高級中學名校試卷PAGEPAGE1山西省忻州市2023-2024學年高二上學期1月期末考試數(shù)學試題注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：人教A版選擇性必修第一、二冊.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知數(shù)列的前4項分別為，，，，則該數(shù)列的一個通項公式可以為（）A.B.C.D.〖答案〗D〖解析〗觀察可知，該數(shù)列的前面整數(shù)部分為奇數(shù)，后面分數(shù)部分正負相間，首項的分數(shù)部分為負，分母為，分子為，故該數(shù)列的一個通項公式可以為，故選：D2已知直線，直線.若，則（）A.4 B.-2 C.4或-2 D.3〖答案〗A〖解析〗因為，所以，即，得或.當時，，，符合題意；當時，，，，重合.故.故選：A.3.已知等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，當時，，可得，當時，，因為數(shù)列為等比數(shù)列，可得，解得.故選：D.4.若數(shù)列滿足，，則（）A. B.11 C. D.〖答案〗D〖解析〗因為.所以數(shù)列周期為3的數(shù)列.所以，，所以，故.故選：D5.函數(shù)的極大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，當時，，當時，.所以的極大值為.故選：B.6.過拋物線的焦點的直線與拋物線C相交于A，B兩點，若線段中點的坐標為，則（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗A〖解析〗設，，則，兩式作差得，，當時，則中點坐標為焦點，不滿足題意；當時，得．設線段中點，因為坐標，且過焦點，所以，則的斜率，解得．故選：A.7.在三棱錐中，平面分別是棱的中點，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為平面，都在面內，所以，又，所以，所以兩兩垂直，以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，．設平面的法向量為，則所以取，得．設直線與平面所成的角為，所以．故選：B8.若函數(shù)，的導函數(shù)都存在，恒成立，且，則必有（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，設函數(shù)，則，所以單調遞增，所以，即，因為，所以，即.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（）A.的公差為1 B.的公差為2C. D.〖答案〗ACD〖解析〗設的公差為d，由，，得，解得，故A正確，B錯誤；，，C，D正確故選：ACD10.已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.在上單調遞減B.在上單調遞增C.有2個極大值點D.只有1個極小值點〖答案〗ABD〖解析〗由圖可知，當時，，所以在上單調遞減，當時，，所以在上單調遞增，A，B均正確.當時，，當時，，當時，，所以的極大值點為，的極小值點為，C錯誤，D正確.故選：ABD.11.已知，在同一個坐標系下，曲線與直線的位置可能是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗因為，所以曲線為，直線為，當時，曲線表示的是圓，直線的橫截距與縱截距相等，則A錯誤；當時，曲線表示焦點在軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距大，則B正確；當時，曲線表示焦點在軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距小，則C不正確；當時，曲線表示焦點在軸上的雙曲線，直線的橫截距為正，縱截距為負，則D正確．故選：BD．12.已知函數(shù)，且關于的方程有3個不等實數(shù)根，則下列說法正確的是（）A.當時，B.在上單調遞減C.的取值范圍是D.的取值范圍是〖答案〗ABD〖解析〗由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質可知當時，，當時，，A正確；因，令解得，令解得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，B正確；又當趨于時，趨于，當趨于時，趨于，當時，，故可作的草圖如圖，令，則，即方程的兩根為，若是方程的根，則，顯然不符合題意，因為方程有3個不等實數(shù)根，所以或，當時，解得，所以，即異號，不滿足題意；當時，即有解得，即的取值范圍為，C錯誤，D正確；故選：ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.物體位移（單位：）和時間（單位：）滿足函數(shù)關系，則當時，物體的瞬時速度為______.〖答案〗〖解析〗，則.故〖答案〗為：.14.已知雙曲線，直線被所截得的弦長為，則_______．〖答案〗〖解析〗設雙曲線與直線交于兩點，由消去整理得，則，解得，且，所以．由，解得，所以．故〖答案〗為：15.若直線是圓的一條對稱軸，則點與該圓上任意一點的距離的最小值為__________．〖答案〗1〖解析〗由題可知，該圓的圓心為，直線過圓心，則，解得，則該圓的方程轉化為，該圓圓心為，半徑為，易知圓心與的距離為，故點與該圓上任意一點的距離的最小值為．故〖答案〗為：116.在數(shù)列與中，已知，則________．〖答案〗1〖解析〗由題意知，，所以為常數(shù)列，即，所以．故〖答案〗為：1.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求在上的最值.解：（1）函數(shù)，求導得，則，而，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）由，得或，由，得，顯然當時，恒有，當且僅當時取等號，因此在上單調遞增，在上單調遞減，而，，，所以在上的最大值為16，最小值為.18.已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.解：（1）當時，，當時，.符合，所以的通項公式為.（2）由（1）可得，則，所以數(shù)列的前項和.19.已知直四棱柱的底面是菱形，且，分別是側棱的中點．（1）證明：四邊形為菱形．（2）求點到平面的距離．解：（1）取的中點，連接,因為底面是菱形且，所以為等邊三角形，所以，又，所以，易知兩兩垂直．以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．由，可得，．證明：由上可得，所以，且，所以四邊形為菱形．（2）設平面的法向量為，因為，所以，即，取，得．又，所以點到平面的距離．20.已知正項數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，且，.（1）求，的通項公式；（2）證明：.解：（1）因為，，且，所以，所以，即.當時，，所以.因為，所以，所以.也符合上式，所以.當時，.因為，所以當時，，所以當時，，即，所以當時，數(shù)列是以為首項的常數(shù)列，即，所以，所以的通項公式為（2）因為，所以，兩式相減得，所以.因為，，所以，故.21.已知橢圓與雙曲線的焦距之比為．（1）求橢圓和雙曲線的離心率；（2）設雙曲線的右焦點為F，過F作軸交雙曲線于點P（P在第一象限），A，B分別為橢圓的左、右頂點，與橢圓交于另一點Q，O為坐標原點，證明：．解：（1）橢圓的焦距，雙曲線的焦距，則，整理得，從而，，故橢圓的離心率，雙曲線的離心率．（2）由（1）可知，橢圓，因為，所以直線的方程為．聯(lián)立方程組，整理得，則，則，可得，即，因為，，，則，，故．22.已知函數(shù)，.（1）討論的單調性.（2）是否存在兩個正整數(shù)，，使得當時，？若存在，求出所有滿足條件的，的值；若不存在，請說明理由.解：（1），當時，，在上單調遞減