專題18反比例函數(shù)核心考點分類突破(解析版)

第一部分算由利析

考點一分比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)

類型1比較函數(shù)值的大小

典例1(2022春?上蔡縣期中)已知雙曲線)，=5(?<0),過點(1,yι),(3,”)，(-2,”)，則下列結(jié)論

正確的是()

A.yι<y2<y?B.y3<yι<y2C.y2<j3<γιD.y3<y2<y1

思路引領(lǐng)：根據(jù)4的符號確定反比例函數(shù)圖象所在的象限，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.

解：FV0,

.?.反比例函數(shù))=[(*<0)的圖象在第二、四象限，

；反比例函數(shù)的圖象過點(1,yi)、(3,”)、(-2,”)，

；?點(L”)、(3,”)在第四象限，(-2,??)在第二象限，

ΛJI<>,2<0,”>0,

Λy1<y2<y3?

故選：A.

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，注意：當/<0時，反比例函數(shù)y=1(MVO)

的圖象在第二、四象限，在每個象限內(nèi)y隨X的增大而增大.

典例2(2022秋?惠城區(qū)校級期末)已知點A(3,yι),3(-6,”)，C(-5,>3)都在反比例函數(shù)y=g的

圖象上，則()

A.jι<>,2<y3B.y3<γ2<yιC.y3Vy∣Vy2D.y2<γ1<γ3

思路引領(lǐng)：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，且在每個象限內(nèi)，)，隨X的

增大而減小，再根據(jù)點的坐標特點得出即可.

解：反比例函數(shù)y中，Z=4>0,

.?.反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，且在每個象限內(nèi)，y隨X的增大而減小，

：點A(3,yι),B(-6,*),C(-5,>-3)都在反比例函數(shù)y=(的圖象上，

：.B、C在第三象限內(nèi)，A在第一象限內(nèi),

Λjι>O,y3<>2<O

Λj3<J2<Jl,

故選：B.

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，能熟記反比例函數(shù)的性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵.

類型2與反比例函數(shù)有關(guān)的多結(jié)論選擇題

典例3（2021秋?蓬萊市期末）一次函數(shù)y=fcr+b（原0）中變量X與y的部分對應(yīng)值如下表

X-10123...

y...86420...

下列結(jié)論：

①y隨X的增大而減?。虎邳c（6,-6）一定在函數(shù)y=fcv+6的圖象上；

③當x>3時，y>0i④當χV2時，（k-l）x+6<0.其中正確的個數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

思路引領(lǐng)：根據(jù)待定系數(shù)法求得解析式，然后根據(jù)一次函數(shù)的特點進行選擇即可.

解：由題意得，當x=l時，y=4,當X=O時，y=6,

解得：仁=7，

3=6

函數(shù)解析式為：y=-2x+6,

①L=-2<0,

；.），隨X的增大而減小，正確；

②當x=6時;y=-2×6+6=-6,

.?.點（6,-6）一定在函數(shù)），=自+匕的圖象上，正確;

③由表格得出當尤>3時，y<0,故錯誤；

④由表格得出當x<2f?,kx+b>x,

：.（?-l）x+b>0,故錯誤：

故選：C.

總結(jié)提升：本題主要考查對一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識點

的理解和掌握，能求出一次函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵.

類型3由性質(zhì)逆推函數(shù)解析式

典例4（2022?泰州）已知點（-3,yi）>（-1,”）、（1,）3）在下列某一函數(shù)圖象上，且"<yι<y2,那么

這個函數(shù)是（）

A.y=3xB.y=3x2C.y=D.y—~~

思路引領(lǐng)：根據(jù)所學(xué)知識可判斷每個選項中對應(yīng)的函數(shù)的增減性，進而判斷*,V，”之間的關(guān)系，再

判斷即可.

解：A.y=3x,因為3>0,所以），隨X的增大而增大，所以yι<"<y3,不符合題意；

B.y=3x2,當X=I和X=-I時，y相等，即*="，故不符合題意；

C.v=p當x<0時，），隨X的增大而減小，x>0時，y隨X的增大而減小，所以不符合題

意；

D.y=-p當XVO時，y隨X的增大而增大，x>0時，y隨X的增大而增大，所以"符合題

意：

故選：D.

總結(jié)提升：本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

是解題關(guān)鍵，也可直接代入各個選項中的函數(shù)解析中，再判斷y的大小.

