第5講專題提升動(dòng)態(tài)平衡及平衡中的臨界、極值問題專題概述:本專題是對(duì)物體的平衡知識(shí)的深化提高,包括動(dòng)態(tài)平衡問題、平衡中的臨界與極值問題。解決動(dòng)態(tài)平衡問題主要涉及的方法有圖像法、解析法和相似三角形法等;解決臨界、極值問題可采用的方法有極值分析法和數(shù)學(xué)分析法等,解答這兩類問題都需要根據(jù)題目條件恰當(dāng)合理地選用相應(yīng)方法解決。題型一力學(xué)中的動(dòng)態(tài)平衡問題方法一

解析法對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析,先畫出受力示意圖,再根據(jù)物體的平衡條件,應(yīng)用正交分解的方法列方程,得到因變量與自變量的關(guān)系表達(dá)式(通常要用到三角函數(shù)),最后根據(jù)自變量的變化確定因變量的變化。典題1(2024河南校聯(lián)考期中)如圖所示,物塊B放在粗糙平臺(tái)上,一條不可伸長的細(xì)繩穿過平臺(tái)的孔洞,一端固定在物塊B上的O點(diǎn),另一端系一個(gè)小球A。在外力F作用下小球A從B的正下方沿著以細(xì)繩為半徑的圓弧被緩緩?fù)浦两咏轿恢?在小球A緩緩運(yùn)動(dòng)過程中,外力F的方向始終與細(xì)繩保持垂直,物塊B始終靜止不動(dòng),則下列說法正確的是(

)A.外力F逐漸減小B.細(xì)繩的拉力先增大后減小C.平臺(tái)給物塊B的摩擦力先增大后減小D.物塊B所受平臺(tái)的支持力先增大后減小C解析

對(duì)小球A受力分析如圖所示,由平衡條件有外力F=mgsin

θ,細(xì)繩的拉力F'=mgcos

θ,小球緩慢移動(dòng)到接近水平位置過程中,θ越來越大,則外力F越來越大,細(xì)繩拉力F'越來越小,A、B錯(cuò)誤;平臺(tái)給物塊B的摩擦力f等于細(xì)繩拉力的水平分量,即f=F'sin

θ=mgsin

θcos

θ=mgsin

2θ,由此可知隨著θ變大,平臺(tái)給物塊B的摩擦力先增大后減小,C正確;物塊B所受平臺(tái)的支持力FN=(m+m')g-Fsin

θ=(m+m')g-mgsin2θ,隨θ增大支持力越來越小,D錯(cuò)誤。方法二

圖解法此法常用于求解三力平衡且有一個(gè)力是恒力、另一個(gè)力方向不變的問題。一般按照以下流程解題。典題2(2023湖北華中師大一模)如圖所示,半圓柱體沖浪臺(tái)靜止在粗糙水平面上,半圓柱圓弧面光滑。運(yùn)動(dòng)員在水平牽引力F的作用下,從離開B點(diǎn)后緩慢運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)之前,始終處于平衡狀態(tài)。將運(yùn)動(dòng)員看成質(zhì)點(diǎn),下面說法正確的是(

)A.牽引力先增大后減小B.沖浪臺(tái)對(duì)運(yùn)動(dòng)員的支持力增大C.地面對(duì)沖浪臺(tái)的支持力減小D.地面對(duì)沖浪臺(tái)的靜摩擦力減小D解析

運(yùn)動(dòng)員從離開B點(diǎn)后到運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)之前,始終保持平衡狀態(tài),運(yùn)動(dòng)員受到重力mg、牽引力F、支持力FN三個(gè)力,由平衡條件可知,牽引力與支持力的合力與重力等大反向,矢量三角形如圖所示,可知牽引力F減小,支持力FN減小,A、B錯(cuò)誤;以運(yùn)動(dòng)員和沖浪臺(tái)整體為研究對(duì)象,整體在重力、牽引力、地面對(duì)沖浪臺(tái)的支持力、地面對(duì)沖浪臺(tái)的靜摩擦力4個(gè)力的共同作用下處于平衡狀態(tài),由平衡條件有,水平方向上F=f,豎直方向上FN'=,則地面對(duì)沖浪臺(tái)的支持力不變,對(duì)沖浪臺(tái)的靜摩擦力減小,C錯(cuò)誤,D正確。方法三

相似三角形法在三力平衡問題中,如果有一個(gè)力是恒力,另外兩個(gè)力方向都變化,且題目給出了空間幾何關(guān)系,多數(shù)情況下力的矢量三角形與空間幾何三角形相似,可利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行計(jì)算。典題3

如圖所示,AC是上端帶光滑輕質(zhì)定滑輪的固定豎直桿,質(zhì)量不計(jì)的輕桿BC一端通過鉸鏈固定在C點(diǎn),另一端B懸掛一重力為G的物體,且B端系有一根輕繩并繞過定滑輪,用力F拉繩,開始時(shí)∠BCA>90°,現(xiàn)使∠BCA緩慢變小,直到∠BCA=30°,此過程中,輕桿BC所受的力(

)A.逐漸減小

B.逐漸增大C.大小不變

D.先減小后增大C解析

以結(jié)點(diǎn)B為研究對(duì)象,分析受力情況如圖所示,根據(jù)平衡條件可知,F、FN的合力F合與G大小相等、方向相反,根據(jù)相似三角形得,在∠BCA緩慢變小的過程中,AC、BC長度不變,則FN不變,即輕桿BC所受的力大小不變,C正確,A、B、D錯(cuò)誤。方法四

