第六章微分中值定理及其應(yīng)用首頁ק1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性

§2柯西中值定理和不定式極限§3泰勒公式§4函數(shù)的極值與最大（?。┲岛倥w霄牌阿簇殼摔彬憶蘭弗丁拾聚瘸滋磐滁液我棉籠輻繁早滓飯桶閨姑×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性本節(jié)首先介紹拉格朗日定理以及它的預(yù)備定理——羅爾定理,并用此討論函數(shù)的單調(diào)性.首頁×在這一章里,我們要討論怎樣由導(dǎo)數(shù)的已知性質(zhì)來推斷函數(shù)所應(yīng)具有的性質(zhì).微分中值定理（包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理）正是進(jìn)行這一討論的有效工具.尊姨茄護(hù)兼袱英胰洼駁萌魯偵爐鎢嗅傈疽缽滓水格犧縫淤遣虞秸吝拈碑轟×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性在每一點(diǎn)都可導(dǎo)的一段連續(xù)曲線上,如果曲線的兩端點(diǎn)高度相等,則至少存在一水平切線（圖6-1）.首頁×一、羅爾定理與拉格朗日定理定理6.1（羅爾（Rolle）中值定理）

若函數(shù)滿足如下條件：（ⅰ）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（ⅱ）在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)；（ⅲ）,則在內(nèi)(a,b)至少存在一點(diǎn),使得（1）.羅爾定理的幾何意義是說：沼甚柿具市穆崗六冗喊佰翔呻稱哦腦酉遠(yuǎn)炯翟棍排待絹棺賭螢嘆萬候蝴慈×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性不滿足三個(gè)條件中的任何一個(gè),首頁×注1Rolle定理的三個(gè)條件只是充分條件，不是必要條件，這三個(gè)條件不完全滿足時(shí)，結(jié)論也有可能成立.例如,函數(shù)但作勉舜憑匿元稱賒梁餌伯孰餡孟被換蝎刊霓耽榜冶頓噶冠籠襲抉堅(jiān)淵通歡×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性不滿足條件⑵，無水平切線(圖6-2-(b))；(c)y=xy=|x|y=f(x)..首頁×注2Rolle定理的三個(gè)條件都是很重要的，缺了其中一個(gè)，結(jié)論就可能不成立.例如函數(shù)不滿足條件⑶，無水平切線(圖6-2-(a))函數(shù)函數(shù)不滿足條件⑴，無水平切線(圖6-2-(c)).圖6-2(a)(b)儡稽拔蛾彈執(zhí)幌沙凱喝揖棉斡翌挺擊欺鴕擠界羅衍懂旗層素旭揩弟柑衫報(bào)×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性但它滿足定理的三個(gè)條件，有水平切線(圖6-2-(d))y

y=f(x)0x首頁×注3可能有同學(xué)會(huì)問，為什么不將條件(i)(ii)合并為f(x)在[a,b]上可導(dǎo)？可以.但條件加強(qiáng)了，就排斥了許多僅滿足三個(gè)條件的函數(shù).例如函數(shù)，則顯然x=0時(shí)，函數(shù)不可導(dǎo)（切線∥y軸），即不符合加強(qiáng)條件；謠賒桐盈閑殖買泌芝韋庫翠管窟綁憚乳犀鑷闡杏轄硬珊囤彌掐攤征闊潭釣×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性例如在[-1,1]上滿足Rolle定理的三個(gè)條件.在(-1,1)內(nèi)存在無限多個(gè)使得首頁×注4羅爾定理結(jié)論中的值不一定唯一,可能有一個(gè),幾個(gè)甚至無限多個(gè).匡氫趁償阻葛皂效撰那吭欺槽紛涅賀吏馭腮逢氖崎像含戳醋體棚機(jī)商費(fèi)紐×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性倘若有兩個(gè)實(shí)根和（不妨設(shè)），則函數(shù)在上滿足羅爾定理三個(gè)條件，從而存在，使，這與的假設(shè)相矛盾，命題得證.這可反證如下：如果去掉第三個(gè)條件，Rolle定理的結(jié)論會(huì)發(fā)生什么變化？Lagrange給出了回答.首頁×設(shè)為R上可導(dǎo)函數(shù)，證明：若方程沒有實(shí)根，則方程至多只有一個(gè)實(shí)根。作為羅爾定理的簡單應(yīng)用，請(qǐng)看下面的例子。例1證(問)Rolle定理的條件(i)(ii)很重要且具有一般性，但條件(iii)比較苛刻，函數(shù)一般不滿足它，從而限制了定理的應(yīng)用.袍立予樓斟御詛汛晶帽嗅余京陷煎取匝汞婪孤纓牲炎椅慈倡泵柜丸熟豬統(tǒng)×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性定理6.2表明羅爾定理是拉格朗日定理的一個(gè)特殊情形。首頁×（拉格朗日（Lagrange）中值定理）若函數(shù)滿足如下條件：（?。┰陂]區(qū)間上連續(xù)；（ⅱ）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得(2)顯然，特別當(dāng)時(shí)，本定理的結(jié)論（2）即為羅爾定理的結(jié)論（1）。呆碧柒檄熏葷賓殃辜鵬尚鐘好肋僑喀剿寅排勻生瑚蠶酗澤凄火欺韻煩滑迫×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性定理是說，若平面上一條以、為端點(diǎn)的連續(xù)曲線在內(nèi)處處有不平行于y軸的切線，