考點二反比例函數(shù)圖像上點的坐標的特征

類型1求比例系數(shù)k的值

典例5（2022?南通）平面直角坐標系XOy中，已知點A（w,6m）,B（3m,2n）,C（-3w,-2n）是函數(shù)

y=5（原0）圖象上的三點.若SAABC=2,則火的值為.

思路引領(lǐng)：連接Q4,作ADrr軸于O,BEJ_x軸于E,由8、C點的坐標可知B、C關(guān)于原點對稱，則

BO=COf即可求得SRAOB=1,根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出SLAOB=S梯形AOEB+SAAOD-SLBOE

11Q

=S梯形ADEB，即可得出5∣6"+2吁∣3"Lml=1,求得〃P=*由于％=6機2,即可求得A=不

解：如圖，連接OA,作A。LC軸于。，BEJ_x軸于E,

b

Y點A（m，6/72）?BOn?,2/7）,C（-3"?,-2〃）是函數(shù)y=-（Λ≠0）圖象上的三點.

:?k=6m1=6nm,

.?.“=7∏,

:?B(3團,2m),C(-3mf-2∕π),

B。關(guān)于原點對稱，

.BO=CO.

,S^ABC=2,

?SXAOB=1，

?SxAOB=S梯形AQE8+S^AOQ^S^BOE~S梯形AQEB,

1

∣6∕7Z+2∏2∣?∣3Π∕-m?-?1

21

?〃?=*

?7.1

k=6×6，

O

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，三角形的面積，求得AAOB

的面積為1是解題的關(guān)鍵.

典例6（2022?鄲州區(qū)校級一模）如圖，點A、8在反比例函數(shù)y=[（Λ>0）的圖象上，延長AB交X軸于C

點，若AAOC的面積是24,且點B是AC的中點，則k的值為（）

4020

B.16C.8D.

3

思路引領(lǐng)：先根據(jù)B是AC的中點，表示出A80C的面積，再利用Z的幾何意義表示出AAOH和ABOG

的面積，即可得出AAHC和ABGC的面積，易證AAHCs∕?BGC,根據(jù)面積的比等于相似比的平方，列

方程即可求出Z的值.

解：連接。8,過點4作4H_Lx軸于點”，過點8作GBLt軸于點G,如圖所示：

OlHGCx

是AC的中點，

.11

,?SABOC=2SAAOC=×24=I2?

根據(jù)k的幾何意義，

1

StAOH=SbBOG二/，

?"?S^AHC—S^AOC~SAAoH=24—ak，

SbBGC=SbBOC-SABOG=I2-gk,

":ZAHC=ZBGC=90o,

ZACH=ZBCG,

.MAHCsdBGC,

是AC的中點，

,相似比為1：2,

面積的比為1：4,

BPSaBGC:SAAHC=I:4,

(12-±k)：(24-±k)=I:4,

解得2=16.

故選:B.

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，運用三角形中線的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)是解決本

題的關(guān)鍵.

類型2判斷變化趨勢

典例7（2022?丹東一模）如圖，在平面直角坐標系中，點4是雙曲線），=弓（x>0）上的一個動點，過點A

作X軸的垂線，交X軸于點8,點A運動過程中AAOB的面積將會（）

B.逐漸減小

C.先增大后減小D.不變

思路引領(lǐng)：比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)的圖象上任意一點象坐標軸作垂線，這一點和垂足以

及坐標原點所構(gòu)成的三角形的面積是5昨且保持不變，所以點A運動過程中AAOB的面積將會不變，都

是:X3=1.5,據(jù)此解答即可.

解：根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)/的幾何意義，可得

點A運動過程中AAOB的面積將會不變，

1

AAo8的面積為：-X3=1.5.

2

故選：D.

總結(jié)提升：此題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)4的幾何意義的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在反比例

函數(shù)的圖象上任意一點象坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構(gòu)成的三角形的面積是且保

持不變.

類型3求幾何圖形的面積

典例8（2022?如皋市模擬）如圖，點A為函數(shù)），=g（x>0）圖象上一點，連接。A,交函數(shù)y=:（x>0）

的圖象于點8,點C是X軸上一點，JLAO=AC,則AABC的面積為.

