高級中學名校試卷PAGEPAGE2河北省保定市曲陽縣2022-2023學年高一下學期5月聯(lián)考數(shù)學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是行合題目要求的.1.已知復數(shù)，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得：.故選：D.2.的內(nèi)角的對邊分別為，若，則（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗D〖解析〗由余弦定理得，得．故選：D.3.光明社區(qū)老年合唱隊中，60～70歲的有30人，71～75歲的有15人，76歲及以上的有10人．若用分層抽樣的方法抽取位老人參加某項活動，已知從71～75歲的老人中抽取了3人，則的值為（）A.9 B.10 C.11 D.12〖答案〗C〖解析〗由題意可知：從71～75歲的老人中抽取的人數(shù)為，解得.故選：C.4.已知是兩條不同的直線，是一個平面，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗C〖解析〗對于A，若，，則或，故A錯誤；對于B，平行于同一平面的兩條直線可能平行，可能異面，也可能相交，故B錯誤；對于C，若，則m垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，，故C正確；對于D，若，則與不一定垂直，故D錯誤.故選：C.5.某公司用隨機數(shù)法從公司的500名員工中抽取了20人了解其對燒烤的喜歡程度．先將這500名員工按001，002，…，500進行編號，然后從隨機數(shù)第3行第3列的數(shù)開始向右讀，則選出的第7個編號是（注：下面為隨機數(shù)的第3行和第4行）（）第3行：78166572080263198702436997280198第4行：32049243493582003623486969387481A.492 B.320 C.198 D.280〖答案〗B〖解析〗由隨機數(shù)法抽樣規(guī)則，從隨機數(shù)第3行第3列的數(shù)開始向右讀，依次選出的編號是：166，080，263，198，436，280，320，…，所以選出的第7個編號是320.故選：B.6.已知向量，，若與反向，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，，，所以，解得或，又與反向，則時，向量與同向，不合舍去，故，此時，，，則向量在向量上的投影向量為，.故選：D.7.在平行六面體中，底面是菱形，，與底面垂直，，分別在和上，且，，，，則異面直與所成角余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取DM中點K，連接、，因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以異面直線與所成角為或其補角，因為底面是菱形，，，所以在中，利用余弦定理得，又，，在中，利用余弦定理得，所以異面直與所成角的余弦值為.故選：B.8.某六芒星項鏈如圖1所示，其平面圖如圖2所示，該六芒星由正和正組合而成，且，，，和的中心均為O，與的交點為G，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，連接，，設(shè)，的交點為H，，的交點為I，由于O是和的中心，所以O(shè)在上，H為的中點，因為O為的重心，所以.由題意得，則，即，所以，得.故選：C.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為，則（）AB.的虛部為C.為純虛數(shù)D.是方程的一個復數(shù)根〖答案〗ABD〖解析〗因為復數(shù)在復平面內(nèi)對應點的坐標為，所以，所以，故A正確；的虛部為，故B正確；不是純虛數(shù)，故C錯誤；因為，所以是方程的一個復數(shù)根，故D正確.故選：ABD.10.下列說法錯誤的是（）A.過球心的截面是半徑等于球的半徑的圓面B.有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱C.正四棱錐的側(cè)面都是正三角形D.有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺〖答案〗BCD〖解析〗對于選項A：根據(jù)球的性質(zhì)可知過球心的截面是半徑等于球的半徑的圓面，故A正確；對于選項B：滿足有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體可能時兩個棱柱拼接而成，如圖所示，故B錯誤；對于選項C：正四棱錐的底面為正方形，側(cè)棱長相等，但無法確定底面邊長與側(cè)棱長是否相等，所以只可得正四棱錐的側(cè)面都是等腰三角形，而不一定是正三角形，故C錯誤；對于選項D：因為無法確定側(cè)棱是否交于一點，故滿足條件的幾何體不一定是棱臺，故D錯誤.故選：BCD.11.若向量滿足，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.C.