輔助圓法在三力平衡問題中,如果有一個(gè)力是恒力,另外兩個(gè)力方向都變化,但夾角不變,且題目給出了空間幾何關(guān)系。具體做法:畫出三力的矢量三角形的外接圓,不變力為一固定弦,因?yàn)楣潭ㄏ宜鶎?duì)的圓周角大小始終不變,改變一力的方向,另一力大小方向變化情況可得。典題4(2023山東日照二模)水平地面上有一個(gè)固定的粗糙斜面,斜面頂端固定一個(gè)光滑定滑輪,如圖所示,一輕質(zhì)細(xì)繩跨過滑輪,其一端懸掛小球N,另一端與斜面上的物塊M相連,系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)用圖示的拉力F緩慢拉動(dòng)N,且拉動(dòng)過程中力F的方向與懸掛N的細(xì)繩保持某個(gè)鈍角不變,使懸掛N的細(xì)繩由豎直達(dá)到水平位置。此過程中物塊M始終保持靜止,則在此過程中(

)A.拉力F先增大后減小B.細(xì)繩對(duì)M的拉力先增大后減小C.M對(duì)斜面的壓力逐漸增大D.斜面對(duì)M的摩擦力一直增大B解析

對(duì)小球N進(jìn)行受力分析,由平衡條件可得,拉力F和細(xì)繩對(duì)小球拉力的合力與小球重力等大反向,由三角形定則畫出輔助圓如圖甲所示,由圖可知,拉力F一直增大,細(xì)繩對(duì)N的拉力先增大后減小,即細(xì)繩對(duì)M的拉力先增大后減小,A錯(cuò)誤,B正確;對(duì)物塊M受力分析如圖乙所示,設(shè)斜面的傾角為α,根據(jù)共點(diǎn)力平衡可知FN=mgcos

α,根據(jù)牛頓第三定律可知,M對(duì)斜面的壓力不變,C錯(cuò)誤;細(xì)繩對(duì)M的拉力先增大后減小,但是由于不確定拉力與mgsin

α的大小關(guān)系,所以無法判斷摩擦力的方向以及變化情況,D錯(cuò)誤。題型二平衡中的臨界、極值問題1.臨界、極值問題的典型特征(1)臨界問題:當(dāng)某物理量變化時(shí),會(huì)引起其他幾個(gè)物理量的變化,從而使物體所處的平衡狀態(tài)“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”,在問題的描述中常用“剛好”“剛能”“恰好”等語言敘述。(2)極值問題:平衡物體的極值問題,一般指在力的變化過程中出現(xiàn)的最大值和最小值問題。2.解決臨界和極值問題的三種方法

極限分析法正確進(jìn)行受力分析和變化過程分析,找到平衡的臨界點(diǎn)和極值點(diǎn);臨界條件必須在變化中尋找,不能在一個(gè)狀態(tài)上研究臨界問題,要把某個(gè)物理量推向極大或極小數(shù)學(xué)分析法通過對(duì)問題的分析,根據(jù)平衡條件列出物理量之間的函數(shù)關(guān)系(畫出函數(shù)圖像),用數(shù)學(xué)方法求極值(如求二次函數(shù)極值、公式極值、三角函數(shù)極值)圖解法根據(jù)平衡條件,作出力的矢量圖,通過對(duì)物理過程的分析,利用平行四邊形定則進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析,確定最大值和最小值典題5(2024甘肅張掖模擬)某同學(xué)做家務(wù)時(shí),使用浸濕的拖把清理地板。假設(shè)濕拖把的質(zhì)量為2kg,當(dāng)拖把桿與水平方向成53°角,對(duì)拖把施加一個(gè)沿拖把桿向上、大小為10N的力時(shí),恰好能拉著拖把向前勻速運(yùn)動(dòng)。設(shè)拖把與地板間的動(dòng)摩擦因數(shù)始終不變,最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。g取10m/s2,sin53°=0.8,cos53°=0.6。(1)求拖把與地板間的動(dòng)摩擦因數(shù)。(2)已知存在一臨界角θ,當(dāng)拖把桿與水平方向所成角度超過此角度時(shí),不管沿拖把桿方向的推力多大,都不可能使拖把從靜止開始運(yùn)動(dòng)。求這一臨界角θ的正切值。答案

(1)0.5

(2)2解析

(1)設(shè)拖把與地板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,當(dāng)拉著拖把向前勻速運(yùn)動(dòng)時(shí),根據(jù)平衡條件有解得μ=0.5。(2)若不管沿拖把桿方向的推力多大,都不能使拖把從靜止開始運(yùn)動(dòng),應(yīng)有Fcos

θ≤μFN此時(shí)Fsin

θ+mg=FN聯(lián)立解得cos

θ-μsin

θ≤分析知,當(dāng)F無限大時(shí)極限值為零,有cos

θ-μsin

θ≤0此時(shí)不管沿拖把桿方向的推力多大,都推不動(dòng)拖把,該臨界角的正切為典題6(1)如圖甲所示,三條不可伸長的輕繩結(jié)于O點(diǎn),OC繩將質(zhì)量為m=1kg的重物懸掛起來,保持O點(diǎn)的位置不變,改變BO繩拉力方向時(shí),求BO繩拉力的最小值。(重力加速度取10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8)(2)如圖乙所示,質(zhì)量為m'=12kg的物體放在傾角為30°的粗糙斜面上,物體和斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=,DO繩與斜面成α角,改變DO繩拉力方向,使物體沿斜面勻速下滑,求DO繩拉力的