專題03五大類立體幾何題型-2024年高考數(shù)學(xué)大題秒殺技巧及專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）【題型3點(diǎn)面距離（體積求算）問題】基礎(chǔ)工具：法向量的求算待定系數(shù)法：步驟如下：①設(shè)出平面的法向量為n=(x,y,z).②找出(求出)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量--n--n.a=00(③根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x,y,z的方程組〈④解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量.(l注意：在利用上述步驟求解平面的法向量時(shí)，方程組(l有無(wú)數(shù)多個(gè)解，只需給x,y,z中的一個(gè)變量賦于一個(gè)值，即可確定平面的一個(gè)法向量；賦的值不同，所求平面的法向量就不同，但它們是共線向量.秒殺大法：口訣：求誰(shuí)不看誰(shuí)，積差很崩潰（求外用外減，求內(nèi)用內(nèi)減）向量=(x1,y1,z1)，=(x2,y2,z2)是平面C內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則向量1z2y2z1,x2z1x1z2,x1y2x2y1)是平面C的一個(gè)法向量.特別注意：空間點(diǎn)不容易表示出來時(shí)直接設(shè)空間點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用距離列三個(gè)方程求解.：線面平行問題線面平行：關(guān)鍵點(diǎn)①必須將刻度尺與所證線重合，然后平移落在所證平面且留下痕跡②眼神法：觀察采用哪一種技巧（五種方法記住六大圖像）：中位線型如圖⑴,在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).求證：PB//平面AEC.分析：：構(gòu)造平行四邊形如圖⑵,平行四邊形ABCD和梯形BEFC所在平面相交，BE//CF，求證：AE//平面DCF.分析：過點(diǎn)E作EG//AD交FC于G，DG就是平面AEGD與平面DCF的交線，那么只要證明AE//DG即可。：作輔助面使兩個(gè)平面是平行如圖⑶,在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD為菱形，M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，證明：直線MN‖平面OCD分析取OB中點(diǎn)E，連接ME,NE，只需證平面MEN∥平面OCD。：利用平行線分線段成比例定理的逆定理證線線平行。已知公共邊為AB的兩個(gè)全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面內(nèi)，P，Q分別是對(duì)角線AE，BD上的點(diǎn)，且AP＝DQ（如圖求證：PQ∥平面CBE.AB∥面ABC；（向量法）所證直線與已知平面的法向量垂直，關(guān)鍵：建立空間坐標(biāo)系（或找空間一組基底）及平面的法向量。如圖⑹,在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為AB，SC的中點(diǎn)．證明EF∥平面SAD；分析：因?yàn)閭?cè)棱SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以很容易建立空間直角坐標(biāo)系及相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)。證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D一xyz.因?yàn)閥軸垂直與平面SAD，故可設(shè)平面的法向量為=（0，1，0）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，O為底面ΔA1B1C1的重心，D=CC1,CD:DC1=1:2.(2)若AA1」底面A1B1C1，且三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為6，設(shè)直線AB1與平面A1B1C所成的角為θ,求sinθ的值.如圖，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E、FDCC1D1的夾角的余弦值.如圖，已知四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，平面AA1D1D⊥平面ABCD，A1A=D1D=，點(diǎn)P是棱DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱BC上.(1)若BQ=3QC，證明：PQ∥平面ABB1A1；(2)若二面角P-QD-C的正弦值為，求BQ的長(zhǎng).AC，BC的中點(diǎn).求證：MN//平面BCC1B1；AD，2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，ABAD,AD//BC，BC=AD，PA=AB=2，E為棱PD的中點(diǎn).求證：EC//平面PAB；(1)求證：CD平面PAD；(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求平面PBC與平面PAD所成銳二面角的大小.條件①：AB=；條件②：BC//平面PAD.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.4．如圖，S為圓錐頂點(diǎn)，O是圓錐底面圓的圓心，AB，CD是長(zhǎng)度為2的底面圓的兩條直徑，ABnCD=O，且SO=3，P為母線SB上一點(diǎn).求證：當(dāng)P為SB中點(diǎn)時(shí)，SA∥平面PCD；5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC平面ABCD，AB//CD，點(diǎn)E在棱PB上，PE=2EB，點(diǎn)F，H是棱PA上的三等分點(diǎn)，點(diǎn)G是棱PD的中點(diǎn).PC=CB=CD=AB=2，AC=.證明：HD//平面CFG，且EC//FG；6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PDAD，平面PAD平面ABCD，PD=AD=2，E是PC的中點(diǎn)，作EFPB交PB于F.求證：PA//平面BDE；7．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA=PC，PBAC.(1)證明：四邊形ABCD為菱形；(2)E為棱PB上一點(diǎn)（不與P，B重合證明：AE不可能與平面PCD平行.BCD證明：B1M//平面A1C1D；必記結(jié)論：①特殊的平行四邊形牽邊長(zhǎng)之比1:2，夾角為600，則對(duì)角線與邊垂直②特殊的直角梯形牽邊長(zhǎng)之比1:1:2,對(duì)角線與腰垂直③等腰三角形三線合一，三線與底垂直④直徑所對(duì)的圓周角為直角⑤菱形和正方形：對(duì)角線互相垂直⑥特殊的矩形：邊長(zhǎng)之比1:2或1：有明顯的直角關(guān)系要證線面垂直，只需讓線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線即可如：要證AC」平面BDE；第一步：表示AC,表示（BDDEBE）中的兩個(gè)如圖，在四棱錐P一ABCD中，PA」平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，求證：BD」平面PAC.求證：BC1」平面A1B1C；分別是AB，A1C的中點(diǎn).求證：MN」平面A1B1C.E是C1D1上的點(diǎn),，且C1E,AA1,AB的長(zhǎng)成等比數(shù)列，又M是BB1所在的直線l上的動(dòng)點(diǎn).求證：AB1平面BCE2．