2024屆湖南省常德市石門一中高三第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知平面平面，且是正方形，在正方形內(nèi)部有一點(diǎn)，滿足與平面所成的角相等，則點(diǎn)的軌跡長度為（）A． B．16 C． D．2．阿波羅尼斯（約公元前262~190年）證明過這樣的命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓.后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)，間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)與，的距離之比為，當(dāng)，，不共線時(shí)，的面積的最大值是（）A． B． C． D．3．設(shè)復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位)，則（）A． B． C． D．4．正方形的邊長為，是正方形內(nèi)部（不包括正方形的邊）一點(diǎn)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．5．如圖所示的“數(shù)字塔”有以下規(guī)律：每一層最左與最右的數(shù)字均為2，除此之外每個(gè)數(shù)字均為其兩肩的數(shù)字之積，則該“數(shù)字塔”前10層的所有數(shù)字之積最接近（）A． B． C． D．6．已知是平面內(nèi)互不相等的兩個(gè)非零向量,且與的夾角為,則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知平面向量，，，則實(shí)數(shù)x的值等于（）A．6 B．1 C． D．8．已知集合，則全集則下列結(jié)論正確的是()A． B． C． D．9．如圖，圓錐底面半徑為，體積為，、是底面圓的兩條互相垂直的直徑，是母線的中點(diǎn)，已知過與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以為頂點(diǎn)的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離等于（）A． B．1 C． D．10．已知函數(shù)，以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象的對稱中心為；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)；③若函數(shù)在上不單調(diào)，則；④當(dāng)時(shí)，在上的最大值為1．A．1 B．2 C．3 D．411．已知向量，，當(dāng)時(shí)，（）A． B． C． D．12．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的模為____．14．能說明“在數(shù)列中，若對于任意的，，則為遞增數(shù)列”為假命題的一個(gè)等差數(shù)列是______.（寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式）15．成都市某次高三統(tǒng)考，成績X經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，近似服從正態(tài)分布，且，若該市有人參考，則估計(jì)成都市該次統(tǒng)考中成績大于分的人數(shù)為_____．16．已知關(guān)于的不等式對于任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）若射線與曲線C交于點(diǎn)A（不同于極點(diǎn)O），與直線l交于點(diǎn)B，求的最大值.18．（12分）已知正實(shí)數(shù)滿足.（1）求的最小值.（2）證明：19．（12分）設(shè)數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）如圖，在三棱錐中，，，側(cè)面為等邊三角形，側(cè)棱.（1）求證：平面平面；（2）求三棱錐外接球的體積.21．（12分）已知的圖象在處的切線方程為.（1）求常數(shù)的值；（2）若方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的值.22．（10分）下表是某公司2018年5~12月份研發(fā)費(fèi)用（百萬元）和產(chǎn)品銷量（萬臺(tái)）的具體數(shù)據(jù)：月份56789101112研發(fā)費(fèi)用（百萬元）2361021131518產(chǎn)品銷量（萬臺(tái)）1122.563.53.54.5（Ⅰ）根據(jù)數(shù)據(jù)可知與之間存在線性相關(guān)關(guān)系，求出與的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（Ⅱ）該公司制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)制度：以（單位：萬臺(tái)）表示日銷售，當(dāng)時(shí)，不設(shè)獎(jiǎng)；當(dāng)時(shí)，每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)200元；當(dāng)時(shí)，每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)300元；當(dāng)時(shí)，每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)400元.現(xiàn)已知該公司某月份日銷售（萬臺(tái)）服從正態(tài)分布（其中是2018年5-12月產(chǎn)品銷售平均數(shù)的二十分之一），請你估計(jì)每位員工該月（按30天計(jì)算）獲得獎(jiǎng)勵(lì)金額總數(shù)大約多少元.參考數(shù)據(jù)：，，，，參考公式：相關(guān)系數(shù)，其回歸直線中的，若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)與平面所成的角相等，判斷出，建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)的軌跡方程，由此求得點(diǎn)的軌跡長度.【詳解】由于平面平面，且交線為，，所以平面，平面.所以和分別是直線與平面所成的角，所以，所以，即，所以.以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，則，，設(shè)（點(diǎn)在第一象限內(nèi)），由得，即，化簡得，由于點(diǎn)在第一象限內(nèi)，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓在第一象限的部分.令代入原的方程，解得，故，由于，所以，所以點(diǎn)的軌跡長度為.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面角的概念和運(yùn)用，考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.2、A【解析】

