專題08菱形中的最值【例題講解】如圖，菱形ABCD的邊長是6，∠A＝60°，E是AD的中點，F是AB邊上一個動點，EG＝EF且∠GEF＝60°，則GB+GC的最小值是_____解：連接BD∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∵E是AD的中點，∴BE⊥AD，取AB與CD的中點M，N，連接MN，∴點B關于MN的對稱點是E，連接EC，此時CE的長就是GB+GC的最小值；∵MN∥AD，∴HM＝AE，∵HB⊥HM，AB＝6，∠A＝60°，∴MB＝3，∠HMB＝60°，∴HM＝1.5，∴AE＝3，∵∠AEB＝∠MHB＝90°，∴∠CBE＝90°，在Rt△EBC中，EB＝3，BC＝6，∴EC＝3，故答案為3．【綜合演練】1．如圖，在邊長為6的菱形中，，E為的中點，F是上的一動點，則的最小值為（

）A． B．6 C．3 D．2．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，E為BC的中點，則對角線BD上的動點P到E、C兩點的距離之和的最小值為（）A． B． C． D．3．如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，點P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點，則PK+QK的最小值為（）A．2 B．2 C．4 D．2+24．如圖，在菱形中，，，、分別為、的中點，是上的一個動點，則的最小值是（

）A．3 B． C．4 D．5．如圖，菱形ABCD的邊長為2，且∠DAB＝60°，E是BC的中點，P為BD上一點且△PCE的周長最小，則△PCE的周長的最小值為（）A． B． C． D．6．如圖，菱形的邊長為，點為邊的中點，點為對角線上一動點，則的最小值為__________．7．如圖，四邊形為菱形，以為斜邊的的面積為3，，點E，C在BD的同側，點P是BD上的一動點，則的最小值是_____________．8．如圖，菱形ABCD的兩條對角線分別長6和8，點P是對角線AC上的一個動點，點M、N分別是邊AB、BC的中點，則△PMN周長的最小值是_______．9．如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠B＝120°．點P是對角線AC上一點（不與端點A重合），則AP+PD的最小值為_____．10．如圖，菱形ABCD中，∠ABC=56°，點E，F分別在BD，AD上，當AE+EF的值最小時，則∠AEF=___度．11．如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠ADC=120°，點E是AD上一動點（不與點A，D重合），點F是CD上一動點，且AE+CF=4，則△BEF面積的最小值為______________.12．如圖，在菱形ABCD中，E，F分別是邊CD，BC上的動點，連接AE，EF，G，H分別為AE，EF的中點，連接GH．若，，則GH的最小值為___________．13．如圖，菱形ABCD中，，邊長為3，P是對角線BD上的一個動點，則的最小值是______．14．如圖，菱形的邊長為，，點是邊上任意一點(端點除外)，線段的垂直平分線交，分別于點，，，的中點分別為，．(1)求證：；(2)求的最小值．15．如圖，菱形ABCD的邊長是6，∠A＝60°，E是AD的中點，F是AB邊上一個動點，EG＝EF且∠GEF＝60°，則GB+GC的最小值是_____專題08菱形中的最值【例題講解】如圖，菱形ABCD的邊長是6，∠A＝60°，E是AD的中點，F是AB邊上一個動點，EG＝EF且∠GEF＝60°，則GB+GC的最小值是_____解：連接BD∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∵E是AD的中點，∴BE⊥AD，取AB與CD的中點M，N，連接MN，∴點B關于MN的對稱點是E，連接EC，此時CE的長就是GB+GC的最小值；∵MN∥AD，∴HM＝AE，∵HB⊥HM，AB＝6，∠A＝60°，∴MB＝3，∠HMB＝60°，∴HM＝1.5，∴AE＝3，∵∠AEB＝∠MHB＝90°，∴∠CBE＝90°，在Rt△EBC中，EB＝3，BC＝6，∴EC＝3，故答案為3．【綜合演練】1．如圖，在邊長為6的菱形中，，E為的中點，F是上的一動點，則的最小值為（