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC平面AA1C1C，D是AA1的中點(diǎn)，‘ACD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.證明：C1DBD.3．如圖，在三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中，平面ABB1A1平面π.AB1C,BB1AB1,AB=4,AA1=AB1=2,BACπ.2證明：AC平面ABB1A1；4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC平面ABCD，ABCD，點(diǎn)E在棱PB上，PE=2EB，(1)證明：HD∥平面CFG，且C，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面；(2)證明：平面PAB平面PBC；5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD側(cè)面PAB，F(xiàn)為BD中點(diǎn)，E是PA上的點(diǎn)，PA=PD=2，PAPD.求證：平面PAD平面ABCD； 2π 2π平面BCDE,F為BC中點(diǎn).證明：平面AEC平面AFD；7．如圖幾何體中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，AE平面ABC，若AE//CD//BF，求證：平面DEF平面AEFB；8．如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面為矩形，AB=AD=，高為h，O，E分別為底面的中心和CD的中點(diǎn).求證：平面A1OE平面CDD1C1；----點(diǎn)面距離問題PP1PP2-(PP1.a(PP1.a)aa2PP.PP.11nnPP.PP.11nn1PP.1-n- 在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為A1D1的中點(diǎn)，則點(diǎn)C1到直線CE的距離為在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，則平面AB1C與平面A1C1D之間的距離為()已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，PD」平面ABCD，且PD=1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn).（1）求點(diǎn)D到平面PEF的距離2）求直線AC到平面PEF的距離.分別為線段BC，AD的中點(diǎn)，且底面ABCD為正方形.(1)求證:平面BCC?B?」平面EFGA到平面A?B?C?D?的距離.2．如圖，四邊形ABCD是圓柱OE的軸截面，點(diǎn)F在底面圓O上，圓O的半徑為1，AF點(diǎn)G是線段BF的中點(diǎn).(1)證明：EG//平面DAF；(2)若直線DF與圓柱底面所成角為45。，求點(diǎn)G到平面DEF的距離.3．如圖，在直三棱柱形木料ABC-A1B1C1中，D為上底面ABC上一點(diǎn).(1)經(jīng)過點(diǎn)D在上底面ABC上畫一條直線l與B1D垂直，應(yīng)該如何畫線，請(qǐng)說明理由；2,E為A1B1的中點(diǎn)，求點(diǎn)B到平面AC1E的距離.24．如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，BAD=60。，AB=2，AA1=4，E是DD1的中點(diǎn).(1)證明：BD//平面AC1E；(2)求點(diǎn)B到平面AC1E的距離.5．圖，在四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱PD上，(1)證明：AEPD；(2)求點(diǎn)C到平面BAE的距離.6．設(shè)四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)P為平面ABCD外一點(diǎn)，且PA平面ABCD，若(1)求PC與平面PAD所成角的正切值；(2)在BC邊上是否存在一點(diǎn)G，使得點(diǎn)D到平面PAG的距離為√2，若存在，求出BG的值，若不存在，請(qǐng)說明理由；7．如圖，在四棱錐P一ABCD中，AD//BC，AD」PD，平面PAD」平面PCD.(1)證明：BC」平面PCD；BC，A1C1的中點(diǎn).a.a.(1)求證：EF//平面ABB1(2)若底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且平面ACC1A1」平面ABC，求點(diǎn)C1到平面ABB1A1的距離.a.ba.b①能建空間直角坐標(biāo)系時(shí)，寫出相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用結(jié)論求解b②不能建空間直角坐標(biāo)系時(shí)，取基底的思想，在由公式cos,=b關(guān)鍵是求出.及與求出dl結(jié)論：sincdl{d牽點(diǎn)面距離（d往往用等體積法計(jì)算l牽線自身長(zhǎng)度}如圖，在四棱錐P一ABCD中，四邊形ABCD是菱形，AC（BD=O，ΔPAC為正三角求直線PA與平面PBD所成角的大?。凰睦忮FPABCD中，PA」平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，經(jīng)ADC=60。，PA=AD=2，E為AD的中點(diǎn).求PC與平面PAD所成的角的正切值；N是AC的中點(diǎn).求直線A1B與平面BCC1B1所成的角的大小.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=AA1=1，則D1正弦值為.1．如圖，在幾何體ABCDEF中，ADEF為等腰梯形，ABCD為矩形，AD//EF，AB=1，AD=3，DE=，EF=1，平面ADEF平面ABCD.(1)證明：BFCF；(2)求直線AF與平面CEF所成角的余弦值.的中點(diǎn)，N為C1E上一點(diǎn).4242(1)證明：BN//平面A1DC；(2)若AB=AC,=3，求直線DN與平面A1DC所成角的正弦值.3．如圖，在四棱錐Q-ABCD中，四邊形ABCD為直角梯形，CD//AB，B平面ABCD，QA=QD，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn).(1)證明：QMBD.7(2)點(diǎn)N是CQ的中點(diǎn)，AD=AB=2CD=2，當(dāng)直線MN與平面QBC所成角的正弦值為7時(shí)，求四棱錐Q-ABCD的體積.4．如圖，四邊形ABCD是圓柱OE的軸截面，點(diǎn)F在底面圓O上，圓O的半徑為1，AF點(diǎn)G是線段BF的中點(diǎn).(1)證明：EG//平面DAF；(2)若直線DF與圓柱底面所成角為45。，求點(diǎn)G到平面DEF的距離.5．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1在底面ABC上的射影為線段BC的中點(diǎn)，M為線段(1)求三棱錐M一A1BC的體積；(2)求MC與平面MA1B所成角的正弦值.6．如圖，已知三棱錐P一ABC,PB」平面PAC,PA」PC,PA=PB=PC，點(diǎn)O是點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影，點(diǎn)Q在棱PA上，且滿足AQ=3PQ.(1)求證：BC」OQ；(2)求OQ與平面BCQ所成角的正弦值.(1)求證：平面ABB1A1」平面BCC1B1；(2)求AC與平面BCC1B1所成角正弦值.8．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為平行四邊形，且BD=CD=1,BD」CD.DE」平面ABCD，且DE=BF=,DEBF.點(diǎn)H,G分別為線段DC,EF上的動(dòng)點(diǎn)，滿足DH=EG=λ(0<λ<2).1212(1)證明：直線GH平面BCF；(2)是否存在λ,使得直線GH與平面AEF所成角的正弦值為？