第2課時第二十二章四邊形22.4矩形1.會用矩形的定義來判定一個四邊形為矩形.2.掌握矩形的判定定理,會證明一個四邊形為矩形.3.能解決與矩形相關的幾何問題.合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習

工人師傅在做門窗或矩形零件時，如何確保圖形是矩形呢？現(xiàn)在師傅帶了兩種工具（卷尺和量角器），他說用這兩種工具的任意一種就可以解決問題，這是為什么呢？合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習

類比平行四邊形的定義也是判定平行四邊形的一種方法，那么矩形的定義也是判定矩形的一種方法.問題1：除了定義以外，判定矩形的方法還有沒有呢？

矩形是特殊的平行四邊形，類似的，我們也可以參照之前研究平行四邊形判定定理的方法來研究矩形的判定方法.合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習問題2：你還記得學習平行四邊形的判定時，我們是如何猜想并進行證明的嗎？性質(zhì)猜想判定定理逆命題證明問題3：同樣，上節(jié)課我們已經(jīng)知道“矩形的對角線相等”的性質(zhì)，反過來，猜想對角線相等的平行四邊形是矩形，你覺得對嗎？你能證明這一猜想嗎？合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習證一證：已知：如圖,在□ABCD中，AC、BD是它的兩條對角線,

AC=BD.

求證：□ABCD是矩形.證明：在□ABCD中，由于AB=DC，AC=DB，BC=CB，因此△ABC≌△DCB.(SSS)從而∠ABC=∠DCB.又∠ABC+∠DCB=180°，于是∠ABC=90°.所以□ABCD是矩形.矩形的判定定理1：對角線相等的平行四邊形是矩形.合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習問題4：上節(jié)課我們研究了矩形的四個角，知道它們都是直角，它的逆命題是什么？成立嗎？逆命題：四個角是直角的四邊形是矩形.成立問題5：至少有幾個角是直角的四邊形是矩形？ABDC(有一個角是直角)ABDC(有二個角是直角)ABDC(有三個角是直角)猜想：有三個角是直角的四邊形是矩形.合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習證一證：已知：如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求證：四邊形ABCD是矩形.矩形的判定定理2：有三個角是直角的四邊形是矩形.ABCD證明:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，∴AD∥BC,AB∥CD.∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形.合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習探究矩形判定定理的運用問題提出1：如圖，在□ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度數(shù)．

A

B

C

D

O問題探究：(1)根據(jù)題目給出□ABCD和它的兩條對角線，你能想到它的什么性質(zhì)呢？平行四邊形的對角線互相平分(2)再結合題目已知的OA=OD,我們可以得到什么結論？可以根據(jù)矩形的判定定理1，證得矩形.(3)最后根據(jù)已知∠OAD=50°，得出∠OAB的度數(shù).合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習探究矩形判定定理的運用問題解決：

A

B

C

D

O解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD.又∵OA=OD，∴AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形），∴∠BAD=90°.又∵∠OAD=50°，∴∠OAB=40°.合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習探究矩形判定定理的運用問題提出2：如圖，□

ABCD的四個內(nèi)角的平分線分別相交于E、F、G、H，求證：四邊形EFGH為矩形．問題探究：ABDCHEFG根據(jù)題中已知平行四邊形我們可以得到關于邊的關系：

，AD∥BC,AD=BC,AB=CD,AB∥CD結合平行線的性質(zhì),可知同旁內(nèi)角

,所以平行四邊形兩個鄰角的和為

.互補180°再觀察題中給出的內(nèi)角的平分線，可知這些平分線分別平分

，平行四邊形的四個內(nèi)角最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和度數(shù)，可分別求出四邊形EFGH內(nèi)角的度數(shù)，依據(jù)矩形的判定定理

即可得證.2合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習探究矩形判定定理的運用問題解決：ABDCHEFG證明：在□

ABCD中，AD∥BC,∴∠DAB+∠ABC=180°.∵AE與BG分別為∠DAB、∠ABC的平分線,∴四邊形EFGH是矩形．同理可證∠AED=∠EHG=90°（有三個角是直角的四邊形是矩形）,∴∠AFB=90°，∴∠GFE=90°.∴∠BAE+∠ABF=∠DAB+∠ABC=90°.合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習1.在判斷“一個四邊形門框是否為矩形”的數(shù)學活動課上，一個合作學習小組的4位同學分別擬定了如下的方案，其中正確的是（）A．測量對角線是否相等B．測量兩組對邊是否分別相等C．測量一組對角是否都為直角D．測量其中三個角是否都為直角D合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習2.如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，延長OA到N，使ON＝OB，再延長OC至M，使CM＝AN.求證：四邊形NDMB為矩形．證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AO＝OC，OD＝OB.∵AN＝CM，ON＝OB，∴ON＝OM＝OD＝OB，∴四邊形NDMB為平行四邊形，MN＝BD，∴平行四邊形NDMB為矩形．合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習3.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求證：四邊形ABCD是矩形．ABCD證明：四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，∴∠ADC=90°.又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，滿足132=52+122，即AB2+BC2=AC2,∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，∴四邊形ABCD是矩形．合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習4.如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別為OB，OD的中點，延長AE至G，使EG=AE，連接CG．（1）求證：△ABE≌△CDF；證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，∴∠ABE=∠CDF，∵點E，F(xiàn)分別為OB，OD的中點，∴BE=DF，在△ABE和△CDF中，合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習∴△ABE≌△CDF（SAS）；∴BE=OB,DF=OD,（2）當線段AB與線段AC滿足什么數(shù)量關系時，四邊形EGCF是矩形？請說明理由．解：當AC=2AB時，四邊形EGCF是矩形；理由如下：∵AC=2OA，AC=2AB，∴AB=OA，∵E是OB的中點，∴AG⊥OB，∴∠OEG=90°，合作探究當堂檢測學習目標課堂總結自主學習同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，∵EG