若，則 D.〖答案〗ABD〖解析〗因為，所以，解得，當時，，，A正確；當時，，解得或，C錯誤；易得，則，解得，當且僅當時，等號成立，由，得，所以，B正確；易得，則，解得，D正確.故選：ABD.12.在四棱錐中，底面，，，，且二面角為60°，則（）A.B.二面角為60°C.三棱錐的外接球的表而積為D.三棱錐的內(nèi)切球的半徑為〖答案〗BCD〖解析〗由題意可知：是以邊長為2的等邊三角形，取的中點，連接，則，因為平面，且平面，所以，，，且，平面，可得平面，平面，則，所以二面角的平面角為，則，在中，由余弦定理可得：，即，則，即，對于選項A：因為，所以，故A錯誤；對于選項B：因為，，平面，所以平面，且平面，可得，且，所以二面角的平面角為，又因為，且為銳角，則，所以二面角為60°，故B正確；對于選項C：設(shè)的中心為（即為外接圓圓心），則，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，半徑為，連接，則，且//，可得，所以三棱錐的外接球的表而積為，故C正確；對于選項D：因為三棱錐的體積，三棱錐的表面積：，所以三棱錐的內(nèi)切球的半徑，故D正確.故選：BCD.三、填空題；本大題共4小題，每小題5分，共20分.把〖答案〗填在答題卡中的橫線上.13.某7位小伙伴1分鐘的跳組個數(shù)（単位：個）分別為180，182，173，175，，178，176，已知這7位小伙伴1分鐘跳繩個數(shù)的平均數(shù)為178，則______．〖答案〗〖解析〗依題意，，解得.故〖答案〗為：.14.某“星艦”可近似地看作是一個圓錐和一個圓柱的組合體，其直觀圖如圖所示，其中，分別是上、下底面圓的圓心，若米，米，底面圓的直徑為9米，則該“星艦”的表面積是______平方米．〖答案〗〖解析〗由題意可知：該“星艦”的表面分為三個部分：圓錐的側(cè)面、圓柱的側(cè)面和圓柱的底面圓，因為圓錐的母線長米，則其側(cè)面積平方米，圓柱的高米，則其側(cè)面積平方米，底面圓的面積平方米，所以該“星艦”的表面積是平方米.故〖答案〗為：.15.長度為的線段兩個端點到平面的距離分別為和，且這兩個端點都在平面的同一側(cè)，則這條線段所在直線與平面所成角的正弦值為______．〖答案〗〖解析〗如圖所示，設(shè)線段兩個端點在平面的投影分別為，連接，則，在線段上取點，使得，連接，因為//，，則為平行四邊形，可得//，，則線段所在直線與平面所成角的即為線段所在直線與平面所成角，所以這條線段所在直線與平面所成角的正弦值.故〖答案〗為：.16.《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑中，，，，，，分別為棱，上一點，則的最小值為______．〖答案〗〖解析〗由題意可知：，則，所以，將翻折至一個平面，過點A作，垂直為點，則的最小值為點A到邊的距離，因為，所以，即的最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量的夾角為，且，，．（1）求；（2）當時，求的值．解：（1）由，得．（2）由題設(shè)得，則，解得．18.如圖，在底面是矩形的四棱錐中，平面平面，，且，分別是的中點．（1）證明：∥平面；（2）證明：平面．解：（1）連接，如圖所示：因為是矩形，是的中點，所以是的中點因為是的中點，所以∥，又平面，平面，所以∥平面．（2）因為，且，所以所以，因為平面平面，且平面平面，，平面，所以平面，因為平面，所以，又，且平面，平面，所以平面．19.如圖，梯形是水平放置的四邊形的斜二測畫法的直觀圖，已知，，．（1）在下面給定的表格中畫出四邊形（不需寫作圖過程）；（2）若四邊形以所在直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個幾何體，說出該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并求該幾何體的體積．解：（1）因為與軸重合，則與軸重合，且；與軸平行，則與軸平行，且；與軸重合，則與軸重合，且；連接，即可得四邊形.（2）如圖所示，所得幾何體的上半部分為圓錐，下半部分為圓柱截取一個圓錐，故體積為.20.已知正方體．（1）證明：平面面．（2）若正方體的棱長為4，平面α，當平面α經(jīng)過BC的中點時，求平面α截正方體所得截面的周長．解：（1）在正方體中，AB⊥平面，因為平面，所以，在正方形中，，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）連接DC1，因為AD⊥平面又平面，所以，在正方形中，，又，平面，所以平面，又平面，所以，由（1）知平面，平面，則，又，平面，所以平面，因為平面α，所以平面α∥平面，分別取BC，CD，，，，中點E，F(xiàn)，G，H，M，N，連接各點，則多邊形EF－GHMN即平面α截正方體所得的截面，又，所以平面α截正方體所得的截面的周長為．21.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求C；（2）若D為邊上一點，，且，求面積的最小值.解：（1）由余弦定理得，得，即，則，，.