請(qǐng)說明理由.n.n結(jié)論：二面角的平面角cosθ=n1.n2(θe(0，πn.n提示：C是二面角的夾角，具體cosθ取正取負(fù)完全用眼神法觀察，若為銳角則取正，若為鈍角則取負(fù).結(jié)論：任意二面角的平面角C滿足cosC=__如（M注意：N為原圖上的點(diǎn)，而分子_則是N點(diǎn)在面MAB的投影點(diǎn)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，DAB=60。,FC平面ABCD,AEBD,CB=CD=CF.求二面角FBDC的余弦值.的射影為BC的中點(diǎn)，D為B1C1的中點(diǎn).求二面角A1-BD-B1的平面角的余弦值.四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，∠ADC=60°,PA=AD=2，E為AD的中點(diǎn).求二面角A-PD-C的正弦值.1．如圖，三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中，ΔABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，四邊形ACC1A1是等腰(1)證明：ACBD；(2)若直線AA1與平面BB1C1C所成角的正弦值為，求二面角A1-AC-B的大小.2．如圖，在三棱錐D-ABC中，AB=AD=BD=3,AC=7,BC=CD=5.(1)證明：平面ACD平面ABC；(2)若E是線段CD上的點(diǎn)，且=4，求二面角E-AB-C的正切值.3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，ABC=BCD=90。,PA平面ABCD,PA=AB=BC=4,CD=3,M為側(cè)棱PC的中點(diǎn).(1)求點(diǎn)D到平面PBC的距離；(2)求二面角M-AD-B的正切值.4．如圖，在正四面體P-ABC中，E,F是棱PC的兩個(gè)三等分點(diǎn).(1)證明：ABPC；(2)求出二面角P-AB-E,E-AB-F,F-AB-C的平面角中最大角的余弦值.5．如圖，已知PD平面ABCD,CD=2AB=2AD=2,AB//CD,ADCD,PC與底面ABCD所成角為θ,且tanθ=.(1)求證：CB」平面PBD；6．如圖，在四棱錐P一ABCD中，四邊形ABCD為梯形，其中ABCD，BCD=60。(1)證明：AD」PD；(2)若AB」PD，且PC與平面ABCD所成角的正切值為2，求平面PBC與平面PAD所成二面角的正弦值.段BB1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E,F分別是線段BC,AC的中點(diǎn)，記平面DEF與平面A1B1C1的交線為l.(1)求證：EF//l；(2)當(dāng)二面角D-EF-C的大小為120。時(shí)，求BD.8．如圖，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=BC=線AC折到△APC的位置，點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影H恰好落在直線AB上.(1)求二面角P-AC-B的正切值；(2)點(diǎn)F為棱PC上一點(diǎn)，滿足PF=2FC，在棱BC上是否存在一點(diǎn)Q，使得直線FQ與平面ABF所成的角為?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.專題03五大類立體幾何題型-2024年高考數(shù)學(xué)大題秒殺技巧及專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）【題型3點(diǎn)面距離（體積求算）問題】基礎(chǔ)工具：法向量的求算待定系數(shù)法：步驟如下：①設(shè)出平面的法向量為n=(x,y,z).②找出(求出)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量--n--n.a=00(③根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x,y,z的方程組〈④解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量.(l注意：在利用上述步驟求解平面的法向量時(shí)，方程組(l有無(wú)數(shù)多個(gè)解，只需給x,y,z中的一個(gè)變量賦于一個(gè)值，即可確定平面的一個(gè)法向量；賦的值不同，所求平面的法向量就不同，但它們是共線向量.秒殺大法：口訣：求誰(shuí)不看誰(shuí)，積差很崩潰（求外用外減，求內(nèi)用內(nèi)減）向量=(x1,y1,z1)，=(x2,y2,z2)是平面C內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則向量1z2y2z1,x2z1x1z2,x1y2x2y1)是平面C的一個(gè)法向量.特別注意：空間點(diǎn)不容易表示出來時(shí)直接設(shè)空間點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用距離列三個(gè)方程求解.：線面平行問題線面平行：關(guān)鍵點(diǎn)①必須將刻度尺與所證線重合，然后平移落在所證平面且留下痕跡②眼神法：觀察采用哪一種技巧（五種方法記住六大圖像）：中位線型如圖⑴,在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).求證：PB//平面AEC.分析：：構(gòu)造平行四邊形如圖⑵,平行四邊形ABCD和梯形BEFC所在平面相交，BE//CF，求證：AE//平面DCF.分析：過點(diǎn)E作EG//AD交FC于G，DG就是平面AEGD與平面DCF的交線，那么只要證明AE//DG即可。：作輔助面使兩個(gè)平面是平行如圖⑶,在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD為菱形，M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，證明：直線MN‖平面OCD分析取OB中點(diǎn)E，連接ME,NE，只需證平面MEN∥平面OCD。：利用平行線分線段成比例定理的逆定理證線線平行。已知公共邊為AB的兩個(gè)全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面內(nèi)，P，Q分別是對(duì)角線AE，BD上的點(diǎn)，且AP＝DQ（如圖求證：PQ∥平面CBE.AB∥面ABC；（向量法）所證直線與已知平面的法向量垂直，關(guān)鍵：建立空間坐標(biāo)系（或找空間一組基底）及平面的法向量。如圖⑹,在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為AB，SC的中點(diǎn)．證明EF∥平面SAD；分析：因?yàn)閭?cè)棱SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以很容易建立空間直角坐標(biāo)系及相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)。證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D一xyz.因?yàn)閥軸垂直與平面SAD，故可設(shè)平面的法向量為=（0，1，0）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，O為底面ΔA1B1C1的重心，D=CC1,CD:DC1=1:2.(2)若AA1」底面A1B1C1，且三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為6，設(shè)直線AB1與平面A1B1C所成的角為θ,求sinθ的值.破解1）連接C1O交A1B1于E點(diǎn)，連接CE.因?yàn)镺為底面ΔA1B1C1的重心，則EO:OC1=1:2，因?yàn)镺D丈平面A1B1C,EC一平面A1B1C，（2）取AB的中點(diǎn)F，連接EF.」