根據(jù)平面內(nèi)兩定點(diǎn)，間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)與，的距離之比為，利用直接法求得軌跡，然后利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】如圖所示：設(shè)，，，則，化簡得，當(dāng)點(diǎn)到（軸）距離最大時(shí)，的面積最大，∴面積的最大值是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查軌跡的求法和圓的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.3、B【解析】

易得，分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知，，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道容易題.4、C【解析】

分別以直線為軸，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)，可求，而，化簡求解.【詳解】解：建立以為原點(diǎn)，以直線為軸，直線為軸的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)，，，則，，由，即，得.所以=，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

結(jié)合所給數(shù)字特征，我們可將每層數(shù)字表示成2的指數(shù)的形式，觀察可知，每層指數(shù)的和成等比數(shù)列分布，結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式和對數(shù)恒等式即可求解【詳解】如圖，將數(shù)字塔中的數(shù)寫成指數(shù)形式，可發(fā)現(xiàn)其指數(shù)恰好構(gòu)成“楊輝三角”，前10層的指數(shù)之和為，所以原數(shù)字塔中前10層所有數(shù)字之積為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查與“楊輝三角”有關(guān)的規(guī)律求解問題，邏輯推理，等比數(shù)列前項(xiàng)和公式應(yīng)用，屬于中檔題6、C【解析】試題分析：如下圖所示，則，因?yàn)榕c的夾角為，即，所以，設(shè)，則，在三角形中，由正弦定理得，所以，所以，故選C．考點(diǎn)：1．向量加減法的幾何意義；2．正弦定理；3．正弦函數(shù)性質(zhì)．7、A【解析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】，，，，即，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于容易題.8、D【解析】

化簡集合，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，化簡集合，按照集合交集、并集、補(bǔ)集定義，逐項(xiàng)判斷，即可求出結(jié)論.【詳解】由，則，故，由知，，因此，，，，故選:D【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算以及集合間的關(guān)系，求解不等式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，求得拋物線的軌跡方程，解直角三角形求得拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離.【詳解】將拋物線放入坐標(biāo)系，如圖所示，∵，，，∴，設(shè)拋物線，代入點(diǎn)，可得∴焦點(diǎn)為，即焦點(diǎn)為中點(diǎn)，設(shè)焦點(diǎn)為，，，∴.故選：D【點(diǎn)睛】本小題考查圓錐曲線的概念，拋物線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，空間想象能力，推理論證能力，應(yīng)用意識(shí).10、C【解析】

逐一分析選項(xiàng)，①根據(jù)函數(shù)的對稱中心判斷；②利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；③先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若滿足條件，則極值點(diǎn)必在區(qū)間；④利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間的最值.【詳解】①為奇函數(shù)，其圖象的對稱中心為原點(diǎn)，根據(jù)平移知識(shí)，函數(shù)的圖象的對稱中心為，正確．②由題意知．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，又，所以在上恒成立，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，正確．③由題意知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上為增函數(shù)，不合題意，故．令，解得．因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，所以在上有解，需，解得，正確．④令，得．根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，在上的最大值只可能為或．因?yàn)椋?，所以最大值?4，結(jié)論錯(cuò)誤．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值，意在考查基本的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題型.11、A【解析】

根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求出，，即可求解.【詳解】，.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、誘導(dǎo)公式、二倍角公式、同角間的三角函數(shù)關(guān)系，屬于中檔題.12、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算，由共軛復(fù)數(shù)的概念寫出.【詳解】,,故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法計(jì)算，共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】，所以．14、答案不唯一，如【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得到滿足條件的數(shù)列.【詳解】由題意知，不妨設(shè)，則，很明顯為遞減數(shù)列，說明原命題是假命題.所以，答案不唯一，符合條件即可.【點(diǎn)睛】本題考查對等差數(shù)列的概念和性質(zhì)的理解，關(guān)鍵是假設(shè)出一個(gè)遞減的數(shù)列，還需檢驗(yàn)是否滿足命題中的條件，屬基礎(chǔ)題.15、.【解析】