思路引領(lǐng)：根據(jù)題意可以分別設(shè)點A、點8的坐標，根據(jù)點。、A、B在同一條直線上可以得到A、B的

坐標之間的關(guān)系，由A。=AC可知點C的橫坐標是點A橫坐標的兩倍，從而可以得到AABC的面積

解：

4,1

設(shè)點A的坐標為(a,一)，點8的坐標為(b,-)

ab

?；點C是X軸上一點，且AO=AC

二點C的坐標為(2α,0)

4

設(shè)過點。、點A的解析式為y=Ax,則一=ka

二直線OA的解析式為：y=-^χ

又???點8在直線OA上,

14

,?Γ=±2(負值不合題意，舍去)

故答案為：2

總結(jié)提升：此題主要考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.通過一次函數(shù)，三角形面積的計算，突出考

查的目的.

類型4求點的坐標或字母的值

典例9(2022春?寶應(yīng)縣期末)如圖，點A和點E(2,1)是反比例函數(shù)y=](Λ>0)圖象上的兩點，點B

在反比例函數(shù)y=?(x<0)的圖象上，分別過點A、8作y較的垂線，垂足分別為點C、D,AC=BD,

連接AB交y軸于點F.

(1)求攵；

(2)設(shè)點A的橫坐標為。，點F的縱坐標為m,求證：Gn=-2.

(3)連接C￡、DE,當NCa)=90。時，求A的坐標.

思路引領(lǐng)：(1)將點E的坐標代入反比例函數(shù)y=[(x>0),即可得出答案；

(2)首先表示出A,B的坐標，再利用ASA證明AACF絲Z?BOF,得CF=DF,從而得出尸的縱坐標；

82

(3)根據(jù)/C￡D=90。，得CZ)=2EF,則一=2G+(1—m)2,由(2)知，-=-m,代入解關(guān)于，”的

aa

方程即可.

(1)解：?.?點E(2,1)是反比例函數(shù)(x>0)圖象上的點，

JZ=1x2=2；

(2)證明：???點A的橫坐標為小

J點A的縱坐標為2,

a

VAC=BD,

B(ICi,——

：?a

AC//BDf

：.NCAF=/DBF,/ACF=NBDF,

9：AC=BD,

ΛΔACF^ΛBDF(ΛSA),

：.CF=DFy

.2

../77=---a-,

.φ.am=-2：

(3)解：VZCED=90o,CF=DF,

：.CD=IfEF.

8

β22

.."=2λ∕2÷(1—rri)f

L2

由(2)知，一二—團，

a

22

-4ιn=2yj2÷(1—m)f

解得m=?或一全

當w=l時，Cl=-2(舍去)，

當"?=-?1時,a=

65

??A(一,~).

53

總結(jié)提升：本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標的特征，全等三角形的判

定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，運用方程思想是解題的關(guān)鍵.

典例10(2022春?新吳區(qū)期末)如圖，點A、。分別在函數(shù)y=-[,y='的圖象上，點8、C在X軸上，若

四邊形ABC。為正方形，點A在第二象限，則4的坐標為.

思路引領(lǐng)：設(shè)點B(b,0),點C(a,0)利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征表示A3、BC、CD,再根

據(jù)正方形的性質(zhì)求出b的值即可.

解：設(shè)點8(?,0),點C(α,0),

；點A在反比例函數(shù))，=一；的圖象上，

點A",-i),BPOB=-b,AB=-?,

：點C在反比例函數(shù)y=I的圖象上，

37

???點。(小-),即。C=4,CD=-,

aQ

又?.F8CO是正方形，

IAB=BC=CD,

12

—a-b—，

EP--bFa—

解得。=2，b=-?,

1

，點4（—2,2）,

故答案為：（―2）.

總結(jié)提升：本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征以及正方形的性質(zhì)，理解反比例函數(shù)圖象上點的坐

標特征以及正方形的性質(zhì)是正確解答的前提，設(shè)出點8,點C坐標，分別表示出正方形的邊長是解決問

題的關(guān)鍵..

考點3反比例系數(shù)的幾何意義

類型1求反比例系數(shù)

典例11（2021?寶應(yīng)縣一模）如圖，ELABCo的頂點4、B在X軸上，頂點。在y軸上，頂點C在第一象限，

反比例函數(shù)），=§（x>0）的分支過點C,若日ABCD的面積為3,則&=

JX-----

思路引領(lǐng)：過C作CELAB,通過說明AθO4gzλCE8,可得矩形ODCE的面積等于平行四邊形ABCD

的面積，設(shè)出點C的坐標，用坐標表示出線段CE,OE,結(jié)論可求.

