應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章回歸分析CH4回歸分析目錄contents2024/4/191一元線性回歸2多元線性回歸3非線性回歸1前言2024/4/19十九世紀(jì)，英國(guó)生物學(xué)家兼統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓研究父親身高與成年兒子的身高發(fā)現(xiàn)：子代的平均高度有向中心回歸的意思，使得一段時(shí)間內(nèi)人的身高相對(duì)穩(wěn)定。之后回歸分析的思想滲透到了各個(gè)領(lǐng)域中。背景英國(guó)科學(xué)家弗朗西斯·高爾頓爵士（SirFrancisGalton）在研究父代與子代的平均身高的因果關(guān)系時(shí)，首次提出了“回歸（Regression）”一詞。然而，隨著時(shí)間的推移，回歸分析稱為被人們用來(lái)表示變量間關(guān)系的統(tǒng)計(jì)模型。2024/4/19線性回歸非線性回歸回歸分析多元回歸一元回歸引例2024/4/19【問題導(dǎo)向】雨課堂課前發(fā)布問題，課前發(fā)布閱讀文章《建筑鋼結(jié)構(gòu)進(jìn)展》2023年第25卷第4期（北大核心、CSCD）“偏心鋼梁-鋼管混凝土柱內(nèi)加強(qiáng)環(huán)式節(jié)點(diǎn)受力性能分析”引例2024/4/19【問題導(dǎo)向】雨課堂課前發(fā)布問題，課前發(fā)布閱讀文章《建筑鋼結(jié)構(gòu)進(jìn)展》2023年第25卷第4期（北大核心、CSCD）“偏心鋼梁-鋼管混凝土柱內(nèi)加強(qiáng)環(huán)式節(jié)點(diǎn)受力性能分析”2確定性關(guān)系與非確定性關(guān)系2024/4/19

3回歸分析簡(jiǎn)介2024/4/19研究隨機(jī)變量與一個(gè)或多個(gè)可控變量之間相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)方法稱回歸分析.

通過(guò)試驗(yàn)和觀測(cè)去尋找隱藏在變量間相關(guān)關(guān)系是回歸分析的主要任務(wù).回歸分析一元回歸分析(一個(gè)可控變量)多元回歸分析(多個(gè)可控變量)相關(guān)關(guān)系中，自變量稱為可控變量，因變量稱為不可控變量4回歸分析簡(jiǎn)介2024/4/19

（2）判別所建立的數(shù)學(xué)模型是否有效（假設(shè)檢驗(yàn)）.（3）利用所見數(shù)學(xué)關(guān)系進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制(應(yīng)用).引例1：一元回歸2024/4/19例1一種用于食品包裝的可降解材料的制備過(guò)程中要受到其導(dǎo)熱性（W/mK）的影響，而導(dǎo)熱性與其密度（g/cm2）具有一定的關(guān)系，通過(guò)試驗(yàn)測(cè)得數(shù)據(jù)如表1所示。導(dǎo)熱性

0.04800.05250.05400.05350.05700.0610密度

0.17500.22000.22500.22600.25000.2765表1

導(dǎo)熱性與密度數(shù)據(jù)根據(jù)數(shù)據(jù)可得到散點(diǎn)圖如圖1所示。

圖4.1.1

導(dǎo)熱性與密度散點(diǎn)圖PART

1一元線性回歸一元線性回歸簡(jiǎn)介2024/4/191.定義

稱為一元（正態(tài)）線性回歸模型

一元線性回歸的數(shù)學(xué)模型介紹2024/4/19

圖2

直線關(guān)系示意圖

最小二乘法介紹2024/4/19

圖4

散點(diǎn)圖與擬合直線示意圖

最小二乘法介紹2024/4/19

最小二乘法介紹2024/4/19

最小二乘法介紹2024/4/19并根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算得到預(yù)測(cè)值及殘差，如表2所示。變量數(shù)值0.17500.04800.04740.00060.22000.05250.0532-0.00070.22500.05400.05390.00010.22600.05350.0540-0.00050.25000.05700.0571-0.00010.27650.06100.06050.0005合計(jì)1.370.3260.32602024/4/19