底面A1B1C1，且三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為6，可知射線EB1,EC1,EF兩兩垂直，以EB1,EC1,EF所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，0,33,6，令y=-2，可得x=0,z=，可得=(0,-2,)，2π(2)若DC=DD1=2AD=4,經(jīng)D1DC=3,AD」平面DCDCC1D1的夾角的余弦值.破解1）證明：如圖，設(shè)C1D的中點(diǎn)為O，連接OF、AO. 2 2..又：E為AB的中點(diǎn)，且四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形AOFE為平行四邊形.∴AOⅡEF.（2）解：在平面DCC1D1中，作DH」DC交C1D1于H.∵AD」平面DCC1D1，DH一平面DCC1D1，DC一平面DCC1D1，∴AD」DH,AD」DC.分別以射線DA、DC、DH為x軸、y軸、z軸的非負(fù)半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，在平行六面體ABCD一A1B1C1D1中，由AD」平面DCC1D1得平行四邊形ABCD是矩形.,C1HDD1H)，D0,2,2. 由AD」平面DCC1D1得是平面DCC1D1的法向量.)是平面EFN的法向量.AD2x(2)+()x0+5x03030設(shè)平面EFN與平面DCC1D1的夾角為θ,則cosθ=cos,=.常平面EFN與平面DCC1D1的夾角的余弦值為.如圖，已知四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，平面AA1D1D⊥平面ABCD，A1A=D1D=，點(diǎn)P是棱DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱BC上.(1)若BQ=3QC，證明：PQ∥平面ABB1A1；(2)若二面角P-QD-C的正弦值為，求BQ的長(zhǎng).破解1）證明：取AA1的中點(diǎn)M，連接MP，MB.又點(diǎn)M，P分別是棱A1A，D1D的中點(diǎn)，所以MP∥AD，且MP==3.在正方形ABCD中，BC∥AD，BC=4，又BQ=3QC，所以BQ=3.從而MP∥BQ且MP=BQ，所以四邊形BMPQ是平行四邊形，所以PQ∥MB.又因?yàn)镸B一平面ABB1A1，PQ丈平面ABB1A1，所以PQ∥平面ABB1A1；（2）在平面AA1D1D中，作A1O」AD于O.AA1D1D，所以A1O」平面ABCD.在正方形ABCD中，過O作AB的平行線交BC于點(diǎn)N，則ON」OD.以}為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.設(shè)二面角P一QDC的平面角為θ,由題意得cos 2θ1 又cos設(shè)二面角P一QDC的平面角為θ,由題意得cos 2θ1 1 221 解得t=0或6（舍因此BQ=1.：在平面A1ADD1中，作PH」AD，垂足為H.因?yàn)槠矫鍭1ADD1」平面ABCD，平面A1ADD1n平面ABCD=AD，PH」AD，PH一平面A所以PH」平面ABCD，又DQ一平面ABCD，所以PH」DQ.在平面ABCD中，作HG」DQ，垂足為G，連接PG.因?yàn)镻H」DQ，HG」DQ，PHnHG=H，PH，HG一平面PHG，所以DQ」平面PHG，又PG一平面PHG，所以DQ」PG.因?yàn)镠G」DQ，PG」DQ，所以經(jīng)PGH是二面角P-QD-A的平面角.在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，四邊形A1ADD1是梯形，A=，點(diǎn)P是棱DD1的中點(diǎn)，所以PH=2，DH=.1 根21 根1 根21 根2xx2-8x+322xx2-8x+32因?yàn)槎娼荘-QD-C的平面角與二面角P-QD-A的平面角互補(bǔ)，且二面角P-QD-C的正弦值為，所以sin經(jīng)PGH=，從而tan經(jīng)PGH=5. PH 所以在Rt△PHG中，HGxx2-8x+3226所以當(dāng)二面角P-QD-26AC，BC的中點(diǎn).求證：MN//平面BCC1B1；【詳解】∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，M為A1B1的中點(diǎn)，所以B1M=A1B1=AB，且B1M//AB，：因?yàn)镻，N分別BC，AC的中點(diǎn)，AB，∴PN//AB，PNAB，：PN//B1M，PN=B1M，∴四邊形B1MNP為平行四邊形，∴MN//B1P，又∵M(jìn)N丈平面B1C1CB，B1P一平面B故MN//平面B1C1CB.BC=AD2．如圖，在四棱錐P一ABCD中，PA」平面ABCD，AB」AD,BC=ADPA=AB=2，E為棱PD的中點(diǎn).求證：EC//平面PAB；【詳解】取PA中點(diǎn)為M，連接ME,MB，如下所示：在△PAD中，因?yàn)镸,E分別為PA,PD的中點(diǎn)，故ME//AD,MEAD；又AD//BC,BCAD，故ME//BC,MEBC，則四邊形MBCE為平行四邊形，EC//MB；又MB面PAB,EC面PAB，故EC//面PAB.3．如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，PAADCD2，BC3，PC2.(1)求證：CD平面PAD；(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求平面PBC與平面PAD所成銳二面角的大小.條件①：AB；條件②：BC//平面PAD.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)證明見解析(2)所選條件見解析， π 4【詳解】（1）如圖，連接AC，因PA」平面ABCD，AC,CD一平面ABCD，則PA」AC， 4π注意到AD=DC=2，則△ADC為等腰直角三角形，其中經(jīng) 4π π .2所以CD」AD，又因?yàn)镻A」CD，AD,PA一平面PAD，AD（PA=A，所以CD」平面PAD；（2）若選條件①,由余弦定理可得，AC2+BC2-AB28+9-5若選條件②,因BC//平面PAD，BC一平面ABCD，平面ABCD（平面PAD=AD，則故建立以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，如下圖所示空間直角坐標(biāo)系（x軸所在直線與DC平行）平面PAD法向量為=(2,0,0)，2 2.DCn.2 2.DCn.DC2根據(jù)平面角的范圍可知θ=.根據(jù)平面角的范圍可知4．如圖，S為圓錐頂點(diǎn)，O是圓錐底面圓的圓心，AB，CD是長(zhǎng)度為2的底面圓的兩條直徑，ABnCD=O，且SO=3，P為母線SB上一點(diǎn).求證：當(dāng)P為SB中點(diǎn)時(shí)，SA∥平面PCD；【詳解】連接PO，因?yàn)镻，O分別為SB，AB的中點(diǎn)，所以PO為ΔBSA的中位線，所以SA//PO，又PO一平面PCD，SA丈平面PCD，所以SA∥平面PCD；5．如圖，在四棱錐P一ABCD中，PC」平面ABCD，AB//CD，點(diǎn)E在棱PB上，PE=2EB，點(diǎn)F，H是棱PA上的三等分點(diǎn)，點(diǎn)G是棱PD的中點(diǎn).PC=CB=CD=AB=2，AC=.證明：HD//平面CFG，且EC//FG；【詳解】因?yàn)镕，G分別為PH，PD的中點(diǎn)，所以FG//HD，又FG一平面CFG，HD丈平面CFG，所以HD//平面CFG，連接HE，在‘PAB中，==2，所以HE//AB，且HE=AB且HE=CD=AB所以CD=HE，且CD//HE，所以四邊形HECD為平行四邊形，所以CE//HD，又FG//HD，所以CE//FG，6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD」AD，平面PAD」平面ABCD，PD=AD=2，E是PC的中點(diǎn)，作EF」PB交PB于F.求證：PA//平面BDE；【詳解】連接AC交BD于點(diǎn)O，連接EO，：四邊形ABCD為正方形，常O為AC中點(diǎn)，又E為PC中點(diǎn)，常OE//PA，：OE一平面BDE，PA丈平面BDE，常PA//7．在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA=PC，PB」AC.