2.5.1二次函數(shù)與一元二次方程

九年級下

北師版學(xué)習(xí)目標(biāo)難點1.經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程，體會方程與函數(shù)之間的聯(lián)系.2.理解二次函數(shù)的圖象和橫軸交點的個數(shù)與一元二次方程的根的個數(shù)之間的關(guān)系.3.理解一元二次方程的根就是二次函數(shù)的圖象與直線y=h（h是實數(shù)）交點的橫坐標(biāo).重點解：（1）h=-5t2+40t；一個小球從地面被以40m/s的速度豎直向上拋起，小球距離地面的高度h(m)與運動時間t(s)的關(guān)系如圖所示，觀察并思考下列問題：（1）h和t的關(guān)系式是什么？新課引入（2）小球經(jīng)過多少秒后落地？一個小球從地面被以40m/s的速度豎直向上拋起，小球距離地面的高度h(m)與運動時間t(s)的關(guān)系如圖所示，觀察并思考下列問題：①由圖象可知8秒后小球落地.②將h=0代入二次函數(shù)解得t=0或t=8

t=0為開始時間，t=8為結(jié)束時間.

二次函數(shù)其實就是y=0時的一元二次方程，那么它們兩個會有什么樣聯(lián)系呢？這節(jié)課就讓我們一起來探究！一

二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系思考例1觀察下圖三個二次函數(shù)的圖象并完成下列表格.（1）y=x2+2x；（2）y=x2-2x+1；（3）y=x2-2x+2新知學(xué)習(xí)二次函數(shù)的圖象與x軸有幾個交點？兩個交點一元二次方程有幾個根？兩個根二次函數(shù)的圖象與x軸有幾個交點？一個交點一元二次方程有幾個根？兩個相同的根二次函數(shù)的圖象與x軸有幾個交點？沒有交點一元二次方程有幾個根？沒有根觀察圖象，完成下表：拋物線與x軸交點個數(shù)交點橫坐標(biāo)相應(yīng)的一元二次方程的根y=x2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+22個1個0個x2-2x+2=0無解1x2-2x+1=0，x1=x2=1-2,0x2+2x=0，x1=-2，x2=0無通過前面的探究，你能總結(jié)出二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點的坐標(biāo)和一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么關(guān)系？二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點個數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0的根△=b2-4ac有兩個交點有兩個不相等的實數(shù)根△=b2-4ac>0有兩個重合的交點（或有一個交點）有兩個相等的實數(shù)根△=b2-4ac

=0沒有交點沒有實數(shù)根△=b2-4ac<0歸納二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)就是一元二次方程ax2+bx+c=0根.本節(jié)一開始的小球上拋問題中，何時小球離地面的高度是60m？你是如何知道的？思考二

運動中的拋物線問題h=－5t2＋40t例2如圖，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時，球的飛行路線將是一條拋物線，如果不考慮空氣的阻力，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有關(guān)系：

h=20t-5t2，考慮以下問題：(1)球的飛行高度能否達(dá)到15m？如果能，需要多少飛行時間？圖中代表最高的點距地面是否大于或等于15m二次函數(shù)最高點的縱坐標(biāo)是否大于或等于15二次函數(shù)對稱軸的縱坐標(biāo)是否大于或等于15思路點撥：高度為15m，即在函數(shù)h=20t-5t2中，令h=15Oht1513你能指出為什么在兩個時間小球的高度為15m嗎？∴當(dāng)球飛行1s或3s時，它的高度為15m.①解：解方程15=20t-5t2，

t2-4t+3=0,

t1=1，t2=3.②我們也可以利用函數(shù)圖象來思考，認(rèn)為是在求直線h=15和h=20t-5t2的交點問題，將直線h=15畫出來，即可得出t.如圖所示，運動軌跡先上后下只要最高點縱坐標(biāo)大于15，那么必會產(chǎn)生2個交點，也就是在兩個時間小球的高度為15m（2）球的飛行高度能否達(dá)到20m？如果能，需要多少飛行時間？Oht202解：解方程20=20t-5t2,t2-4t+4=0,t1=t2=2.當(dāng)球飛行2s時，它的高度為20m.你能結(jié)合圖形指出為什么只在一個時間小球的高度為20m嗎？（3）球的飛行高度能否達(dá)到20.5m？為什么？Oht20.5解：解方程20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0,

因為(-4)2-4×4.1<0,

所以方程無解.