（2）在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，由題意得，因為，所以，得，得，即為的角平分線，由，得，得，所以，當且僅當時，等號成立，則的面積為，即面積的最小值為；綜上，，面積的最小值為.22.如圖，在斜三棱柱中，為的中點，為上靠近A的三等分點，為上靠近的三等分點．（1）證明：平面//平面．（2）若平面，，與平面的距離為，，，三棱錐的體積為，試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．（3）在（2）的條件下，當為多少時，三棱錐的體積取得最大值？并求出最大值．解：（1）由題意可得：，//，則為平行四邊形，可得//，且平面，平面，所以//平面，取的中點，連接，因為分別為的中點，則//，又因為，//，則為平行四邊形，可得//，，且//，，則//，，可得為平行四邊形，則//，故//，且平面，平面，所以//平面，，平面，所以平面//平面.（2）因為平面，平面，則，且//平面，則，可得，且//，則平面，平面，可得，且，平面，所以平面，又因為平面//平面，則平面，平面，則，設(shè)，因為//，則，即，所以三棱錐的體積為.（3）由（2）可知，當，即時，取到最大值.河北省保定市曲陽縣2022-2023學年高一下學期5月聯(lián)考數(shù)學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是行合題目要求的.1.已知復數(shù)，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得：.故選：D.2.的內(nèi)角的對邊分別為，若，則（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗D〖解析〗由余弦定理得，得．故選：D.3.光明社區(qū)老年合唱隊中，60～70歲的有30人，71～75歲的有15人，76歲及以上的有10人．若用分層抽樣的方法抽取位老人參加某項活動，已知從71～75歲的老人中抽取了3人，則的值為（）A.9 B.10 C.11 D.12〖答案〗C〖解析〗由題意可知：從71～75歲的老人中抽取的人數(shù)為，解得.故選：C.4.已知是兩條不同的直線，是一個平面，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗C〖解析〗對于A，若，，則或，故A錯誤；對于B，平行于同一平面的兩條直線可能平行，可能異面，也可能相交，故B錯誤；對于C，若，則m垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，，故C正確；對于D，若，則與不一定垂直，故D錯誤.故選：C.5.某公司用隨機數(shù)法從公司的500名員工中抽取了20人了解其對燒烤的喜歡程度．先將這500名員工按001，002，…，500進行編號，然后從隨機數(shù)第3行第3列的數(shù)開始向右讀，則選出的第7個編號是（注：下面為隨機數(shù)的第3行和第4行）（）第3行：78166572080263198702436997280198第4行：32049243493582003623486969387481A.492 B.320 C.198 D.280〖答案〗B〖解析〗由隨機數(shù)法抽樣規(guī)則，從隨機數(shù)第3行第3列的數(shù)開始向右讀，依次選出的編號是：166，080，263，198，436，280，320，…，所以選出的第7個編號是320.故選：B.6.已知向量，，若與反向，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，，，所以，解得或，又與反向，則時，向量與同向，不合舍去，故，此時，，，則向量在向量上的投影向量為，.故選：D.7.在平行六面體中，底面是菱形，，與底面垂直，，分別在和上，且，，，，則異面直與所成角余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取DM中點K，連接、，因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以異面直線與所成角為或其補角，因為底面是菱形，，，所以在中，利用余弦定理得，又，，在中，利用余弦定理得，所以異面直與所成角的余弦值為.故選：B.8.某六芒星項鏈如圖1所示，其平面圖如圖2所示，該六芒星由正和正組合而成，且，，，和的中心均為O，與的交點為G，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，連接，，設(shè)，的交點為H，，的交點為I，由于O是和的中心，所以O(shè)在上，H為的中點，因為O為的重心，所以.由題意得，則，即，所以，得.故選：C.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為，則（）AB.的虛部為C.為純虛數(shù)D.是方程的一個復數(shù)根〖答案〗ABD〖解析〗因為復數(shù)在復平面內(nèi)對應點的坐標為，所以，所以，故A正確；的虛部為，故B正確；不是純虛數(shù)，故C錯誤；因為，所以是方程的一個復數(shù)根，故D正確.