(1)證明：四邊形ABCD為菱形；(2)E為棱PB上一點(diǎn)（不與P，B重合證明：AE不可能與平面PCD平行.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【詳解】（11）證明：連接AC，BD，設(shè)ACnBD=O，因?yàn)榈酌鍭BCD為平行四邊形，則O為AC，BD的中點(diǎn).因?yàn)镻A=PC，所以AC」PO又AC」PB，PBnPO=P，PO一平面PBD，PB一平面PBD，所以AC」平面PBD，又BD一平面PBD，所以AC」BD，所以四邊形ABCD為菱形.（22）方法一反證法）假設(shè)AE∥平面PDC，因?yàn)锳B∥CD，AB丈平面PCD，CD一平面PCD，所以AB∥平面PDC，又AB平面PAB，AE平面PAB，ABnAEE，所以平面PAB∥平面PDC，這顯然與平面PAB與平面PDC有公共點(diǎn)P所矛盾.所以假設(shè)錯(cuò)誤，即AE不可能與平面PCD平行.方法二：∵P平面PAB，P平面PCD，∴平面PAB與平面PCD必相交，可設(shè)平面PAB平面PCDl，又∵AB∥CD，AB平面PCD，CD平面PCD，∴AB∥平面PCD，又∵AB平面PAB，平面PAB平面PCDl，∴AB∥l又∵AE平面PAB，且E不與B重合，∴AE必與l相交∵l面PCD，∴AE必與平面PCD相交，∴AE不可能與平面PCD平行.cos,，cos<,，點(diǎn)M為BD中點(diǎn).證明：B1M//平面A1C1D；【答案】(1)證明見詳解(2)【詳解】（1）連結(jié)B1D1，交A1C1于點(diǎn)N，連結(jié)DN，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，又點(diǎn)M為BD中點(diǎn)，則B1N=MD且B1N//MD，所以四邊形B1NDM是平行四邊形，從而B1M//ND，因?yàn)锽1M丈平面A1C1D，DN一A1C1D，所以B1M//平面A1C1D.（2）以A為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A(0,0,0),B(1,0,0)，D(0,1,0),C(1,1,0)，設(shè)點(diǎn)A1為(x,y,z)，其中z>0，------------------ 1,2-AA-A-A1|AA1.AB2|1112|(11)---(11)則A1|222設(shè)二面角B一AA1D為θ,則0<θ<π,則sinθ=1一cos2θ=，必記結(jié)論：①特殊的平行四邊形牽邊長(zhǎng)之比1:2，夾角為600，則對(duì)角線與邊垂直②特殊的直角梯形牽邊長(zhǎng)之比1:1:2,對(duì)角線與腰垂直③等腰三角形三線合一，三線與底垂直④直徑所對(duì)的圓周角為直角⑤菱形和正方形：對(duì)角線互相垂直⑥特殊的矩形：邊長(zhǎng)之比1:2或1：有明顯的直角關(guān)系要證線面垂直，只需讓線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線即可如：要證AC」平面BDE；第一步：表示AC,表示（BDDEBE）中的兩個(gè)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA」平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，求證：BD」平面PAC.證明：第一步：已知直線垂直于平面中某一直線（利用結(jié)論直接出答案）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC⊥BD.第二步：求算平面中某一直線垂直于已知直線又因?yàn)镻A⊥平面ABCD.所以PA⊥BD.又因?yàn)镻AnAC=A所以BD⊥平面PAC.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1」平面ABC，AB」BCAA1=AB=BC=2.求證：BC1」平面A1B1C；證明：第一步：已知直線垂直于平面中某一直線（利用結(jié)論直接出答案）第二步：求算平面中某一直線垂直于已知直線在三棱柱ABC-A1B1C1中，由BB1」平面ABC，所以BB1」平面A1B1C1，因?yàn)锽C1又A1B1nB1C=B1，所以BC1」平面A分別是AB，A1C的中點(diǎn).求證：MN」平面A1B1C.證明：第一步：已知直線垂直于平面中某一直線（利用結(jié)論直接出答案）：三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱與底面垂直，：四邊形BCC1B1是正方形BC1」B1CMN」B1C.第二步：求算平面中某一直線垂直于已知直線M=CM，又N是A1C的中點(diǎn)MN」A1C.：B1C與A1C相交于點(diǎn)CMN」平面A1B1C.1．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，E是C1D1上的點(diǎn),，且C1E,AA1,AB的長(zhǎng)成等比數(shù)列，又M是BB1所在的直線l上的動(dòng)點(diǎn).(1)求證：AB1平面BCE【詳解】如圖，連接C1D交CE于點(diǎn)F，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，有BC面CDD1C1，因?yàn)镈C1面CDD1C1，所以BCDC1，又因?yàn)镃1E,AA1,AB的長(zhǎng)成等比數(shù)列，所以C1E,CC1,CD的長(zhǎng)成等比數(shù)列，即 11 CD，從而C1ECDC1C，所以C1EFEC1F90。，從而ECDC1，又因?yàn)锽CDC1，BCECC,BC,EC平面BCE，所以DC1平面BCE，因?yàn)锽1C1平行且等于BC，BC平行且等于AD，所以B1C1平行且等于AD，即四邊形B1C1DA是平行四邊形，所以DC1//AB1，又因?yàn)镈C1平面BCE，所以AB1平面BCE.2．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC平面AA1C1C，D是AA1的中點(diǎn)，ΔACD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.證明：C1DBD.【詳解】因?yàn)棣CD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以ADC160。，DA1C1120。，因?yàn)镈為AA1中點(diǎn)，所以ADDA1A1C1，所以ΔA1C1D為所以A1DC130。，所以CDC190。，所以CDC1D，又因?yàn)锽C平面AA1C1C，C1D平面AA1C1C，所以BCC1D，又BCCDC，BC平面BCD，CD平面BCD，所以C1D平面BCD，因?yàn)锽D平面BCD，所以C1DBD；3．如圖，在三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中，平面ABB1A1平面ABCBBAB證明：AC平面ABB1A1；2,BAC π .2【詳解】由于平面ABB1A1平面AB1C,且交線為AB1,又BB1AB1,BB1平面ABB1A1，所以BB1平面AB1C,AC一平面AB1C,故BB1」AC，又AB」AC,AB（BB1=B,AB,BB1一平面ABB1A1,故AC」平面ABB1A14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC」平面ABCD，ABCD，點(diǎn)E在棱PB上，PE=2EB，(1)證明：HD∥平面CFG，且C，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面；(2)證明：平面PAB」平面PBC；【詳解】（1）因?yàn)镕，G分別為PH,PD的中點(diǎn)，所以FG∥HD，又FG一平面CFG，HD丈平面CFG，所以HD//平面CFG.所以HE∥AB，且HE=AB，CD=AB所以CD=HE，且CD∥HE，所以四邊形HECD為平行四邊形．所以CE∥HD，又FG∥HD，所以CE∥FG，故C，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面.所以AB2+BC2=AC2，故BC」AB.