專題7基本不等式（2）題型一條件等式求最值1．已知0＜a＜1，0＜b＜1，且，則的最小值是______．【答案】【解析】已知，由得，即，令，所以，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時，取等號.故答案為：．2．已知正實數(shù)x，y滿足，且，則的最小值為______．【答案】【解析】解：正實數(shù)x，y滿足，且所以，即，也即則當(dāng)且僅當(dāng)，即，則時取等號，此時，所以取得最小值．故答案為：．3．已知，，且，則的最小值為______．【答案】【解析】因為，，，所以，又，則＝，其中等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)，解得，，，所以的最小值是.故答案為：.4．若正實數(shù)，滿足，則的最大值為______.【答案】【解析】，即又，等號成立的條件為，原式整理為，即，那么，所以的最大值是.5．求下列函數(shù)的最值（1）求函數(shù)的最小值.（2）若正數(shù)，滿足，求的最小值.【答案】（1）；（2）5.【解析】（1），當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故函數(shù)的最小值為.（2）由得，則，當(dāng)且僅當(dāng),即，時等號成立，故的最小值為5.題型二基本不等式的恒成立問題1．已知，為正實數(shù)，且，若對于滿足條件的、恒成立，則的取值范圍為.（）A． B．C． D．【答案】A【解析】將變形為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號.恒成立等價于恒成立，即，所以故選：A.2．已知、都為正數(shù)，且，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】、都為正數(shù)，且，由基本不等式得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，的最小值為，.3．已知正實數(shù)x，y滿足．（1）求xy的最大值；（2）若不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】（1），解得，當(dāng)且僅當(dāng)，取等號，∴最大值為．（2），當(dāng)且僅當(dāng)，取等號，∴，解得．4．設(shè)，且恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】由知，，.原不等式等價于.要使原不等式恒成立，只需的最小值不小于即可.當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.5．已知，若對任意正數(shù)，，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】∵，，∴不等式恒成立等價于恒成立.又，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），∴，解得（舍去）或，∴實數(shù)的取值范圍為.題型三對勾函數(shù)求最值1．設(shè)，均為負(fù)數(shù)，且，那么有（）.A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【答案】D【解析】設(shè)，，則，.由得.由函數(shù)的圖像得，當(dāng)時，在處取得最小值，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號成立.綜上可得，有最小值.故選D.2．已知，則有（）A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1【答案】D【解析】解：由得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故選：.題型四基本不等式的應(yīng)用1．某工廠第一年年產(chǎn)量為A，第二年的增長率為a，第三年的增長率為b，這兩年的平均增長率為x，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：由題意得，，則，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故選：B2．《幾何原本》中的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成為了后世數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)．通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．如圖所示的圖形，在上取一點，使得，，過點作交圓周于，連接．作交于．由可以證明的不等式為A． B．C． D．【答案】A【解析】解：由射影定理可知，即，由得，故選：．3．工廠需要建造一個倉庫，根據(jù)市場調(diào)研分析，運(yùn)費(fèi)與工廠和倉庫之間的距離成正比，倉儲費(fèi)與工廠和倉庫之間的距離成反比，當(dāng)工廠和倉庫之間的距離為4千米時，運(yùn)費(fèi)為20萬元，倉儲費(fèi)為5萬元.則工廠和倉庫之間的距離為___________千米時，運(yùn)費(fèi)與倉儲費(fèi)之和最小.【答案】2【解析】設(shè)工廠和倉庫之間的距離為千米，運(yùn)費(fèi)為萬元，倉儲費(fèi)為萬元，設(shè)；當(dāng)工廠和倉庫之間的距離為4千米時，運(yùn)費(fèi)為20萬元，倉儲費(fèi)為5萬元，所以，，則；所以運(yùn)費(fèi)與倉儲費(fèi)之和為，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，運(yùn)費(fèi)與倉儲費(fèi)之和最小為萬元.故答案為：24．已知實數(shù)a，b滿足，則最大值為______.【答案】.【解析】由，得，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，所以，所以，解得，所以最大值為.故答案為：5．已知一個矩形的周長為36cm，矩形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)形成一個圓柱．當(dāng)矩形的邊長為多少時，旋轉(zhuǎn)形成的圓柱的側(cè)面積最大？【答案】矩形的長、寬均為9cm時，旋轉(zhuǎn)形成的圓柱側(cè)面積最大.【解析】設(shè)矩形的長為，寬為，∵矩形的周長為36，∴，∴，而旋轉(zhuǎn)形成的圓柱的側(cè)面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.∴當(dāng)矩形的長、寬均為9時，旋轉(zhuǎn)形成的圓柱側(cè)面積最大.答：矩形的長、寬均為9cm時，旋轉(zhuǎn)形成的圓柱側(cè)面積最大.6．某廠家擬定在2020年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費(fèi)用m(m≥0)萬元滿足x＝3－(k為常數(shù))．如果不搞促銷活動，那么該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件．已知2020年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)．（1）將2020年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)；（2）該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時，廠家利潤最大？【答案】（1）y＝－＋29(m≥0)；（2）該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入3萬元時，廠家的利潤最大為21萬元．.【解析】(1)由題意知，當(dāng)m＝0時，x＝1(萬件)，所以1＝3－k?k＝2，所以x＝3－(m≥0)，每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5×(元)，所以2020年的利潤y＝1.5x×－8－16x－m＝－＋29(m≥0)．(2)因為m≥0時，＋(m＋1)≥2＝8，所以y≤－8＋29＝21，當(dāng)且僅當(dāng)＝m＋1?m＝3(萬元)時，ymax＝21(萬元)．故該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入3萬元時，廠家的利潤最大為21萬元．7．如圖，徐州某居民小區(qū)要建一座八邊形的展館區(qū)，它的主體造型的平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為200m2的十字形地域，計劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價為4200元/m2；在四個相同的矩形(圖中陰影部分)上鋪花崗巖地坪，造價為210元/m2；再在四個空角(圖中四個三角形)鋪草坪，造價為80元/m2.（1）設(shè)總造價為S(單位：元)，AD長為x(單位：m)，求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；.（2）當(dāng)AD長取何值時，總造價S最小，并求這個最小值.【答案】（1）；（2）當(dāng)AD的長為米時，總造價有最小值11800元.【解析】解：（1）設(shè)，則，所以所以，所以（2）因為當(dāng)且僅當(dāng)，即時，(元)答：當(dāng)AD的長為米時，總