作答主觀題10分?jǐn)M合優(yōu)度2024/4/19

標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計(jì)2024/4/19

標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計(jì)2024/4/19

顯著性檢驗(yàn)2024/4/19

顯著性檢驗(yàn)2024/4/19

顯著性檢驗(yàn)2024/4/19

數(shù)學(xué)家許寶騄2024/4/19【視頻推薦】視頻：許寶騄一個(gè)把生命托付給數(shù)學(xué)王國(guó)的數(shù)學(xué)家/video/BV1N5411o7ce/PART

2多元線性回歸引例2：多元回歸2024/4/19

78.572666074.31291552104.3115682087.5113184895.6752633109.61155922102.735417672.5170224893.12321824115.9215242683.91482434113.31140912109.410668122.1模型

多元線性回歸模型2.1模型例2．某省年消費(fèi)基金、國(guó)民收入使用額和平均人口數(shù)資料如下表，試配合適當(dāng)?shù)幕貧w模型并進(jìn)行各種檢驗(yàn)。若該省某年國(guó)民收入使用額為670億元，平均人口數(shù)為5800萬(wàn)人，當(dāng)顯著性水平為5%時(shí)，試估計(jì)該年的消費(fèi)基金為多少。

多元線性回歸2.2MATLAB實(shí)現(xiàn)線性回歸（1）多元線性回歸regress（）【命令】[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,

alpha)【解釋】b為回歸系數(shù)的估計(jì)值（第一個(gè)為常數(shù)項(xiàng)）bint為回歸系數(shù)的區(qū)間估計(jì)r為殘差，rint殘差的置信區(qū)間stats用于檢驗(yàn)回歸模型的統(tǒng)計(jì)量，有四個(gè)值：相關(guān)系數(shù)r2，F(xiàn)值，F(xiàn)對(duì)應(yīng)的概率p，殘差的方差前兩個(gè)越大越好，后兩個(gè)越小越好alpha為顯著性水平(默認(rèn)值0.05，即執(zhí)行水平為95%)2.2MATLAB實(shí)現(xiàn)線性回歸

yx_1x_2x_3x_478.572666074.31291552104.3115682087.5113184895.6752633109.61155922102.735417672.5170224893.12321824115.9215242683.91482434113.31140912109.410668122.2MATLAB實(shí)現(xiàn)線性回歸

2.2MATLAB實(shí)現(xiàn)線性回歸

2.2MATLAB實(shí)現(xiàn)線性回歸PART

3非線性回歸3.1可線性化的非線性回歸模型3.2非線性回歸自變量與因變量之間存在非線性關(guān)系，如：在Matlab中使用函數(shù)：nlinfit(x',y',v,b0)x和y分別為自變量和因變量v為回歸表達(dá)式b0為回歸系數(shù)的初值3.2非線性回歸使用次數(shù)增大容積16.4228.239.5849.559.769.771089.9399.991010.491110.591210.061310.81410.61510.91610.76例3.2.1一種容器隨著使用次數(shù)x變化，其容積y會(huì)發(fā)生變化，且滿足，數(shù)據(jù)見表。試問使用次數(shù)為17,18,19,20時(shí)，增大容積的數(shù)值分別為多少？

PART

3關(guān)鍵問題——誤差分析3誤差分析2024/4/19絕對(duì)誤差：相對(duì)誤差：最大誤差：平均相對(duì)誤差：

平均誤差：均方跟誤差：推薦閱讀2024/4/19【推薦閱讀】科研論文：《航空發(fā)動(dòng)機(jī)》2023第49第1期PART

4利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制引例（工程數(shù)據(jù)分析案例）2024/4/19

利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制2024/4/19

利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制2024/4/19

利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制2024/4/19clcclearally=[33.0,31.0,34.9,36.5,36.1,39.0,30.1,31.2,35.7,31.9,37.3,33.8,37.7];x=[3.1,4.5,3.4,2.5,2.2,1.2,5.3,4.8,2.4,3.5,1.3,3.0,1.8];n=length(x);X=[ones(n,1)x'];[B,BINT,R,RINT,STATS]=regress(y',X)figurercoplot(R,RINT)set(gca,'linewidth',0.75,'fontsize',20);mdl=fitlm(x,y)x0=3.2;y0hat=B(1)+xi*B(2)利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制2024/4/19例2

