2高等數(shù)學(xué)(慕課版)(第2章)教案1目錄課程介紹與教學(xué)目標(biāo)極限與連續(xù)導(dǎo)數(shù)與微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用不定積分與定積分常微分方程初步201課程介紹與教學(xué)目標(biāo)3高等數(shù)學(xué)課程簡介高等數(shù)學(xué)是大學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分，主要研究函數(shù)、極限、微分學(xué)、積分學(xué)等內(nèi)容，為后續(xù)專業(yè)課程提供必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。通過本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)掌握高等數(shù)學(xué)的基本概念、基本理論和基本方法，培養(yǎng)抽象思維、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。4知識目標(biāo)掌握函數(shù)、極限、連續(xù)、微分、積分等基本概念和理論，理解相關(guān)定理和公式的推導(dǎo)過程。能力目標(biāo)能夠運(yùn)用所學(xué)知識解決簡單的實(shí)際問題，具備初步的數(shù)學(xué)建模能力。素質(zhì)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力，提高學(xué)生的邏輯思維和抽象思維能力。教學(xué)目標(biāo)與要求0302015第1章函數(shù)與極限：介紹函數(shù)的概念、性質(zhì)、極限的定義及運(yùn)算法則，包括無窮小量、無窮大量等概念。第2章導(dǎo)數(shù)與微分：講解導(dǎo)數(shù)的定義、性質(zhì)、計(jì)算法則及其在幾何、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域的應(yīng)用，介紹微分的概念及計(jì)算方法。第3章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：闡述中值定理的內(nèi)容及其證明方法，探討洛必達(dá)法則、泰勒公式等導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題。第4章不定積分：研究不定積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算法則及其在幾何、物理等領(lǐng)域的應(yīng)用。第5章定積分及其應(yīng)用：講解定積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算法則及其在面積、體積等計(jì)算中的應(yīng)用，介紹廣義積分的概念及計(jì)算方法。章節(jié)內(nèi)容與安排602極限與連續(xù)7描述當(dāng)自變量趨近于某個值時(shí)，函數(shù)值趨近于的確定數(shù)值。極限的定義唯一性、局部有界性、保號性、四則運(yùn)算法則等。極限的性質(zhì)從左側(cè)或右側(cè)趨近時(shí)函數(shù)值的極限。左右極限極限概念及性質(zhì)8ABDC無窮小量的定義當(dāng)自變量趨近于某個值時(shí)，函數(shù)值趨近于0的量。無窮小量的性質(zhì)有限個無窮小量的和、差、積仍是無窮小量；無窮小量與有界量的乘積是無窮小量。無窮大量的定義當(dāng)自變量趨近于某個值時(shí)，函數(shù)值趨近于無窮大的量。無窮大量與無窮小量的關(guān)系在同一變化過程中，如果f(x)是g(x)的無窮小量，那么g(x)就是f(x)的無窮大量。無窮小量與無窮大量9極限的四則運(yùn)算法則在自變量的同一變化過程中，如果兩個函數(shù)都有極限，那么它們的和、差、積、商（分母極限不為0）的極限等于各自極限的和、差、積、商。復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則如果內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)在相應(yīng)的變化過程中都有極限，那么復(fù)合函數(shù)的極限等于外層函數(shù)在內(nèi)層函數(shù)極限處的極限值。極限運(yùn)算法則10連續(xù)函數(shù)的定義在自變量的某一區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)在每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱該函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)局部有界性、保號性、四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性等。間斷點(diǎn)的分類第一類間斷點(diǎn)（可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)）和第二類間斷點(diǎn)（無窮間斷點(diǎn)、振蕩間斷點(diǎn)）。連續(xù)函數(shù)概念及性質(zhì)1103導(dǎo)數(shù)與微分12010203導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)值隨自變量變化的速率，即函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線斜率。導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法通過求極限的方式計(jì)算導(dǎo)數(shù)，包括基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則等。導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在某一點(diǎn)處的切線斜率，可以反映函數(shù)的增減性和變化趨勢。導(dǎo)數(shù)概念及計(jì)算方法13高階導(dǎo)數(shù)定義函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)是指對其多次求導(dǎo)后得到的導(dǎo)數(shù)，反映了函數(shù)更高層次的變化特征。高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法通過連續(xù)求導(dǎo)的方式計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)，需要掌握高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法則和公式。高階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的極值、拐點(diǎn)、凹凸性等方面有重要應(yīng)用，是數(shù)學(xué)分析中的重要工具。高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算與應(yīng)用14微分計(jì)算方法通過求導(dǎo)數(shù)和乘以自變量的增量來計(jì)算微分，需要掌握微分的基本公式和運(yùn)算法則。微分的幾何意義微分在幾何上表示曲線在某一點(diǎn)處的切線縱坐標(biāo)的增量，可以反映函數(shù)在該點(diǎn)處的局部變化特征。微分定義微分是函數(shù)在某一點(diǎn)處的局部變化量，即函數(shù)值的增量與自變量增量的比值在自變量增量趨于零時(shí)的極限。