即球的飛行高度達(dá)不到20.5m.你能結(jié)合圖形指出為什么球不能達(dá)20.5m的高度嗎?(3)球的飛行高度能否達(dá)到20.5m？為什么？Oht20.5(3)我們也可以利用函數(shù)圖象來思考，認(rèn)為是在求直線h=20.5和h=20t-5t2的交點問題，將直線h=20.5畫出來，即可得出t.如圖所示，最高點縱坐標(biāo)正好為20，那么直線h=20.5和二次函數(shù)h=20t-5t2沒有交點，因為小球飛行軌跡在2S（頂點橫坐標(biāo)）時，達(dá)到最大高度（最大值），不會再有比20m還高的距離了.(4)球從飛出到落地要用多少時間？Oht解：小球飛出時和落地時的高度都為0m，解方程0=20t-5t2,t2-4t=0,t1=0，t2=4.當(dāng)球飛行0s和4s時，它的高度為0m.這表明小球從飛出到落地要用4s.從圖來看，0s時小球從地面飛出，4s時小球落回地面.在函數(shù)中y=0的時候落地的情況落地的點思考從上面發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù)

y=ax2+bx+c與一元二次方程之間的關(guān)系是什么?一般地，當(dāng)

y取定值h且a≠0時，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）可以看作是一元二次方程ax2+bx+c=h.如：y=6時，則6=ax2+bx+c（a≠0）就是一個一元二次方程.從前面可以看出，二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系密切．

例如，已知二次函數(shù)y=－x2＋4x的值為3，求自變量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反過來，解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函數(shù)y=x2－4x+3的值為0，求自變量x的值．關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=m二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，當(dāng)y=m時，所對應(yīng)的x的值特殊的，與x軸的交點坐標(biāo)為當(dāng)y=0時，對應(yīng)一元二次方程的x的值拋物線y=ax2+bx+c與直線y=m交點的橫坐標(biāo)函數(shù)解析式函數(shù)圖象

1.小鹿畫了一個函數(shù)y＝x2＋ax＋b的圖象.如圖，則關(guān)于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(

)A．無解

B．x＝1C．x＝－4D．x＝－1或x＝4D隨堂練習(xí)2.二次函數(shù)y=x2-6x+n

的圖象如圖所示，若關(guān)于x

的一元二次方程x2-6x+n=0的一個解為x1=1，則另一個解x2=

.53.已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求證：此拋物線與x軸總有交點；證明：∵m≠0，∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0，∴Δ≥0，∴此拋物線與x軸總有交點.解：令y＝0，則(x－1)(mx－2)＝0，(2)若此拋物線與x軸總有兩個交點，且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值．∴正整數(shù)m的值為1.解得x1＝1，x2＝

∴

x－1＝0或mx－2＝0，當(dāng)m為正整數(shù)1或2時，x2為整數(shù)，且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù)．又∵拋物線與x軸總有兩個交點，∴m=2不符合題意，4.一個足球被從地面向上踢出，它距地面的高度h(m)可以用公式h=－4.9t2

＋19.6t來表示，其中t(s)表示足球被踢出后經(jīng)過的時間.(1)畫出函數(shù)h=－4.9t2

＋19.6t的圖象；解：函數(shù)h＝－4.9t2＋19.6t的圖象如圖．(2)當(dāng)t=1,t=2時，足球距地面的高度分別是多少？解：當(dāng)t＝1時，h＝－4.9＋19.6＝14.7；當(dāng)t＝2時，h＝－4.9×4＋19.6×2＝19.6.(3)方程－4.9t2

＋19.6t=0,－4.9t2

＋19.6t=14.7的根的實際意義分別是什么？你能在圖象上表示出來嗎？解：方程－4.9t2＋19.6t＝0的根的實際意義是當(dāng)足球距地面的高度為0m時經(jīng)過的時間；方程－4.9t2＋19.6