解：如圖，過點C作CELA3于E,連接。C,

?.?EL48C。的面積為3,

."8?CE=3.

：四邊形ABCD是平行四邊形,

.AD=BC9AD//BC.

,NDAO=NCBA.

?'DO±AO,CELAB,

：.NDoA=NCEB=90。.

:ADOA9/XCEB(AAS).

?'?SXoDA=SACEB?

:?S拒形DOEC=Sr行四邊形48CQ=3?

Λ0E?CE=3.

設(shè)C(m?),

???c在第一象限，

.?.4>0,h>0.

:?OE=a,CE=b.

：.0E?CE=cιb=3.

??k~~cιh~~3.

故答案為：3.

總結(jié)提升：本題主要考查了反比例函數(shù)的系數(shù)Z的幾何意義，反比例函數(shù)的圖象上的點的坐標的特征，

平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì).用點的坐標表示相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵.

典例12如圖，在平面直角坐標系中，過原點的一條直線分別與反比例函數(shù))，=-](x<0)和反比例函數(shù)

思路引領(lǐng)：過點4作AC，X軸于點C,過點B作BD_LX軸于點。，則可證出AA0CS4B0O,根據(jù)相似

三角形的性質(zhì)結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可求出人值，再根據(jù)反比例函數(shù))，=[(x>0)的圖象

在第四象限，可確定Z值，此題得解.

解：過點A作AC_Lx軸于點C,過點B作3￡>_LX軸于點￡),如圖所示.

??SCJ_x軸，W)J_x軸,

.?.ZACO=ZBDO=90o.

XVZAOC=ZBOD,

.?AOC^?BOD,

SABoD_BOlk∣

(——)92=4,即π一=4,

SAAOCAO1

.Λ=÷4.

?反比例函數(shù)y=[(x>0)的圖象在第四象限,

?k=-4.

相似三角形的判定與性質(zhì)以及反比例函數(shù)系

數(shù)k的幾何意義，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求出k值是解題的關(guān)鍵.

類型2求幾何圖形的面積

典例13(2022春?雨花區(qū)校級月考)如圖，正比例函數(shù)y^kx與函數(shù)y=如勺圖象交于A,B兩點,BC∕∕x

思路引領(lǐng)：先設(shè)A點坐標，根據(jù)反比例函數(shù)正比例函數(shù)的中心對稱性再確定B點坐標，于是可得到C點

坐標，然后根據(jù)三角形面積公式進行計算.

44

解：設(shè)A點坐標為(加，一),則8點坐標為(-“，一三)，

mm

，C點坐標為(m,-?),

O

：.AC=-,BC=2m,

m

I18

.?.?ΛSC的面積=τAC?BC=弓?2"-=8.

乙izm

故答案為：8.

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)一次函數(shù)的交點問題，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得出A、8、C的坐標是解題的

關(guān)鍵.

考點4反比例函數(shù)綜合題

類型1反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合

典例14(2021?武漢模擬)將雙曲線句右平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到的新雙曲

線與直線y=kχ-2-k(k>O)相交于兩點，其中一個點的橫坐標為a,另一個點的縱坐標為b,則(α

-1)(?+2)的值為()

A.-4B.-3C.4D.9

思路引領(lǐng)：由于一次函數(shù)y=心:-2-2過定點P(1,-2),P(1,-2)恰好是原點(0,0)向右平移1

個單位長度，再向下平移平移2個單位長度得到的，雙曲線y=I向右平移1個單位長度，再向下平移2

個單位長度，得到的新雙曲線與直線y=fcv-2-&(%>0)相交于兩點，在平移之前是關(guān)于原點對稱的，

表示出這兩點坐標，根據(jù)中心對稱兩點坐標之間的關(guān)系求出答案.

解：Y一次函數(shù)y="-2-ka>0),

.?.當x=l時，y=-2,

二一次函數(shù)的圖象過定點P(1,-2),

'：P(1,-2)恰好是原點(0,0)向右平移1個單位長度，再向下平移平移2個單位長度得到的，

.?.將雙曲線)=1向右平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到的新雙曲線與直線y=匕-2-

k(?>0)相交于兩點，

33

???在平移前是關(guān)于原點對稱的，平移前，這兩個點的坐標分別為(fl-1,-(--1?+2),

α-lb+2

.I3

-?a~l=~b+2,

：.Ca-1)32)=-3,

故選：B.