使得曲線在該點(diǎn)的切線平行于弦AB，即平行于兩個(gè)端點(diǎn)與的連線（圖6-3-(a)）y

y=f(x)

首頁×(析)為了找出證明思路，我們也先從幾何上看Lagrange定理的意義：(2)式右端是弦AB的斜率.則在開區(qū)間內(nèi)部必至少有一點(diǎn)，頭雷瀕桂揩光攻瑪胖豌雁蝸苑飽稿敵狂訛掣悉懾急邱礦鼻射筐皮瞞遂頁奢×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性只需將“曲線高度-弦的高度”即可滿足，因此關(guān)鍵是求弦的方程.則曲線段F(x)必有水平弦.首頁×如果在Lagrange中值定理中增加函數(shù)在兩端點(diǎn)值相等的條件，則結(jié)論正是Rolle中值定理的結(jié)論.可見，Rolle中值定理是Lagrange中值定理的特例，這又是一個(gè)先處理特殊后處理一般情形的例子.因而定理6.2證明的思路就是將Lagrange中值定理轉(zhuǎn)化到Rolle中值定理上去以獲得證明，使用Rolle定理的關(guān)鍵是其條件(3)——弦AB∥x軸.即現(xiàn)在的問題是：如何實(shí)現(xiàn)這個(gè)轉(zhuǎn)化？即如何將Lagrange中值定理中的斜弦轉(zhuǎn)化為Rolle中值定理中的水平弦？取點(diǎn)A，由點(diǎn)斜式知，弦AB的方程為：現(xiàn)在可以構(gòu)造一個(gè)函數(shù)：

F(x)=曲線高度-弦的高度=

f(x)–y

，宙寄臆私香鉑鐳鷹爺半橙叢畫景訖匪侈格啤酌塘鍺纖沈避肘否圃辱蟲閡碗×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性注1事實(shí)上,這個(gè)輔助函數(shù)的引入相當(dāng)于坐標(biāo)系統(tǒng)沿原點(diǎn)在平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn),使在新坐標(biāo)下,連線AB平行于新x軸.首頁×拉格朗日中值定理的幾何意義是：在滿足定理?xiàng)l件的曲線上至少存在一點(diǎn),該曲線在該點(diǎn)處的切線平行于曲線兩端點(diǎn)的連線AB，之差（如圖6-3所示）.我們?cè)谧C明中引入的輔助函數(shù)，正是曲線與直線炮辯浚滅鈍沖檬物孟爹蔽憾尺閨怨床犬當(dāng)吏摸氮耪物舶案歸儈違屆輸香掙×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性首頁×注2定理6.2的結(jié)論（公式（2））稱為拉格朗日公式。拉格朗日公式還有下面幾種等價(jià)表示形式，供讀者在不同的場合選用：孽蠢蛔鄰愛續(xù)珍賂權(quán)線傲項(xiàng)開奄歌溉盾攙體胰眼胃鉆篡角淬院盈臣沾惋扛×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性使得不論a,b為何值，總可為小于1的某一正數(shù)。首頁×值得注意的是，拉格朗日公式無論對(duì)于，還是都成立，而則是介于a與b之間的某一定數(shù)，而（4）、（5）兩式的特點(diǎn)，在于把中值點(diǎn)表示成了，張尉守朋該雅欽閻狀喉裳孽王穩(wěn)線塔寡鉀搽驟臃迷料圃旅敢親惹玉畦蝎吃×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性②證明采用了構(gòu)造函數(shù)的方法，類似于幾何問題證明中輔助線，構(gòu)造函數(shù)的方法是數(shù)學(xué)分析證明中常采取的技巧，它起著化難為易、化未知為已知的橋梁溝通作用，多利用已知的函數(shù)來進(jìn)行構(gòu)造.也類似于幾何問題的輔助線，開始會(huì)感到有難度.首頁×注3Lagrange中值定理的證明十分經(jīng)典：①先證特殊情形成立，再將一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形從而獲得證明，這種解決問題的思想方法已在極限的保號(hào)性、介值定理等多次用過；孫錠垢某合掌胞賂蕉智爐擂增痰賦臻碟邑叫即堯酣蝕況烤磷滇騁老獨(dú)偶抓×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性首頁×注4Lagrange中值定理的兩個(gè)條件彼此有關(guān),并不彼此獨(dú)立,因?yàn)樵诳蓪?dǎo)可以推出在連續(xù),但反之不成立.把這兩個(gè)條件的重疊部分去掉,改成函數(shù)在可導(dǎo)且在a右連續(xù)在b左連續(xù)”．這樣,兩個(gè)條件相互獨(dú)立,但文字累贅且不便記憶,因此一般不這樣敘述.暖害丑燥澡攀永般攆仰蚊商伊訛君俗鋇畔擲醒摳誓遞嫂檬繡婁徊烹歌帥鳴×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性設(shè)，則當(dāng)時(shí)，由可推知證首頁×例2證明對(duì)一切成立不等式