又PC」平面ABCD，AB一平面ABCD，所以PC」AB，又BCnPC=C,BC,PC一平面PBC，故AB」平面PBC，又AB一平面PAB，所以平面PAB」平面PBC.5．如圖，在四棱錐P一ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD」側(cè)面PAB，F(xiàn)為BD中點(diǎn)，E是PA上的點(diǎn)，PA=PD=2，PA」PD.求證：平面PAD」平面ABCD；【詳解】：平面PAD」平面PAB，平面PAD（平面PAB=PA，PA」PD，PD一平面PAD，:PD」平面PAB，又AB一平面PAB，:PD」AB；：四邊形ABCD為正方形，:AB」AD，：PDnAD=D，PD,AD一平面PAD，:AB」平面PAD，：AB平面ABCD，:平面PAD」平面ABCD. 2π 2π平面BCDE,F為BC中點(diǎn).,平面ABC」證明：平面AEC平面AFD； 2π【詳解】證明：根據(jù)題意可得F為BC中點(diǎn)，所以FC1,CD2,BCD 2π易知BE1,BC2,BE∥CD,EBC，所以△EBC△FCD，可得ECBFDC，易知DFCFDC90。，所以DFCECB90。，即DFEC；由ABBCAC，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，可得AFBC，又平面ABC平面BCDE，平面ABC平面BCDEBC，AF平面ABC，所以AF平面BCDE，又EC平面BCDE，所以AFEC；又AFDFF，AF,DF平面ADF，所以EC平面ADF，又EC平面AEC，因此平面AEC平面AFD；7．如圖幾何體中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，AE平面ABC，若AE//CD//BF，求證：平面DEF平面AEFB；【詳解】證明：設(shè)M,N分別為EF，AB邊的中點(diǎn)，連接MN,DM,CN，因?yàn)锳E平面ABC，且AE//CD//BF，AE5，CD4，BF3，所以MNCD4，且MN//CD，即四邊形CNMD為平行四邊形，可得MD//CN，在底面正三角形ABC中，N為AB邊的中點(diǎn)，則CNAB，又因?yàn)锳E平面ABC，且CN平面ABC，所以AECN，由于AEABA，且AE,AB平面ABFE，所以CN平面ABFE，因?yàn)镸D//CN，且CN平面ABFE，則MD平面ABFE，又MD平面DEF，則平面DEF平面AEFB.8．如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面為矩形，ABAD，高為h，O，E分別為底面的中心和CD的中點(diǎn).求證：平面A1OE平面CDD1C1；【詳解】連接AC、D1E，∵O，E分別為AC的中點(diǎn)和CD的中點(diǎn)，∴OE∥AD，，A1D1D1D，且D1DnD1C1D1，D1D、D1C1平面CDD1C1，ADD----D點(diǎn)面距離問題PP1PP2-(PP1.a(PP1.a)aa2PP.PP.11nnPP.PP.11nn1PP.1-n- 在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1為解：第一步：識(shí)別題干屬于哪一種距離空間點(diǎn)線距離第二步：直接利用結(jié)論中，E為A1D1的中點(diǎn)，則點(diǎn)C1到直線CE的距離1------- CC. ------所以CC1在------所以CC1在EC上的投影為-124所以點(diǎn)C1到直線EC的距離d=--------2(.)2|-|---|441-9553在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，則平面AB1C與平面A1C1D之間的距離為()解：第一步：識(shí)別題干屬于哪一種距離空間面面距離第二步：直接利用結(jié)論--------------333已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，PD」平面ABCD，且PD=1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn).（1）求點(diǎn)D到平面PEF的距離2）求直線AC到平面PEF的距離.解：第一步：識(shí)別題干屬于哪一種距離空間面面距離第二步：直接利用結(jié)論建立以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，D，D，D分別為x軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，：PD=1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，(11)(1)(1)(11)(1)(1)設(shè)平面PEF的法向量為=(x,y,z)，所以點(diǎn)D到平面PEF的距離d= 3 ，3所以點(diǎn)A到平面PEF的距離d,===.分別為線段BC，AD的中點(diǎn)，且底面ABCD為正方形.(1)求證:平面BCC?B?平面EFG(2)若EF與底面ABCD不垂直，直線ED與平面EBC所成角為45，且EBAB2，求點(diǎn)A到平面A?B?C?D?的距離.【答案】(1)證明見詳解(2)【詳解】（1）因?yàn)镋DAEAD，G為AD中點(diǎn)，所以EAED，EGAD，即EGBC，因?yàn)锳BCD是正方形，所以BCAB，因?yàn)镕,G分別是BC,AD的中點(diǎn)，所以GF//AB，所以BCGF，又EGnGFG，EG,GF平面EGF，BC平面EGF，又BC平面BCC1B1，平面BCC1B1平面EGF.（2）以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，過F作與平面ABCD垂直的直線為z軸，以FC,GF的方向?yàn)閤,y軸的正方向，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面EBC的法向量為x,y,z，設(shè)直線ED與平面EBC所成角為θ,---ED.--- 所以點(diǎn)E到平面ABCD的距離為，則點(diǎn)A到平面A1B1C1D1的距離為.2．如圖，四邊形ABCD是圓柱OE的軸截面，點(diǎn)F在底面圓O上，圓O的半徑為1，AF點(diǎn)G是線段BF的中點(diǎn).(1)證明：EG//平面DAF；(2)若直線DF與圓柱底面所成角為45。，求點(diǎn)G到平面DEF的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：取AF中點(diǎn)M，連接DM,GM，如圖所示：G為BF中點(diǎn)，則GM//AB，又AB//DE，得GM//DE，由GM=AB，DE=AB，得GM=DE，所以四邊形DEGM為平行四邊形，DM//EG，又DM一平面DAF，EG丈平面DAF，所以EG//平面DAF.因?yàn)镈A」平面ABF，且直線DF與圓柱底面所成角為45。，所以經(jīng)AFD=45。，則有AD=.如圖，以F為原點(diǎn)，F(xiàn)B,FA分別為x,y軸，過F垂直于底面的直線FN為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系F-xyz，---()---()設(shè)點(diǎn)G到平面DEF的距離為d，---n55故點(diǎn)G到平面DEF的距離.3．如圖，在直三棱柱形木料ABC-A1B1C1中，D為上底面ABC上一點(diǎn).(1)經(jīng)過點(diǎn)D在上底面ABC上畫一條直線l與B1D垂直，應(yīng)該如何畫線，請(qǐng)說明理由；=，E為A1B1的中點(diǎn)，求點(diǎn)B到平面AC1E的距離.【答案】(1)答案見解析(2).【詳解】（1）連結(jié)BD，在平面ABC上作l」BD，因?yàn)锳BC-A1B1C1為直三棱柱，所以BB1」平面ABC，因?yàn)閘一平面ABC，所以BB1」l，所以l」平面BB1D，因?yàn)锽1D一平面BB1D，所以l」B1D.=，所以B1A1，B1C1，B1B兩兩互相垂直，以B1為原點(diǎn)，分別以B1A1，B1C1，B1B所在直線為x，y，z軸建立空向直角坐標(biāo)系，設(shè)平面AC1E的一個(gè)法向量為=(x,y,z)，因?yàn)椤?，」?