號(hào)碼嗎?字母數(shù)字得到的號(hào)碼A1A2A3A4A5A6A7A8A9123456789A三、探究新知

你能說一說這個(gè)問題的特征嗎?

上述問題要完成的一件事情仍然是“給一個(gè)座位編號(hào)”，其中最重要的特征是“和”字的出現(xiàn):一個(gè)座位編號(hào)由一個(gè)英文字母和一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字構(gòu)成.因此得到一個(gè)座位號(hào)要經(jīng)過先確定一個(gè)英文字母，后確定一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字這兩個(gè)步驟，每一個(gè)英文字母與不同的數(shù)字組成的號(hào)碼是互不相同的.四、分步乘法計(jì)數(shù)原理

分步乘法計(jì)數(shù)原理：

完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有

N=m×n種不同的方法.

無論第1步采用哪種方法,與之對(duì)應(yīng)的第2步都有相同的方法數(shù).例2某班有男生30名、女生24名，從中任選男生和女生各1名代表

班級(jí)參加比賽,共有多少種不同的選法?四、分步乘法計(jì)數(shù)原理

如果完成一件事需要三個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法?

如果完成一件事情需要n個(gè)步驟，做每一步都有若干種不同的方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢?四、分步乘法計(jì)數(shù)原理例3書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的

文藝書，第3層放有2本不同的體育書.

(1)從書架上任取1本書，有多少種不同取法?

(2)從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有多少種不同

取法?五、計(jì)數(shù)原理六、課堂小結(jié)1.分類加法計(jì)數(shù)原理：

完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的

方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有

種不同的方法.2.分步乘法計(jì)數(shù)原理：

完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做