總結(jié)提升：本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，理解平移之前，相應(yīng)的兩點關(guān)于原點

對稱是解決問題的關(guān)鍵.

典例15(2022春?海安市期中)平面直角坐標系XOy中，直線y=2x與雙曲線y=號(k>2)相交于A,B兩

點，其中點A在第一象限.設(shè)M(W,1)為雙曲線y=^(∕c>2)上一點，直線AM,分別交y軸于C,

。兩點，則OC-OQ的值為.

思路引領(lǐng)：設(shè)A(m2a)f則B(-m-2a)f分別待定系數(shù)法求出AM和BM的解析式，進一步求出C

和。點坐標，即可求OC-Oo的值.

解：根據(jù)題意，設(shè)A(4,2a)f則8(-m-24),

VM(77?,1),

設(shè)AM的解析式為y=Air+Z?(n≠0),

代入A,M點坐標，得｛鼠；］］?；

n=^zl

解得a-m

,a-2am'

a-m

.?.AM的解析式為)=鋁+嘿F

a-2am

：.C(0,----------),

a-m

.“a-2am

..OC=----------

a-m

設(shè)的解析式為y=cx+d(c≠0),

代入8,M點坐標，得｛肅++二=］口

l+20

解得m+a

a-2amf

d=

TΠ+Q

l+2αa-2am

.?.8M的解析式為y

τn+α

a-2am

：.D(O,----------),

?n+a

?C八a-2am

??OD=-----：—

m+a

「A,M都在反比例函數(shù)圖象上,

??a?2a=m??,

?.m=2cr,

a—2ama—2am_2F_4Q2

：.OC-OD=7Π=2,

a—m—m+,αCα2-τn2

故答案為：2.

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)圖象上的點坐標特征，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵.

類型2反比例與三角形綜合

典例16（2022?宿遷）如圖，點A在反比例函數(shù)y=（（x>O）的圖象上，以O(shè)A為一邊作等腰直角三角形

OAB,其中NoAB=90。，AO=AB,則線段08長的最小值是（）

C.2√2D.4

思路引領(lǐng)：根據(jù)三角形OAB是等腰直角三角形，當08最小時，最小，再根據(jù)兩點間的距離公式解

答即可.

解：：三角形0A8是等腰直角三角形,

當OB最小時，04最小,

2

設(shè)4點坐標為（/一）,

a

9

???(α-/>o,

即：α2+?-4>0,

C4

?'?ɑ2H—224,

???(α-∣)2≥0,

兩邊同時開平方得：〃一（=0,

?

，當〃=制，OA有最小值，

解得αι=J∑,a2=-y[2(舍去),

ΛA點坐標為（√2,√2）,

：.0A=2,

；三角形OAB是等腰直角三角形，為斜邊,

：.0B=√2OΛ=2√2.

故選：C.

總結(jié)提升：本題主要考查了反比例函數(shù)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

類型3反比例與四邊形綜合

17.（2021?鼓樓區(qū)校級模擬）如圖，矩形OABC的兩邊落在坐標軸上，反比例函數(shù)），=［的圖象在第一象限

的分支交AB于點P,交BC于點E,直線PE交y軸于點。，交X軸于點F,連接AC.則下列結(jié)論：

①四邊形ADEe為平行四邊形；?Snaι^ACFP=Ik-,③若SACEF=1,SAPBE=4,則k=6；④若34P=8P,

則4DA=DO.

其中正確的是

Zzk

思路引領(lǐng)：設(shè)點8的坐標為",?）,得到P（丁〃），E⑵利用待定系數(shù)法求出直線PE的解析

式為產(chǎn)哈+/〃，再求出/6+從。），尸百a）,從而證出AP=S所以四邊形OABC是矩形'

證得四邊形4C尸尸是平行四邊形，所以S四邊形ACFp=CF?OA=:?α=k,故②錯誤；由AC〃。凡OA////

∕c2

BC,可證得四邊形AoEC是平行四邊形，故①正確；先由SACM=1,判斷出一=2,再由S“BE=%

ab?