---3設(shè)點(diǎn)B到平面AC1E的距離為d，則d=BA.=2 ---3因此點(diǎn)B到平面AC1E的距離為.AA1=4，E是DD1的中點(diǎn).(1)證明：BD//平面AC1E；(2)求點(diǎn)B到平面AC1E的距離.【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）如圖所示，連接BD1交AC1于F點(diǎn)，連接EF，由直四棱柱的性質(zhì)可知F是BD1及AC1的中點(diǎn)，所以EF是ΔBDD1的一條中位線，即EF//BD，又EF一平面AC1E，BD丈平面AC1E，所以BD//平面AC1E；（2）如圖所示，作CM」AD，交AD延長(zhǎng)線于M，由直四棱柱的特征易知D1D」底面ADB，CM一面ADB，易知B、D1到平面AEC1的距離相等，設(shè)點(diǎn)B到平面AC1E的距離為h，=CMxhx11AD.DEhx12EF.AC1，解之得h=.5．圖，在四棱錐P一ABCD中，PA」平面ABCD，底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱PD上，(1)證明：AEPD；(2)求點(diǎn)C到平面BAE的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由PA平面ABCD，CD平面ABCD，故PACD，由底面ABCD是正方形，故CDAD，又PAADA，PA、AD平面PAD，故CD平面PAD，又AE平面PAD，故CDAE，又AECE，CECDC，CE、CD平面PCD，故AE平面PCD，又PD平面PCD，故AEPD；（2）由AEPD，ADAP，故E為PD中點(diǎn)，又PA平面ABCD，故點(diǎn)E到平面ABCD的距離為1，AEPD，由底面ABCD是正方形，故由VEABCVCABE，且VEABCBA//CD，由CDAE，故BAAE，,故VCABE2h，解得h,故點(diǎn)C到平面BAE的距離為.6．設(shè)四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)P為平面ABCD外一點(diǎn)，且PA平面ABCD，若PAAB1,BC2.(1)求PC與平面PAD所成角的正切值；(2)在BC邊上是否存在一點(diǎn)G，使得點(diǎn)D到平面PAG的距離為√2，若存在，求出BG的值，若不存在，請(qǐng)說明理由；【答案】(1)(2)存在，BG=1又AD」CD,PA（AD=A,PA,AD一平面PAD，所以CD」平面PAD，所以經(jīng)CPD即為PC與平面PAD所成角的平面角，PDPD所以PC與平面PAD所成角的正切值為連接AG,DG，作DM」AG于點(diǎn)M， 5因?yàn)镻A」平面ABCD，DM一平面ABCD，所以PA」DM，又PA（AG=A,PA,AG一平面PAG，所以DM」平面PAG，所以DM即為點(diǎn)D到平面PAG的距離，由S‘ADG=17．如圖，在四棱錐P一ABCD中，AD//BC，AD」PD，平面PAD」平面PCD.(1)證明：BC」平面PCD；【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)槠矫鍼AD」平面PCD，平面PAD（平面PCD=PD，且AD」PD，AD一平面PAD，所以AD」平面PCD，又因?yàn)锳D//BC，所以BC」平面PCD.（2）由（1）可知，AD」平面PCD，且AD一平面ABCD，所以平面ABCD」平面PCD，過P作直線CD的垂線，垂足為H，則PH」平面ABCD，因?yàn)锽C」平面PCD，PC一平面PCD，所以PC」BC，則PB2=BC2+PC2，可得PB=2，在直角梯形ABCD中，因?yàn)锳D=DC2所以S△DAB=x2x2xsin135O=2，在等腰‘PAB中，PA=AB=2,PB=2，取PB的中點(diǎn)M，連接AM，可得AM」PB，且AM=PAPA2(PB)22所以S‘PAB=PB.AM=，設(shè)點(diǎn)D到平面PAB的距離為h， ABD，可得.S‘PAB.h=.S‘DAB.PH，解得h=，所以點(diǎn)D到平面PAB的距離為.BC，A1C1的中點(diǎn).(1)求證：EF//平面ABB1(2)若底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且平面ACC1A1」平面ABC，求點(diǎn)C1到平面ABB1A1的距離.【答案】(1)證明見解析(2)6262因?yàn)辄c(diǎn)D，F(xiàn)分別為A1B1，A1C1的中點(diǎn)，所以DF//B1C1，且DFB1C1，又由三棱柱的定義，結(jié)合點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)可知：DF//BE，且DFBE，所以四邊形DFEB是平行四邊形，所以EF//BD，又EF平面ABB1A1，BD平面ABB1A1，所以EF//平面ABB1A1；因?yàn)镃AA160，ACCC1AA1，所以△ACA1是正三角形，又點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)，所以A1GAC，由平面ACC1A1平面ABC，有平面ACC1A1n平面ABCAC，因?yàn)锳1G平面ACC1A1，所以A1G平面ABC，又BG平面ABC，所以A1GBG，所以A1G是三棱錐A1ABC的高，又因?yàn)镃C1//平面ABB1A1，點(diǎn)C1到平面ABB1A1的距離即為點(diǎn)C到平面ABA1的距離，11AG2BG2ABAABABABAB22,a.a.a.ba.b①能建空間直角坐標(biāo)系時(shí)，寫出相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用結(jié)論求解b②不能建空間直角坐標(biāo)系時(shí)，取基底的思想，在由公式cos,=b關(guān)鍵是求出.及與求出dl結(jié)論：sincdl{d牽點(diǎn)面距離（d往往用等體積法計(jì)算l牽線自身長(zhǎng)度}如圖，在四棱錐P一ABCD中，四邊形ABCD是菱形求直線PA與平面PBD所成角的大??；解：第一步：先去掉相同的字母且明確求哪個(gè)點(diǎn)到哪個(gè)面的距離直線PA與平面PBD，去掉相同的P,只需求A到平面PBD的距離即dA一PBD第二步：利用等體積法求距離VAPBDΔPBD.dAPBD=VPABD=SΔABD.dPABD 12SΔPBD=2ax 12第三步：利用結(jié)論求出答案ΔABD 0四棱錐PABCD中，PA」平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，經(jīng)ADC=60。，PA=AD=2，E為AD的中點(diǎn).求PC與平面PAD所成的角的正切值；解：第一步：先去掉相同的字母且明確求哪個(gè)點(diǎn)到哪個(gè)面的距離直線PC與平面PAD，去掉相同的P,只需求C到平面PAD的距離即dC一PAD第二步：利用等體積法求距離VΔCAD.dPCADSΔPADΔCAD第三步：利用結(jié)論求出答案N是AC的中點(diǎn).回求直線A1B與平面BCC1B1所成的角的大小.解：第一步：先去掉相同的字母且明確求哪個(gè)點(diǎn)到哪個(gè)面的距離直線A1B與平面BCC1B1，去掉相同的B,只需求A1到平面BCC1B1的距離即dA1一BCC1第二步：利用等體積法求距離第三步：利用結(jié)論求出答案0正弦值為.第一步：建系出現(xiàn)坐標(biāo)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D一xyz，所以=(0,2,0)，設(shè)平面A1BC1的一個(gè)法向第二步：利用結(jié)論設(shè)D1C1與平面A1BC1所成角為θ,故直線D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為11．如圖，在幾何體ABCDEF中，ADEF為等腰梯形，ABCD為矩形，AD//EF，AB=1，(1)證明：BF」CF；(2)求直線AF與平面CEF所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)F作AD的垂線，垂足為M，連接MB,MC，：平面ADEF」平面ABCD，平面ADEFn平面ABCD=AD，F(xiàn)M一平面ADEF，F(xiàn)M」AD:FM」平面ABCD，：MB，MC平面ABCD，:FM」MB，F(xiàn)M」MC，:BF2+CF2=BC2，:BF」CF.