利用表1的數(shù)據(jù)計(jì)算當(dāng)耐壓強(qiáng)度為3.2時(shí)各種混凝土混合料和輔料的內(nèi)部平均滲透性的置信度為95%的置信區(qū)間。

推薦閱讀2024/4/19【推薦閱讀】科研論文謝謝!應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第5章方差分析前言在實(shí)際工作中經(jīng)常碰到多個(gè)正態(tài)總體均值的比較問題，處理這類問題通常采用的方法就是Fisher于20世紀(jì)20年代創(chuàng)立的方差分析(analysisofvariance)方法，該方法通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析，建立數(shù)學(xué)模型，是鑒別各因素效應(yīng)的一種有效方法。PART

1單因素方差分析5.1.1問題的提出例5.1.1設(shè)有三臺(tái)機(jī)器，用來(lái)生產(chǎn)規(guī)格相同的鋁合金薄板。取樣，測(cè)量薄板的厚度精確至千分之一厘米。結(jié)果如下表所示。考察各臺(tái)機(jī)器所生產(chǎn)的薄板的厚度有無(wú)顯著的差異。5.1.2方差分析的數(shù)學(xué)模型5.1.2方差分析的數(shù)學(xué)模型2.模型5.1.3

假設(shè)檢驗(yàn)的拒絕域方差分析表5.1.4

方差分析的軟件實(shí)現(xiàn)1.相關(guān)概念單因素方差分析是比較兩組或多組數(shù)據(jù)的均值（同方差），返回原假設(shè)均值相等的概率。【命令】[p,table]=anova1(X)注：（1）數(shù)據(jù)按照列輸入（每個(gè)水平下的數(shù)據(jù)為一列，各列數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)可以不同）（2）P值越小各水平的差異越顯著5.1.4

方差分析的軟件實(shí)現(xiàn)2.【說(shuō)明】anova1函數(shù)產(chǎn)生兩副圖：①

方差分析表；②盒圖方差分析表中有6列：第1列（Source）顯示：X中數(shù)據(jù)的可變性來(lái)源；第2列（SS）每一列的平方和；第3列（df）顯示：與每一種可變性來(lái)源有關(guān)的自由度；第4列（MS）顯示：比值SS/df；第5列（F）顯示：F統(tǒng)計(jì)量數(shù)值，是MS的比率；第6列（p值）顯示：從累積分布中得到的概率，當(dāng)F值增大時(shí)，p值減小。5.1.4

方差分析的軟件實(shí)現(xiàn)例5.4.2設(shè)在例5.1.1中符合方差分析模型的條件.5.1.4

方差分析的軟件實(shí)現(xiàn)

5.1.4

方差分析的軟件實(shí)現(xiàn)得方差分析表如下：5.1.4

方差分析的軟件實(shí)現(xiàn)

5.1.4

方差分析的軟件實(shí)現(xiàn)例5.4.2(實(shí)現(xiàn))X=[0.2360.2570.2580.2380.253 0.2640.2480.255 0.2590.2450.254 0.2670.2430.261 0.262];>>[p,table_1,stats]=anova1(X)運(yùn)行結(jié)果：p=1.3431e-05例5.4.25.1.4

方差分析的軟件實(shí)現(xiàn)某種型號(hào)化油器的原喉管結(jié)構(gòu)油耗較大，為節(jié)約能源，設(shè)想了兩種改進(jìn)方案以降低油耗指標(biāo)—比油耗?，F(xiàn)對(duì)用各種結(jié)構(gòu)的喉管制造的化油器分別測(cè)得如下表所示：

5.1.4

方差分析的軟件實(shí)現(xiàn)

5.1.4

方差分析的軟件實(shí)現(xiàn)5.1.4

方差分析的軟件實(shí)現(xiàn)得方差分析表如下：

5.1.4

方差分析的軟件實(shí)現(xiàn)例5.4.2