1ZzLrλ

得出3（/?--）?（。-五）=4,可求出k=6,判斷出③正確；由3AP=BP,判斷出αb=4A,再求出點D

坐標，即可判斷出④錯誤；即可得出結(jié)論.

解：設(shè)點B的坐標為（b,α）,

；四邊形ABCO為矩形，

ΛA（0,α）,C（b,0）,

：點凡E在反比例函數(shù)圖形上，

kk

:?P（一,α）,EQb,一），

ab

???直線PE的解析式為y=-拉+1+〃，

令y=0,代入得，x=：+/?,

k

/.F（一+?,0）,

a

.CF=-+b-b=~,

?aa

k

VP（一，a）,

a

AP=-,

??a

：.AP=CF9

???四邊形OABC是矩形，

：.OA//BC,AB//OC.

：.四邊形ACFP是平行四邊形，

：?S四邊形AC。=CROA=，=k,故②錯誤;

???四邊形ACFP是平行四邊形，

J.AC∕∕DF9

?9OA∕∕∕∕BC,

???四邊形ADEC是平行四邊形，故①正確；

'.'SMJEF=I,

Ikk

Λ-X—X—=1,

2ab

k2

-=2,

SAPBE=A,

1k、kX

?*?-（b—）?（。-工）=4,

2ab

fc2

Λab-k-k+蔬=8,

k2

Λ--2?-6=0,

2

?'?k=-2（舍）或&=6,故③正確,

若3AP=8P,

AP1

則一=一,

BP3

AP1

ι?=一，

AB4

'B（?,〃）,

.AB=b,

k

,P（一，〃）,

a

.AP=

a

k

a?

?=一，

b4

?ab=4k,

?直線PE的解析式為y=—拉+1+〃,

k

?D（0,一+α）,

b

,Λ（O,a）,

Ank、k

?AD=石-?-a-a=/

k

ADkk1

=F故④錯誤;

kι

DO石+ɑk+ab∕c+4∕c

,正確的有①

故答案為：①③.

總結(jié)提升：本題是反比例函數(shù)的綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，三角形和平行四邊形的面積，平行四邊

形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法，判斷出四邊形APFC是平行四邊形是解本題的關(guān)鍵

第二部分專題理憂別珠

選擇題（共7小題）

1.（2020春?江岸區(qū)校級月考）如圖尸為雙曲線y=（上到原點的線段的長度最短的一個點，若NAP8=45。,

交;x、y軸于A、B點，貝IJA4O8的面積為（）

A.2kB.√2?

C.kD.與《無關(guān)的一個確定值

思路引領(lǐng)：由尸為雙曲線y=［上到原點的線段的長度最短的一個點,可得點P在第一象限的角平分線上,

于是OP=yfik.通過說明“P0s∕iP40,得出比例式，三角形面積可求.

解：連接OP,則。尸=￠〃.如圖，

?.?NAPB=45°,

ZAPO+ΛBPO=45o.

VOP為第一象限的角平分線，

,N尸Oy=45。.

.?.NPBO+NOPB=45°?

，ZAPO=ZPBO.

,.?NAoP=N尸OB=900+45°=135°,

/.∕?APOS4PBO.

.OAOP

"OP~OB'

：.OP1=OA-OB.

111

,12

..SΔΛOB=2OA×OB=2OP=2×2?=k.

故選：C.

總結(jié)提升：本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點的坐標的特征，三角形相

似的判定與性質(zhì)，依據(jù)點的坐標表示相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵.

2.（2016?本溪）如圖，點A、C為反比例函數(shù)y=*（x<D）圖象上的點，過點A、C分別作ABJ軸，COJ.

X軸，垂足分別為以D,連接OA、AC、OC,線段OC交AB于點E,點E恰好為OC的中點，??AEC

Zz?Zz?2Zc

思路引領(lǐng)：設(shè)點C的坐標為（m,-）,則點E（-/H,—A（-∕π,—根據(jù)三角形的面積公式可得

m22m2m

出SAAEC=—g?=由此即可求出攵值.

kIk12k

解：設(shè)點C的坐標為（加，一），則點E（一m，----）,A（一一）?

m22m2m

1112kk33

'.'SΔ,AEC=^BD?AE=?（-〃？-m）?（——---）=-Wk=?,

222m2m82

：.k=-4.

故選：C.