（2）解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)一xyz,設(shè)直線AF與平面CEF所成角為θ,:θe0,，:θ=即直線AF與平面CEF所成角的余弦值為332的中點(diǎn)，N為C1E上一點(diǎn).(1)證明：BN//平面A1DC；(2)若AB=AC,=3，求直線DN與平面A1DC所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接BE,BC1,DE.又D,E分別是棱AB,A1B1的中點(diǎn)，所以BD//A1E，且BD=A1E，所以四邊形BDA1E為平行四邊形，所以A1D//EB，又A1D平面A1DC,EB平面A1DC，所以EB//平面A1DC，因?yàn)镈E//BB1//CC1，且DE=BB1=CC1，所以四邊形DCC1E為平行四邊形，所以C1E//CD，又CD平面A1DC,C1E平面A1DC，所以C1E//平面A1DC，因?yàn)镃1EEB=E,C1E,EB平面BEC1，所以平面BEC1//平面A1DC，因?yàn)锽N平面BEC1，所以BN//平面A1DC.（2）四邊形ACC1A1,BCC1B1均為正方形，所以CC1LAC,CC1LBC.所以CC1L平面ABC.因?yàn)镈E//CC1，所以DEL平面ABC.從而DELDB,DELDC.所以‘ABC為等邊三角形.因?yàn)镈是棱AB的中點(diǎn)，所以CDLDB.即DB,DC,DE兩兩垂直.以D為原點(diǎn)，DB,DC,DE所在直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.,A-3,0,，4242.設(shè)=(x,y,z)為平面A1DC的法向量，設(shè)直線DN與平面A1DC所成角為θ,即直線DN與平面A1DC所成角正弦值為平面ABCD，QA=QD，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn).(1)證明：QM」BD.7(2)點(diǎn)N是CQ的中點(diǎn)，AD=AB=2CD=2，當(dāng)直線MN與平面QBC所成角的正弦值為7時(shí)，求四棱錐Q一ABCD的體積. 【答案】(1)證明見解析(2)或【詳解】（1）：M是AD中點(diǎn)，QA=QD，:QM」AD，：平面QAD」平面ABCD，平面QAD（平面ABCD=AD，QM一平面QAD，:QM」平面ABCD，又BD一平面ABCD，:QM」BD.（2）方法一：取BC中點(diǎn)F，連接MF,QF，作MG」QF，垂足為G，連接NG,MC，423423：M,F分別為AD,BC中點(diǎn)，AB//CDMF//AB，又BC」ABMF」BC；由（1）知：QM」平面ABCD，BC一平面ABCDQM」BC；：QM,MF一平面QMF，QMnMF=MBC」平面QMF，又MG」QF，QFnBC=F，QF,BC一平面QBCMG」平面QBC，7：直線MN與平面QBC所成角為經(jīng)MNGsin經(jīng)MNG=7,，BC=22(1)222(1)2222+3,ABCD44綜上所述：四棱錐Q一ABCD的體積為或.方法二：取BC中點(diǎn)F，連接MF，：M,F分別為AD,BC中點(diǎn)，AB//CDMF//AB，又BC」ABMF」BC；由（1）知：QM」平面ABCD，以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，,正方向?yàn)閤,y軸正方向，過F作z軸//QM，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，BC=22(1)2設(shè)平面QBC的法向量=(x,y,z)，)；:cosMN,MN.MN.24 7，解得：7，解得：a=或a=3,2ABCD=xAB+CD).BC.QM=QM， 當(dāng)QM時(shí)，VQABCD；當(dāng)QM時(shí)，VQABCD.綜上所述：四棱錐QABCD的體積為或.4．如圖，四邊形ABCD是圓柱OE的軸截面，點(diǎn)F在底面圓O上，圓O的半徑為1，AF，點(diǎn)G是線段BF的中點(diǎn).(1)證明：EG//平面DAF；(2)若直線DF與圓柱底面所成角為45，求點(diǎn)G到平面DEF的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：取AF中點(diǎn)M，連接DM,GM，如圖所示：G為BF中點(diǎn)，則GM//AB，又AB//DE，得GM//DE，由GMAB，DEAB，得GMDE，所以四邊形DEGM為平行四邊形，DM//EG，又DM平面DAF，EG平面DAF，所以EG//平面DAF.（2）因?yàn)镺B1，AF，AFB90。，所以BF1.因?yàn)镈A」平面ABF，且直線DF與圓柱底面所成角為45。，所以經(jīng)AFD=45。，則有AD=.如圖，以F為原點(diǎn)，F(xiàn)B,FA分別為x,y軸，過F垂直于底面的直線FN為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系F一xyz，()()設(shè)點(diǎn)G到平面DEF的距離為d，n55故點(diǎn)G到平面DEF的距離.5．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1在底面ABC上的射影為線段BC的中點(diǎn)，M為線段(1)求三棱錐M一A1BC的體積；(2)求MC與平面MA1B所成角的正弦值.【答案】(1)(2)因?yàn)锳1在底面ABC上的射影為O，所以O(shè)A1」面ABC，在三棱柱ABC-A1B1C1中，面ABC//面A1B1C1，在ΔA1B1C1中，M為線段B1C1的中點(diǎn)，B1C1」MA1，因?yàn)锽C//B1C1，所以BC」MA1，O， 2727（2）設(shè)C到平面MA1B的距離為d，則在Rt‘MA1B中，MA1=112所以d=3C=設(shè)MC與平面MA1B所成角為θ,則sinθ=dd MC6，所以MC與平面MA1B所成角的正弦值為.6．如圖，已知三棱錐P一ABC,PB」平面PAC,PA」PC,PA=PB=PC，點(diǎn)O是點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影，點(diǎn)Q在棱PA上，且滿足AQ=3PQ.(1)求證：BC」OQ；(2)求OQ與平面BCQ所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）連結(jié)PO，：PB」平面PAC,PA,PC一平面PAC:PB」PA,PB」PC，又：PA」PC:PA、PB、PC兩兩垂直，以P為原點(diǎn)，PA為x軸，PC為y軸，PB為z軸建立空間直角坐標(biāo)系P一xyz，如下圖所示：:QO.BC=0:設(shè)平面BCQ的一個(gè)法向量為=(x,y,z)，442+12+1213431343設(shè)OQ與平面BCQ所成角為θ,..則sinθ=則---cosQO,---QO.---QOn4=x3242 33.故直線OQ與平面BCQ所成角的正弦值為.(1)求證：平面ABB1A1」平面BCC1B1；(2)求AC與平面BCC1B1所成角正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)sinθ= 12,AB平面ABB1A1，所以BC」平面ABB1A1，因?yàn)锽C一平面ABC1B1，所以平面ABB1A1」平面BCC1B1.（2）將棱臺(tái)補(bǔ)全為如下棱錐DB1」平面ABC，AB,AC,BC平面ABC，則AA1」AB，AA1」AC，AA1」BC，設(shè)A到平面BCC1B1的距離為h，又VD-ABC=VA-BCD，設(shè)AC與平面BCC1B1所成角為θ,θe0,，則sinθ==.8．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為平行四邊形，且BD=CD=1,BD」CD.DE」平面ABCD，且DE=BF=,DEBF.點(diǎn)H,G分別為線段DC,EF上的動(dòng)點(diǎn)，滿足DH=EG=λ(0<λ<2).(1)證明：直線GH平面B