）A． B．6 C．3 D．【答案】A【分析】根據菱形的對角線互相垂直平分，點B關于AC的對稱點是點D，連接ED，EF+BF最小值等于ED的長，然后解直角三角形即可求解．【詳解】解：如圖，連接BD，∵菱形ABCD中，∠DAB=60°，∴△ABD是等邊三角形，∵在菱形ABCD中，AC與BD互相垂直平分，∴點B、D關于AC對稱，如圖，連接ED，則ED的長就是所求的EF+BF的最小值，∵E為AB的中點，∠DAB=60°，∴DE⊥AB，∴ED=，∴EF+BF的最小值為．故選：A．【點睛】本題主要考查了菱形的性質和解直角三角形，關鍵是判斷出ED的長就是所求的EF+BF的最小值．2．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，E為BC的中點，則對角線BD上的動點P到E、C兩點的距離之和的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據菱形的性質，得知A、C關于BD對稱，根據軸對稱的性質，將PE+PC轉化為PE+AP，再根據兩點之間線段最短得知AE為PE+PC的最小值,進而求AE的值即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴A、C關于BD對稱，∴連AE交BD于P，則PE+PC＝PE+AP＝AE，根據兩點之間線段最短，AE的長即為PE+PC的最小值．∵∠ABC＝60°，AB=BC∴△ABC為等邊三角形，又∵BE＝CE，∴AE⊥BC，∴AE＝＝．故選：C．【點睛】本題主要考查最短距離問題，掌握勾股定理，等邊三角形的性質及菱形的對稱性是解題的關鍵．3．如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，點P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點，則PK+QK的最小值為（）A．2 B．2 C．4 D．2+2【答案】B【詳解】解：作點P關于BD的對稱點P′，作P′Q⊥CD交BD于K，交CD于Q，∵AB=4，∠A=120°，∴點P′到CD的距離為4×=，∴PK+QK的最小值為，故選B．【點睛】本題考查軸對稱-最短路線問題；菱形的性質．4．如圖，在菱形中，，，、分別為、的中點，是上的一個動點，則的最小值是（

）A．3 B． C．4 D．【答案】C【分析】作E點關于AC的對稱點點G，連接GF交AC于點P，連接PE，當P、G、F三點共線時，PE+PF有最小值，最小值為GF，求出GF即可．【詳解】解：作E點關于AC的對稱點點G，連接GF交AC于點P，連接PE，連接PE，由對稱性可得PG=PE，AG=AE，∴PE+PF=PG+PF?GF，當P、G、F三點共線時，PE+PF有最小值，∵點E是AB的中點，∴點G是AD的中點，，∵F是BC的中點，，又∵四邊形ABCD是菱形，∴，AD=BC，，∴四邊形ABFG是平行四邊形，∴GF=AB=4，∴PE+PF的最小值為4，故選：C．【點睛】本題考查了軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，菱形的性質是解題的關鍵．5．如圖，菱形ABCD的邊長為2，且∠DAB＝60°，E是BC的中點，P為BD上一點且△PCE的周長最小，則△PCE的周長的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由菱形的性質可得點A與點C關于BD對稱，則△PCE的周長＝PC＋PE＋CE＝AE＋CE，此時△PCE的周長最小，過點E作EG⊥AB交AB延長線于點G，由∠BAD＝60°，可求∠EBG＝60°，則BG＝，EG＝，在Rt△AEG中，求出AE＝，則△PCE的周長＝AE＋CE＝＋1，即為所求．【詳解】解：∵菱形ABCD，∴點A與點C關于BD對稱，連接AE交BD于點P，連接PC，則PE＋PC＝PA＋PC＝AE，∴△PCE的周長＝PC＋PE＋CE＝AE＋CE，此時△PCE的周長最小，∵E是BC的中點，菱形ABCD的邊長為2，∴BE＝1，AB＝2，過點E作EG⊥AB交AB延長線于點G，∵∠BAD＝60°，∴∠ABC＝120°，∴∠EBG＝60°，∴BG＝，EG＝，在Rt△AEG中，AE2＝AG2＋EG2，∴AE＝，∴△PCE的周長＝AE＋CE＝＋1，∴△PCE的周長的最小值為＋1，故選：B．【點睛】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握菱形的性質，將所求問題轉化為求AE的長是解題的關鍵．6．如圖，菱形的邊長為，點為邊的中點，點為對角線上一動點，則的最小值為__________．【答案】3【分析】找出點關于的對稱點，連接交于，則就是的最小值，求出即可．【詳解】解：連接，交于，連接交于，由菱形的對角線互相垂直平分，可得、關于對稱，則，，即就是的最小值．四邊形是菱形，，，是等邊三角形，，（等腰三角形三線合一的性質）．在中，．即的最小值為3．故答案為3．【點睛】本題主要考查軸對稱—最短路線問題，菱形的性質，勾股定理等知識點，確定P點的位置是解答本題的關鍵．7．如圖，四邊形為菱形，以為斜邊的的面積為3，，點E，C在BD的同側，點P是BD上的一動點，則的最小值是_____________．【答案】3【分析】根據菱形的軸對稱性可得A、C關于BD對稱，當A、P、E三點共線時，的值最小為AE，再根據三角形的面積即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形菱形，∴A、C關于BD對稱，∵點E，C在BD的同側，∴當A、P、E三點共線時，的值最小，且最小值為AE；∵以為斜邊的的面積為3，，∴，∴AE=3，∴的最小值是3故答案為：3．【點睛】本題考查了菱形的性質、最短問題、面積法等知識，解題的關鍵是利用軸對稱解決最值問題，是中考?？碱}型．8．如圖，菱形ABCD的兩條對角線分別長6和8，點P是對角線AC上的一個動點，點M、N分別是邊AB、BC的中點，則△PMN周長的最小值是_______．