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是設(shè)出點C的坐標，利用點。的橫

坐標表示出4、E點的坐標.本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，利用反比例函數(shù)圖象上

點的坐標特征表示出點的坐標是關(guān)鍵.

3.（2021秋?渭濱區(qū)期末）如圖，反比例函數(shù)y=1的圖象經(jīng)過A（-1,-2）,則以下說法錯誤的是（）

A.k=2B.x>0,y隨X的增大而減小

C.圖象也經(jīng)過點8(2,1)D.當x<-1時，yV-2

思路引領(lǐng)：把A(-1,-2)代入反比例函數(shù)的解析式能求出k,把A的坐標代入一次函數(shù)的解析式得

出關(guān)于火的方程，求出方程的解即可.

解：把4(-1,-2)代入反比例函數(shù)的解析式得：k=xy=2,故A正確；

F=2>0,

Λ>'隨X的增大而減小，

.?.x>O,y隨X的增大而減小，故8正確；

；反比例函數(shù)的解析式為尸：

把x=2代入求得y=l,

二圖象也經(jīng)過點8(2,1),故C正確；

由圖象可知x<-l時.，則y>-2,故。錯誤；

故選：D.

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，題目較好，難度

適中.

4.(2021春?南開區(qū)校級月考)若點A(xι,-3),B(x2,1),C(孫3)在反比例函數(shù)y=-卷的圖象上,

則無1,X2f工3的大小關(guān)系是()

A.Xl<X2<X3B.X3<X1<Λ2C.X1<X3<X2D.X2<X3<X1

思路引領(lǐng)：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可以判斷出劉，X2,X3的大小關(guān)系，本題得以解決.

解：VJl=-9,

反比例函數(shù)y=-g的圖象在二四象限，且在每個象限)，隨X是增大而增大，

???在第二象限內(nèi)的點對應(yīng)的縱坐標都大于零，在第四象限內(nèi)點對應(yīng)的縱坐標都小于零，

丁點A(xι,-3),B(X2,1),C(X3,3)在反比例函數(shù)y=-2的圖象上，

JX

<JQ<X3<XI,

故選：D.

總結(jié)提升：本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用反比例函數(shù)的

性質(zhì)解答.

5.（2017秋?槐蔭區(qū)期末）某一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1,2）,且y隨X的增大而減小，則這個函數(shù)的表達

式可能是（）

A.y=2x+4B.y=-2x+4C.y=3x+lD.-y=3x-I

思路引領(lǐng)：設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式為y=fcr+'y隨X增大而減小，則kVO；圖象經(jīng)過點（1,2）,可得鼠h

之間的關(guān)系式.綜合二者取值即可.

解：設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式為y=Ax+b,

；圖象經(jīng)過點（I,2）,

"+b=2;

,.>隨X增大而減小，

.,.k<0.

即A取負數(shù)，滿足k+h=2的&、的取值都可以.

故選：B.

總結(jié)提升：本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式及一次函數(shù)的性質(zhì)，為開放性試題，答案不唯一.只

要滿足條件即可.

6.（2021?北硝區(qū)校級模擬）如圖，一次函數(shù)）=見+〃（m≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=-孚的圖象相交于

?

A、B兩點，延長BO交反比例函數(shù)圖象的另一支于點C,連接4C交X軸于點。，若大=-，則AABC

AC4

面積為（）

L28√3L32√3

A.8√3B.-------C.10√3D.-------

33

思路引領(lǐng)：根據(jù)8、C的對稱性，只要求得ZVlOB的面積，即可求得AABC的面積.

解：如圖：作AE_LX軸于E,CF_Lx軸于凡AGJ_X軸于G,

.?AE∕∕CF,

：.AAEDsNFD,

.AEAD

??—,

CFCD

^AD_1

?=1

AC4

AEAD1

?(——='-,

CFCD3

設(shè)則CF=3〃,

4√34√3

ΛA(-------,a),C(-----，-34),

a3a

根據(jù)對稱性可得點8（-甯，3”）.

VS?AOB=S?BOG+S梯形ABGE-SAAOE=S梯形ABGE，

.C1Z??XZ4√5,4√‰16√3

???(〃

>AOB=2?34a+3)a(y-d3-)=~Q―,

.c_32√3

??SAABC-2OΔAOB一?,

總結(jié)提升：本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，反比例

函數(shù)的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，表示出點的坐標是解題的關(guān)鍵.