故選：ABD.10.下列說法錯誤的是（）A.過球心的截面是半徑等于球的半徑的圓面B.有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱C.正四棱錐的側(cè)面都是正三角形D.有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺〖答案〗BCD〖解析〗對于選項A：根據(jù)球的性質(zhì)可知過球心的截面是半徑等于球的半徑的圓面，故A正確；對于選項B：滿足有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體可能時兩個棱柱拼接而成，如圖所示，故B錯誤；對于選項C：正四棱錐的底面為正方形，側(cè)棱長相等，但無法確定底面邊長與側(cè)棱長是否相等，所以只可得正四棱錐的側(cè)面都是等腰三角形，而不一定是正三角形，故C錯誤；對于選項D：因為無法確定側(cè)棱是否交于一點，故滿足條件的幾何體不一定是棱臺，故D錯誤.故選：BCD.11.若向量滿足，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.C.若，則 D.〖答案〗ABD〖解析〗因為，所以，解得，當時，，，A正確；當時，，解得或，C錯誤；易得，則，解得，當且僅當時，等號成立，由，得，所以，B正確；易得，則，解得，D正確.故選：ABD.12.在四棱錐中，底面，，，，且二面角為60°，則（）A.B.二面角為60°C.三棱錐的外接球的表而積為D.三棱錐的內(nèi)切球的半徑為〖答案〗BCD〖解析〗由題意可知：是以邊長為2的等邊三角形，取的中點，連接，則，因為平面，且平面，所以，，，且，平面，可得平面，平面，則，所以二面角的平面角為，則，在中，由余弦定理可得：，即，則，即，對于選項A：因為，所以，故A錯誤；對于選項B：因為，，平面，所以平面，且平面，可得，且，所以二面角的平面角為，又因為，且為銳角，則，所以二面角為60°，故B正確；對于選項C：設(shè)的中心為（即為外接圓圓心），則，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，半徑為，連接，則，且//，可得，所以三棱錐的外接球的表而積為，故C正確；對于選項D：因為三棱錐的體積，三棱錐的表面積：，所以三棱錐的內(nèi)切球的半徑，故D正確.故選：BCD.三、填空題；本大題共4小題，每小題5分，共20分.把〖答案〗填在答題卡中的橫線上.13.某7位小伙伴1分鐘的跳組個數(shù)（単位：個）分別為180，182，173，175，，178，176，已知這7位小伙伴1分鐘跳繩個數(shù)的平均數(shù)為178，則______．〖答案〗〖解析〗依題意，，解得.故〖答案〗為：.14.某“星艦”可近似地看作是一個圓錐和一個圓柱的組合體，其直觀圖如圖所示，其中，分別是上、下底面圓的圓心，若米，米，底面圓的直徑為9米，則該“星艦”的表面積是______平方米．〖答案〗〖解析〗由題意可知：該“星艦”的表面分為三個部分：圓錐的側(cè)面、圓柱的側(cè)面和圓柱的底面圓，因為圓錐的母線長米，則其側(cè)面積平方米，圓柱的高米，則其側(cè)面積平方米，底面圓的面積平方米，所以該“星艦”的表面積是平方米.故〖答案〗為：.15.長度為的線段兩個端點到平面的距離分別為和，且這兩個端點都在平面的同一側(cè)，則這條線段所在直線與平面所成角的正弦值為______．〖答案〗〖解析〗如圖所示，設(shè)線段兩個端點在平面的投影分別為，連接，則，在線段上取點，使得，連接，因為//，，則為平行四邊形，可得//，，則線段所在直線與平面所成角的即為線段所在直線與平面所成角，所以這條線段所在直線與平面所成角的正弦值.故〖答案〗為：.16.《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑中，，，，，，分別為棱，上一點，則的最小值為______．〖答案〗〖解析〗由題意可知：，則，所以，將翻折至一個平面，過點A作，垂直為點，則的最小值為點A到邊的距離，因為，所以，即的最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量的夾角為，且，，．（1）求；（2）當時，求的值．解：（1）由，得．（2）由題設(shè)得，則，解得．18.如圖，在底面是矩形的四棱錐中，平面平面，，且，分別是的中點．（1）證明：∥平面；（2）證明：平面．解：（1）連接，如圖所示：因為是矩形，是的中點，所以是的中點因為是的中點，所以∥，又平面，平面，所以∥平面．（2）因為，且，所以所以，因為平面平面，且平面平面，，平面，所以平面，因為平面，所以，又，且平面，平面，所以平面．19.如圖，梯形是水平放置的四邊形的斜二測畫法的直觀圖，已知，，．（1）在下面給定的表格中畫出四邊形（不需寫作圖過程）；（2）若四邊形以所在直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個幾何體，說出該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并求該幾何體的體積．解：（1）因為與軸重合，則與軸重合，且；與軸平行，則與軸平行，且