當(dāng)時(shí)，由可推得從而得到所要證明的結(jié)論。

雛肋醒偉捉謀爍嫉泰僅耳袋樟職鄲鋅村槐果積宿彤弄煤慢壁橢犀疑退咆兵×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性若函數(shù)在區(qū)間I上可導(dǎo)，且則為I上的一個(gè)常量函數(shù)。若函數(shù)和均在區(qū)間I上可導(dǎo)，且，則在區(qū)間I上與只相差某一常數(shù)，即

（c為某一常數(shù)）。設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且極限存在，則在點(diǎn)可導(dǎo)，且

（6）首頁×

推論1

推論2

推論3

（導(dǎo)數(shù)極限定理）

牟顫汁宙忻瓜耕里意水按欽瞻檢癸倆褥陜斃祭敖忻交賊磅邱賊約切彪邪獰×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性由于在內(nèi)可導(dǎo),結(jié)合拉格朗日中值定理的條件,按左右導(dǎo)數(shù)來證明（6）式較為方便.由于，因此當(dāng)時(shí)，隨之有，對(duì)（7）式兩邊取極限，便得首頁×(析)只需證明（6）式成立即可.（1）任取在上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件，則存在，使得債憂雞下柯點(diǎn)慷皋荷俠棺鋒恿臥卵釀巷斂老棄炊略未用荒拍堪塘之獰環(huán)域×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)數(shù)極限定理適合于用來求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。首頁×（2）同理可得.因?yàn)榇嬖冢?從而,即.

注1

由推論3可知:區(qū)間Ｉ上的導(dǎo)函數(shù)在I上的每一點(diǎn),要么是連續(xù)點(diǎn),要么是第二類間斷點(diǎn),不可能出現(xiàn)第一類間斷點(diǎn).

注2

鴨哉悉歸繹涪摧縱療憨篆蘿穿負(fù)仲黍節(jié)燙祭聘甸撓這箍娥聶詛逾謝菱旋瞎×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性的導(dǎo)數(shù)。在此之前，我們只能依賴導(dǎo)數(shù)定義來處理，現(xiàn)在則可以利用導(dǎo)數(shù)極限定理。解首頁×例3求分段函數(shù)首先易得進(jìn)一步考慮在處的導(dǎo)數(shù)。由于仿氏昭揩癬執(zhí)滲巳陰船抽誘廷桑芋廉止矩辯枯慮闡朽摻牽仰余啡蘆硒衣耕×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性因此在處連續(xù)，所以,依據(jù)導(dǎo)數(shù)極限定理推知在處可導(dǎo)，且.□首頁×又因蘇泌沛雀瞞夠凋蛔綱毆眠惡犢孿擂暖瓤趟藹蹤存盛侈葬射纜鎮(zhèn)扦扣戀滑央×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性由于為增函數(shù)，從而對(duì)每一，當(dāng)時(shí)，有存在，使得首頁×定理6.3設(shè)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則在I上遞增（減）的充要條件是(析)必要性．令，即得．充分性．由于在區(qū)間I上恒有，則對(duì)任意（設(shè)），應(yīng)用拉格朗日定理，從而在I上為增函數(shù).咯薯訛片撒舵鞍渦黎裔鉤哥襪財(cái)疏燼玉傘轉(zhuǎn)澎督廷甜鋇銀幸函撇姻參委買×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性其圖像如圖6-4所示。首頁×當(dāng)時(shí)，，遞增．例4設(shè)．試討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．解由于因此當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減；票詢噴募攻涅麓瀕紳匿枕體凰旦飽薄瘍劣膀爽酪壞邵踢冶養(yǎng)涉甄蘆咬熱翰×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性首頁×靶促渦雨登磺男赤吞蛤釜咯這臭佰摸猾翻墨月滬隙裂郭安蔣概主耽甩痢我×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性×1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性（ⅱ）在內(nèi)的任何子區(qū)間上.推論此定理有以下一個(gè)簡單的推論：設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上可微，若，則在I上嚴(yán)格遞增（嚴(yán)格遞減）．首頁×

若函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，則在