7.（2022?臨沐縣二模）如圖，在平面直角坐標系中，將直線y=-3x向上平移3個單位，與y軸、X軸分別

交于點A、B,以線段AB為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC若反比例函數(shù)y=[（x>0）的

圖象經(jīng)過點C,則人的值為()

A.2B.3C.4D.6

思路引領(lǐng)：過點C作CE,X軸于點E,作CZMy軸于點凡根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可證出AACFg

∕?BCE(,AAS),SOECF=Sny1)tiOBCA=S^AOB+S^ABC>根據(jù)直線AB的表達式利用一次函數(shù)圖

象上點的坐標特征可得出點A、8的坐標，結(jié)合勾股定理可得出45的長度，再根據(jù)三角形的面積結(jié)合反

比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，即可求出左值，此題得解.

解：過點C作CE,X軸于點E,作CFJ_.y軸于點凡如圖所示.

：將直線y=-3x向上平移3個單位可得出直線A8,

直線AB的表達式為y--3x+3,

.?.點A(0,3),點8(1,0),

：.AB=y∕0A2+0B2=√10,

:△ABC為等腰直角三角形，

."C=BC=√5,

：.SOECF=S^ΛOB+S^ABC=B×1×3+1×V5×√5=4.

ICELx軸，CFLy軸，

NECF=90。.

「△ABC為等腰直角三角形，

NACF+NFCB=NFC8+NBCE=90°,AC=BC,

：.ZACF=ZBCE.

在AACF和ABCE中，

24FC=乙BEC=90°

?ACF=4BCE，

AC=BC

：.ΛACF^ΛBCE(AAS),

ISAACF=SABCE,

?'?SOECF=S四邊形OBCA=S?AOβ+S^ABC■

；反比例函數(shù)y=[（x>0）的圖象經(jīng)過點C,

<'?k-S用KOECF-4,

故選：C.

總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的兒何意義、全等三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點的

坐標特征、一次函數(shù)圖象與幾何變換、等腰直角三角形以及三角形的面積，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)

結(jié)合角的計算，證出“CF絲4BCE（AAS）是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共8小題）

8.（2020?江夏區(qū)模擬）已知一個正比例函數(shù)的圖象與一個反比例函數(shù)的圖象的一個交點為（1,3）,則另一

個交點坐標是.

思路引領(lǐng)：反比例函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，則經(jīng)過原點的直線的兩個交點一定關(guān)于原點對稱.

解：?；反比例函數(shù)的圖象與經(jīng)過原點的直線的兩個交點一定關(guān)于原點對稱，

.?.另一個交點的坐標與點（1,3）關(guān)于原點對稱，

二該點的坐標為（-1,-3）.

故答案為：（-I,-3）.

總結(jié)提升：本題主要考查了反比例函數(shù)圖象的中心對稱性，要求同學(xué)們要熟練掌握關(guān)于原點對稱的兩個

點的坐標的橫、縱坐標都互為相反數(shù).

9.（2021秋?三明期末）如圖，點A,8為反比例函數(shù)），=[（x>0）圖象上的兩點，過點A作X軸的垂線,

垂足為C,AC與OB交于點D,OD=^OB.若AoCD的面積為2,則k的值為.

33

思路引領(lǐng)：先設(shè)點力坐標為（α,b）,得出點B的坐標為（&“，-?）,再根據(jù)AOCO的面積為2,列出關(guān)

系式求得Z的值.

解：作BELr軸于￡

YACLLx軸于C9

.?AC∕∕BE,

.BEOEOB

^CD~OC~OD

設(shè)點D坐標為（m〃），

2

?,OD=

33

LBE=WCD,OE=^OC9

33

，點3的坐標為（-?,

9

-

4

:△0Cz）的面積為2,

1

:Lab=2,

2

；?ab=4,

9

Λk—?^ab=9.

故答案為：9.

總結(jié)提升：本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，以及運用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，

根據(jù)ACOO的面積為2列出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

10.（2020秋?乳山市期末）反比例函數(shù)產(chǎn)I和尸拉第一象限的圖象如圖所示.點A,B分別在y=∣?y=?

的圖象上，A軸，點C是y軸上的一個動點，貝IJA4BC的面積為.

思路引領(lǐng)：連