根據(jù)正態(tài)分布密度曲線性質(zhì)，結(jié)合求得，即可得解.【詳解】根據(jù)正態(tài)分布，且，所以故該市有人參考，則估計(jì)成都市該次統(tǒng)考中成績大于分的人數(shù)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查正態(tài)分布密度曲線性質(zhì)的理解辨析，根據(jù)曲線的對稱性求解概率，根據(jù)總?cè)藬?shù)求解成績大于114的人數(shù).16、【解析】

先將不等式對于任意恒成立,轉(zhuǎn)化為任意恒成立，設(shè)，求出在內(nèi)的最小值,即可求出的取值范圍.【詳解】解：由題可知，不等式對于任意恒成立，即，又因?yàn)?，，對任意恒成立，設(shè)，其中，由不等式，可得：，則，當(dāng)時(shí)等號成立，又因?yàn)樵趦?nèi)有解，，則，即：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問題，利用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù)，通過求新函數(shù)的最值求出參數(shù)范圍，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）：，直線：；（2）．【解析】

（1）由消參法把參數(shù)方程化為普通方程，再由公式進(jìn)行直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化；（2）由極徑的定義可直接把代入曲線和直線的極坐標(biāo)方程，求出極徑，把比值化為的三角函數(shù)，從而可得最大值、【詳解】（1）消去參數(shù)可得曲線的普通方程是，即，代入得，即，∴曲線的極坐標(biāo)方程是；由，化為直角坐標(biāo)方程為．（2）設(shè)，則，，，當(dāng)時(shí)，取得最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，掌握公式可輕松自如進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化．18、（1）；（2）見解析【解析】

（1）利用乘“1”法，結(jié)合基本不等式求得結(jié)果.（2）直接利用基本不等式及乘“1”法，證明即可.【詳解】（1）因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所以（?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立），所以（2）證明：因?yàn)?，所以故（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立）【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了乘“1”法的技巧，考查了推理論證能力，屬于中檔題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）令可求得的值，令時(shí)，由可得出，兩式相減可得的表達(dá)式，然后對是否滿足在時(shí)的表達(dá)式進(jìn)行檢驗(yàn)，由此可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，利用奇偶分組求和法結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由得，兩式相減得，.滿足.因此，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）.①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.綜上所述，.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項(xiàng)的求解，同時(shí)也考查了奇偶分組求和法，考查計(jì)算能力，屬于中等題.20、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）設(shè)中點(diǎn)為，連接、，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出，利用勾股定理得出，由線面垂直的判定定理可證得平面，再利用面面垂直的判定定理可得出平面平面；（2）先確定三棱錐的外接球球心的位置，利用三角形相似求出外接球的半徑，再由球體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)中點(diǎn)為，連接、，因?yàn)?，所?又，所以，又由已知，，則，所以，.又為正三角形，且，所以，因?yàn)?，所以，，，平面，又平面，平面平面；?）由于是底面直角三角形的斜邊的中點(diǎn)，所以點(diǎn)是的外心，由（1）知平面，所以三棱錐的外接球的球心在上.在中，的垂直平分線與的交點(diǎn)即為球心，記的中點(diǎn)為點(diǎn)，則.由與相似可得，所以.所以三棱錐外接球的體積為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明，同時(shí)也考查了三棱錐外接球體積的計(jì)算，找出外接球球心的位置是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.21、（1）；（2）或.【解析】

（1）求出，由，建立方程求解，即可求出結(jié)論；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，做出函數(shù)在的圖象，即可求解.【詳解】（1），由題意知，解得（舍去）或.（2）當(dāng)時(shí)，故方程有根，根為或，+0-0+極大值極小值由表可見，當(dāng)時(shí)，有極小值0.由上表可知的減函數(shù)區(qū)間為，遞增區(qū)間為，.因?yàn)椋?由數(shù)形結(jié)合可得或.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，應(yīng)用函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵，意在考