【答案】9【分析】要求PM＋PN的最小值，PM、PN不能直接求，可考慮通過作輔助線轉化PN、PM的值，從而找出其最小值,即可求出△PMN周長的最小值．【詳解】解：如圖：連接MN，作ME⊥AC交AD于E，連接EN，則EN就是PM＋PN的最小值，∵菱形ABCD，M、N分別是AB、BC的中點，∴BN＝BM＝AM，MN=∵ME⊥AC交AD于E，∴AE＝AM，∴AE＝BN，AE∥BN，∴四邊形ABNE是平行四邊形，∴EN＝AB，EN∥AB，而由題意可知，可得AB＝＝5，∴EN＝AB＝5，∴PM＋PN的最小值為5．∵MN不變，當PM＋PN的最小值時，△PMN周長最小，∴△PMN周長最小=9故答案為：9．【點睛】本題考查菱形的性質、軸對稱、平行四邊形的判定及勾股定理等知識的綜合應用．綜合運用這些知識是解決本題的關鍵．9．如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠B＝120°．點P是對角線AC上一點（不與端點A重合），則AP+PD的最小值為_____．【答案】3【分析】過點P作PE⊥AB于點E，過點D作DF⊥AB于點F，根據四邊形ABCD是菱形，且∠B＝120°，∠DAC＝∠CAB＝30°，可得PE＝AP，當點D，P，E三點共線且DE⊥AB時，PE+DP的值最小，最小值為DF的長，根據勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，過點P作PE⊥AB于點E，過點D作DF⊥AB于點F,∵四邊形ABCD是菱形，且∠B＝120°,∴∠DAC＝∠CAB＝30°,∴PE＝AP;∵∠DAF＝60°,∴∠ADF＝30°,∴AF＝AD＝×6＝3;∴DF＝3;∵AP+PD＝PE+PD,∴當點D，P，E三點共線且DE⊥AB時,PE+DP的值最小，最小值為DF的長,∴AP+PD的最小值為3.故答案為：3.【點睛】本題考查了菱形的性質，結合直角三角形、等邊三角形的判定與性質知識點，準確判斷最小值的判定.10．如圖，菱形ABCD中，∠ABC=56°，點E，F分別在BD，AD上，當AE+EF的值最小時，則∠AEF=___度．【答案】56【分析】連接AC，過點C作CF⊥AD，交BD于點E，交AD于點F，連接AE，根據菱形的性質和垂線段最短可得此時AE＋EF的值最小，且最小值即為CF的長，然后根據等腰三角形的性質、直角三角形的性質和三角形外角的性質即可求出結論．【詳解】解：連接AC，過點C作CF⊥AD，交BD于點E，交AD于點F，連接AE∵四邊形ABCD為菱形，∠ABC=56°∴菱形ABCD是以BD所在直線為對稱軸的軸對稱圖形，∠ADC=∠ABC=56°，DA=DC∴AE=CE，∠DAC=∠DCA=（180°－∠ADC）=62°∴此時AE＋EF=CE＋EF=CF，∠EAC=∠ECA根據垂線段最短可知：此時AE＋EF的值最小，且最小值即為CF的長∵CF⊥AD∴∠AFC=90°∴∠ECA=90°－∠DAC=28°∴∠EAC=28°∴∠AEF=∠EAC＋∠ECA=56°故答案為：56．【點睛】此題考查的是菱形的性質、垂線段最短的應用、直角三角形的性質和等腰三角形的性質，掌握菱形的性質、垂線段最短、直角三角形的兩個銳角互余和等邊對等角是解決此題的關鍵．11．如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠ADC=120°，點E是AD上一動點（不與點A，D重合），點F是CD上一動點，且AE+CF=4，則△BEF面積的最小值為______________.【答案】【分析】首先證明△BEF是等邊三角形，當BE⊥AD時面積最?。驹斀狻拷猓哼B接BD，∵菱形ABCD邊長為4，∠ADC=120°，∴∠BAD=60°，∴△ABD與△BCD都為等邊三角形，∴∠FDB=∠EAB=60°，∵AE+CF=4，而DF+CF=4，∴AE=DF，∵AB=BD，∴△BDF≌△BAE（SAS），∴BE=BF，∠ABE=∠DBF，∴∠EBF=∠ABD=60°，∴△BEF是等邊三角形，∴當BE⊥AD時，△BEF的面積最小，在Rt△ABE中，AE=AB=2，由勾股定理得BE=2，同理可得等邊△BEF的邊BE上的高為×2=3，△BEF面積的最小值=3．故答案為：3．【點睛】本題考查了菱形的性質、等邊三角形的判定和性質、垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．12．如圖，在菱形ABCD中，E，F分別是邊CD，BC上的動點，連接AE，EF，G，H分別為AE，EF的中點，連接GH．若，，則GH的最小值為___________．【答案】【分析】連接AF，利用三角形中位線定理，可知GH=AF，求出AF的最小值即可解決問題．【詳解】連接AF，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，AB=BC=2∵G，H分別為AE，EF的中點，∴GH是△AEF的中位線，GH=AF，當AF⊥BC時，AF最小，GH得到最小值，則∠AFB=90°，∵∠B=45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF=