10.2　對偶空間高等代數(shù)_第1頁
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文檔簡介

第十章雙線性函數(shù)§10.1

線性函數(shù)§10.2

對偶空間§10.3

雙線性函數(shù)§10.4

對稱雙線性函數(shù)一、對偶空間與對偶基二、對偶空間的有關(guān)結(jié)果§10.2對偶空間10.2

對偶空間一、對偶空間與對偶基1.對偶空間設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，表示上全體線性函數(shù)的集合，在中定義加法和數(shù)乘運(yùn)算：則構(gòu)成數(shù)域上的線性空間，稱之為V的對偶空間，記為定義10.2

對偶空間1.對偶基設(shè)為數(shù)域上線性空間的一組基，作映射

則，且即，有，①

對任意10.2

對偶空間②線性無關(guān).證明：設(shè)兩端作用得③中任意線性函數(shù)可由線性表出.證明：，對，設(shè)則

線性無關(guān).10.2

對偶空間10.2

對偶空間綜合②與③即得定理2取定線性空間V的一組基若V上的n個線性函數(shù)滿足則為的一組基.稱之為的對偶基.10.2

對偶空間例.上線性空間,任意個不同實(shí)數(shù)

根據(jù)拉格朗日插值公式，有多項(xiàng)式

則且為的一組基.10.2

對偶空間這是因?yàn)?①線性無關(guān).事實(shí)上，若有用依次代入上式則得:線性無關(guān).②為基.10.2

對偶空間則線性函數(shù)滿足因此是的對偶基.設(shè)是在點(diǎn)的取值函數(shù)：10.2

對偶空間二、對偶空間的有關(guān)結(jié)果1.

設(shè)V數(shù)域P上的一個n維線性空間，與是V的兩組基，它們的對偶基分別是即，再設(shè)10.2

對偶空間其中，于是有所以，即或10.2

對偶空間因此有下述定理定理3

設(shè)與為線性空間V的兩組基，其的對偶基分別為與如果則到的過渡矩陣為即，10.2

對偶空間2.

線性函數(shù)空間的同構(gòu)定理4

設(shè)V為線性空間，是V的對偶空間的對偶空間，即定義映射則為同構(gòu)映射.即10.2

對偶空間證：同理所以保持加法和數(shù)量乘法.10.2

對偶空間首先：是1-1對應(yīng)的，若則對,即,又由的任意性，即故是單射.10.2

對偶空間空間，所以可看成上線性函數(shù)空間,與是由Th3,與同構(gòu)，而是上線性函數(shù)空間，互為線性函數(shù)空間的.

注：10.2

對偶空間例1.設(shè)是線性空間的一組基,是它的對偶基，

試證：是的一組基，并求它的對偶基.（用表示）10.2

對偶空間非退化.故是的一組基.它的對偶基解：而10.2

對偶空間例2.設(shè)是一個線性空間，是中的非零向量

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