學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時(shí)作業(yè)（十三）變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算一、選擇題1．函數(shù)f（x)＝(x＋2a)（x－a)2A．2(x2－a2）B．2（x2＋a2）C．3（x2－a2）D．3（x2＋a2）解析：∵f（x）＝（x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2∴f′（x）＝3(x2－a2）．答案：C2．曲線f(x）＝2x－ex與y軸的交點(diǎn)為P，則曲線在點(diǎn)P處的切線方程為（）A．x－y＋1＝0B．x＋y＋1＝0C．x－y－1＝0D．x＋y－1＝0解析：曲線f(x)＝2x－ex與y軸的交點(diǎn)為(0，－1）．且f′（x)＝2－ex，∴f′(0）＝1。所以所求切線方程為y＋1＝x，即x－y－1＝0.答案:C3．f（x)＝x（2016＋lnx），若f′（x0）＝2017，則x0等于（）A．e2B．1C．ln2D．e解析:f′(x)＝2016＋lnx＋x×eq\f(1，x)＝2017＋lnx,由f′（x0)＝2017，得2017＋lnx0＝2017，則lnx0＝0，解得x0＝1.答案：B4．設(shè)曲線y＝eq\f（1＋cosx，sinx)在點(diǎn)eq\f(π,2)，1處的切線與直線x－ay＋1＝0平行，則實(shí)數(shù)a等于（）A．－1B。eq\f（1,2）C．－2D．2解析：∵y′＝eq\f(－1－cosx,sin2x),∴y′｜＝－1,由條件知eq\f(1,a）＝－1，∴a＝－1,故選A。答案：A5．(2017·河北衡水四調(diào)）設(shè)過曲線f（x）＝－ex－x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上任意一點(diǎn)處的切線為l1，總存在過曲線g（x)＝ax＋2cosx上一點(diǎn)處的切線l2，使得l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．[－1,2］B．（－1，2)C．[－2，1］D．（－2,1）解析：由題意得f′(x)＝－ex－1，g′（x）＝a－2sinx,則?x1∈R，?x2∈R,使得(－ex1－1）(a－2sinx2)＝－1，即函數(shù)y＝eq\f（1，ex1＋1)的值域?yàn)楹瘮?shù)y＝a－2sinx2的值域的子集,從而(0,1）?[a－2，a＋2]，即a－2≤0，a＋2≥1?－1≤a≤2,故選A.答案：A6．（2016·四川卷)設(shè)直線l1，l2分別是函數(shù)f（x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－lnx，0〈x<1，,lnx，x>1）)圖象上點(diǎn)P1,P2處的切線，l1與l2垂直相交于點(diǎn)P,且l1,l2分別與y軸相交于點(diǎn)A，B，則△PAB的面積的取值范圍是()A．(0,1)B．(0，2)C．(0，＋∞)D．(1，＋∞）解析：設(shè)P1（x1,lnx1)，P2（x2，－lnx2）（不妨設(shè)x1〉1,0<x2<1),則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線l1,l2的斜率分別為k1＝eq\f（1,x1)，k2＝－eq\f(1，x2）.由已知得k1k2＝－1，所以x1x2＝1。所以x2＝eq\f（1，x1)。所以切線l1的方程為y－lnx1＝eq\f(1，x1)（x－x1），切線l2的方程為y＋lnx2＝－eq\f（1,x2)（x－x2)，即y－lnx1＝－x1(x－eq\f(1，x1))。分別令x＝0得A（0，－1＋lnx1），B（0,1＋lnx1）．又l1與l2的交點(diǎn)為P(eq\f(2x1，1＋x\o\al（2,1))，lnx1＋eq\f（1－x\o\al(2,1),1＋x\o\al（2,1)))?！選1>1,∴S△PAB＝eq\f（1,2）|yA－yB｜·|xP｜＝eq\f（2x1,1＋x\o\al(2,1))〈eq\f(1＋x\o\al（2,1）,1＋x\o\al(2，1)）＝1.