第一章三角形的證明1.3線段的垂直平分線第1課時1.掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理（重點）2.會用線段垂直平分線的性質(zhì)解決問題一、學習目標1.在一張紙上任意畫一條線段AB2.將紙對折，使線段端點A，B重合3.把紙展開，并畫出折痕所在直線l4.在l上任取一點P1，分別連接P1A，P1B5.將紙沿著l對折，觀察P1A和P1B，你發(fā)現(xiàn)了什么？做一做：ABl·P1P1A、P1B沿著l對折后完全重合.二、新課導入思考：結(jié)合上面的“做一做”，若在l上取任意位置點P，分別連接A，B兩點，PA和PB重合嗎？由此能得到什么結(jié)論？三、概念剖析在l上取任意位置點P，分別連接A，B兩點，PA和PB重合.l即PA=PB結(jié)論：這個點與這條線段兩個端點的距離相等.這一結(jié)論正確嗎？如何證明？AB·P·P1一、垂直平分線的性質(zhì)三、概念剖析結(jié)合判定三角形全等的方法，我們來證明這個結(jié)論是否正確.已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點P在l上．求證：PA=PB．證明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．PABlC三、概念剖析通過上述的證明，我們得出:線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.應用格式：∵AC=BC，PC⊥AB，P是l上任意一點，∴PA=PB．提示:這個結(jié)論經(jīng)常用來證明兩條線段相等.PABlC三、概念剖析思考：“線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等”的逆命題是什么？二、垂直平分線的判定到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.它是一個真命題嗎？如何證明？要證明這個命題需要以下步驟：寫出已知、求證，作出圖形.三、概念剖析PABC已知：如圖，PA=PB．求證：點P在線段AB的垂直平分線上．證明：過點P作AB的垂線PC，垂足為點C．則∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又PC⊥AB，∴點P在線段AB的垂直平分線上．三、概念剖析通過上述的證明，我們得出線段垂直平分線的判定定理：與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.應用格式：∵PA=PB，∴點P在AB的垂直平分線上．提示:這個結(jié)論經(jīng)常用來證明點在直線上(或直線經(jīng)過某一點).PABC三、概念剖析1.線段的垂直平分線可以看作是到這條線段的兩個端點距離相等的所有點的集合.2.線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.3.與線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.歸納總結(jié)：例1.△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=5cm，△CBD的周長為24cm，求△ABC的周長．四、典型例題分析：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到CD=AD，AE=CE，根據(jù)三角形的周長公式計算．解：∵DE是AC的垂直平分線∴CD=AD，AE=CE，∵AE=5cm，∴AC=2AE=10cm，∴BC+CD+BD=24，∴BC+AD+BD=24，∴BC+AB=24，∴△ABC的周長=AC+AB+BC=10+24=34cm．1.如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E，若BC=6，AC=5，則△ACE的周長為（）A．8B．11C．16D．17【當堂檢測】B分析：應用線段垂直平分線的性質(zhì)定理，垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等，從而把三角形的邊進行轉(zhuǎn)移，求得周長．2.如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點D，交BC于點E．已知∠BAE=10°，求∠C的度數(shù)．【當堂檢測】解：∵∠B=90°，∠BAE=10°，∴∠BEA=80°．∵ED是AC的垂直平分線，∴AE=EC，△AED≌△CED（SSS）∴∠C=∠EAC，∵∠BEA=∠C+∠EAC，∴∠C=40°．四、典型例題例2.已知：如圖，點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分別為C,D，連接CD.求證：OE是CD的垂直平分線.ABOEDC證明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB，∴∠DOE=∠COE,∠ODE=∠OCE又∵OE=OE，∴△OED≌△OEC（AAS)∴OD=0C，DE=CE,∴OE是CD的垂直平分線.注意：證明一條直線是一條線段的垂直平分線時，必須同時證明這條直線上的兩點都在線段的垂直平分線上.3.如圖所示，AC=AD,BC=BD,則下列說法正確的是（）A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB與CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB【當堂檢測】AABCD4.已知：如圖，PA=PB．求證：點P在線段AB的垂直平分線上．證明:取AB的中點C，連接PC.∵AC=BC，PA=

，PC=

，

∴△PCA≌

(SSS)，

∴∠PCA=∠PCB=

.

請補全下面的證明過程：PBPC△PCB90°即直線

l

垂直AB并且通過AB的中點C，所以點P在線段AB的垂直平分線上