微分概念及計(jì)算方法15邊際分析01導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中用于邊際分析，即研究經(jīng)濟(jì)變量之間的邊際關(guān)系，如邊際成本、邊際收益等。通過求導(dǎo)數(shù)可以得到邊際函數(shù)，進(jìn)而分析經(jīng)濟(jì)行為的邊際效應(yīng)。彈性分析02微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中用于彈性分析，即研究經(jīng)濟(jì)變量之間的相對變化關(guān)系。通過求微分可以得到彈性系數(shù)，進(jìn)而分析經(jīng)濟(jì)變量之間的敏感度和相互影響程度。最優(yōu)化問題03導(dǎo)數(shù)和微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)最優(yōu)化問題中有廣泛應(yīng)用，如求解最大利潤、最小成本等。通過求導(dǎo)數(shù)和微分可以找到函數(shù)的極值點(diǎn)和最值點(diǎn)，進(jìn)而確定最優(yōu)解。導(dǎo)數(shù)與微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用1604中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用17中值定理內(nèi)容及證明費(fèi)馬引理闡述可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，即函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零。羅爾定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且區(qū)間兩端函數(shù)值相等，則至少存在一個點(diǎn)使得函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為零。拉格朗日中值定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一個點(diǎn)使得函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于區(qū)間兩端函數(shù)值之差與區(qū)間長度的比值?？挛髦兄刀ɡ硎抢窭嗜罩兄刀ɡ淼耐茝V，涉及兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。18洛必達(dá)法則及應(yīng)用舉例洛必達(dá)法則在求解不定式極限時(shí)，通過分子分母分別求導(dǎo)來簡化計(jì)算的方法。適用于0/0型和∞/∞型的不定式極限。應(yīng)用舉例求解復(fù)雜函數(shù)極限、判斷函數(shù)漸近線、求解含參變量的極限等。19用多項(xiàng)式逼近一個可導(dǎo)函數(shù)的方法，即一個可導(dǎo)函數(shù)可以表示為其在某點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)與對應(yīng)的泰勒多項(xiàng)式的和。近似計(jì)算函數(shù)值、估計(jì)誤差、證明不等式、求解微分方程等。泰勒公式及應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例泰勒公式20函數(shù)單調(diào)性判斷通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于零時(shí)函數(shù)單調(diào)增加，當(dāng)導(dǎo)數(shù)小于零時(shí)函數(shù)單調(diào)減少。極值判斷通過函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的極值，即當(dāng)二階導(dǎo)數(shù)大于零時(shí)函數(shù)取得極小值，當(dāng)二階導(dǎo)數(shù)小于零時(shí)函數(shù)取得極大值。同時(shí)結(jié)合一階導(dǎo)數(shù)來判斷極值點(diǎn)的位置。函數(shù)單調(diào)性與極值判斷2105不定積分與定積分2201不定積分是求一個函數(shù)的原函數(shù)或反導(dǎo)數(shù)的過程，結(jié)果是一個函數(shù)族，每個函數(shù)之間相差一個常數(shù)。不定積分的定義02不定積分具有線性性、可加性和常數(shù)倍性質(zhì)。不定積分的性質(zhì)03通過湊微分、換元法、分部積分法等方法求解不定積分。不定積分的計(jì)算方法不定積分概念及計(jì)算方法23定積分的定義定積分是求一個函數(shù)在閉區(qū)間上的積分值，結(jié)果是一個數(shù)。定積分的計(jì)算方法通過牛頓-萊布尼茲公式、換元法、分部積分法等方法求解定積分。定積分的性質(zhì)定積分具有可加性、保號性、絕對值不等式性質(zhì)等。定積分概念及計(jì)算方法24廣義積分是對定積分的擴(kuò)展，允許積分區(qū)間包含無窮大或函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有瑕點(diǎn)。廣義積分的定義無窮限廣義積分和瑕點(diǎn)廣義積分。廣義積分的分類通過變量替換、分部積分等方法求解廣義積分，注意驗(yàn)證積分的收斂性。廣義積分的計(jì)算方法廣義積分簡介及計(jì)算舉例25123計(jì)算平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積等。定積分在幾何學(xué)中的應(yīng)用計(jì)算變力做功、液體壓力、引力等物理量。定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用通過具體實(shí)例分析定積分在幾何學(xué)和物理學(xué)中的應(yīng)用，如計(jì)算拋物線弓形面積、圓柱體體積等。舉例分析定積分在幾何學(xué)和物理學(xué)中應(yīng)用2606常微分方程初步27常微分方程基本概念和分類常微分方程的解使得方程成立的函數(shù)。常微分方程的階方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。常微分方程定義含有未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程，且導(dǎo)數(shù)（或微分）的階數(shù)是常數(shù)。常微分方程的通解與特解含有任意常數(shù)的解稱為通解；不含任意常數(shù)的解稱為特解。線性與非線性常微分方程未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)（或微分）的次數(shù)都為一次的方程稱為線性方程；否則稱為非線性方程。28齊次方程形如dy/dx=f(y/x)或dx/dy=f(x/y)的方程，可通過變量代換化為可分離變量的微分方程求解。伯努利方程形如dy/dx+P(x)y=Q(x)y^n(n≠0,1)的方程，可通過變量代換化為一階線性微分方程求解。一階線性微分方程形如dy/dx+P(x)y=Q(x)的方程，可通過常數(shù)變易法或公式法求解?？煞蛛x變量的微分方程形如dy/dx=f(x)g(y)的方程，可通過兩邊積分求解。一階常微分方程解法舉例29二階線性微分方程形如y''+P(x)y'+Q(x)y=0的方程，可通過特征根法或常數(shù)變易法求解。二階常系數(shù)線性微分方程形如y''+py'+qy=0(p,q為常數(shù))的方程，可通過特征根法求解?？山惦A的二階微分方程形如y''=f(x,y')或y''=f(y,y')的方程，可通過降階法求解。二階常微分方程解法舉例30ABCD