∴0〈S△PAB<1，故選A。答案：A二、填空題7．(2017·武漢市調(diào)研測(cè)試)曲線f(x）＝xlnx在點(diǎn)M(1，f(1）)處的切線方程為________．解析：由題意，得f′(x）＝lnx＋1，所以f′(1)＝ln1＋1＝1，即切線的斜率為1。因?yàn)閒（1）＝0，所以所求切線方程為y－0＝x－1，即x－y－1＝0。答案：x－y－1＝08．(2017·河北保定模擬，14）已知f(x）＝xlnx，若過曲線y＝f（x)上的點(diǎn)P的切線斜率為2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．解析：設(shè)P（m,n）,易知f′(x）＝1＋lnx，則切線斜率為1＋lnm＝2,解得m＝e，∴n＝mlnm＝elne＝e。答案：(e，e）9．如圖，y＝f（x）是可導(dǎo)函數(shù),直線l:y＝kx＋2是曲線y＝f（x)在x＝3處的切線,令g(x)＝xf（x)，其中g(shù)′(x）是g（x)的導(dǎo)函數(shù),則g′（3)＝________。解析：由題圖可得曲線y＝f（x)在x＝3處切線的斜率等于－eq\f（1，3），即f′(3)＝－eq\f(1,3），因?yàn)間(x)＝xf(x)，所以g′(x）＝f(x）＋xf′（x），g′（3)＝f(3)＋3f′（3）,由圖可知f(3）＝1，所以g′（3）＝1＋3×－eq\f（1，3)＝0。答案:0三、解答題10．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．（1)y＝x·tanx；(2）y＝(x＋1）（x＋2）(x＋3)；(3）y＝eq\f（ln2x＋1,x）.解析：(1)y′＝（x·tanx)′＝x′tanx＋x（tanx）′＝tanx＋x·eq\f（sinx,cosx)′＝tanx＋x·eq\f(cos2x＋sin2x,cos2x)＝tanx＋eq\f(x,cos2x).（2）y′＝(x＋1）′[（x＋2)（x＋3）]＋（x＋1）［（x＋2）（x＋3）］′＝(x＋2）（x＋3）＋(x＋1)（x＋2）＋(x＋1）（x＋3）＝3x2＋12x＋11.（3）y′＝eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(ln2x＋1，x)））′＝eq\f([ln2x＋1］′x－x′ln2x＋1,x2)＝eq\f(\f(2x＋1′，2x＋1）·x－ln2x＋1，x2）＝eq\f（\f(2x，2x＋1）－ln2x＋1，x2)＝eq\f（2x－2x＋1ln2x＋1,2x＋1x2).11．已知點(diǎn)M是曲線y＝eq\f(1,3)x3－2x2＋3x＋1上任意一點(diǎn)，曲線在M處的切線為l,求：(1)斜率最小的切線方程；(2)切線l的傾斜角α的取值范圍．解析:(1）y′＝x2－4x＋3＝(x－2）2－1≥－1,∴當(dāng)x＝2時(shí),y′＝－1，y＝eq\f(5，3），∴斜率最小的切線過（2，eq\f(5,3）），斜率k＝－1,∴切線方程為x＋y－eq\f（11，3）＝0。(2）由(1）得k≥－1，∴tanα≥－1。又∵α∈［0，π］，∴α∈[0，eq\f（π,2）)∪［eq\f（3π，4），π).故α的取值范圍為［0,eq\f(π,2)）∪［eq\f（3π,4）,π).12．已知函數(shù)f（x）＝x3－4x2＋5x－4。(1)求曲線f(x）在點(diǎn)（2,f(2)）處的切線方程;（2)求經(jīng)過點(diǎn)A(2,－2）的曲線f（x）的切線方程．解析：(1）∵f′（x)＝3x2－8x＋5,∴f′（2)＝1，又f(2)＝－2,∴曲線在點(diǎn)（2，f（2))處的切線方程為y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.（2)設(shè)曲線與經(jīng)過點(diǎn)A（2，－2)的切線相切于點(diǎn)P(x0，xeq\o\al(3，0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3xeq\o\al（2，0)－8x0＋5，∴切線方程為y－(－2）＝（3xeq\o\al（2,0)－8x0＋5）(x－2)，又切線過點(diǎn)P（x0，xeq