2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)第1課時不等關(guān)系與比較大小自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、不等式與不等關(guān)系1.給出下列問題:(1)今天的天氣預(yù)報顯示:明天早晨的最低溫度為7℃,白天的最高溫度為13℃;(2)某火腿腸的質(zhì)量檢查規(guī)定,每100克火腿腸中,淀粉含量d不能超過20克,防腐劑含量f不能超過0.5克.你能用不等式(組)表示上述兩個問題的不等關(guān)系嗎?提示:(1)設(shè)明日白天的氣溫為t,則7≤t≤13(單位:℃).2.我們經(jīng)常用不等式來研究含有不等關(guān)系的問題,常用的不等號有

>、<、≤、≥、≠.3.某高速公路對行駛的各種車輛的最大限速為120km/h,正常行駛過程中,同一車道上的車間距不得小于50m.則車輛的行駛速度v(單位:km/h)和車間距d(單位:m)用不等式表示為(

)解析:考慮實際意義,知0<v≤120,且d≥50.答案:B二、兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實1.想一想,怎樣比較兩個實數(shù)的大小?提示:用作差法.2.對于任意的實數(shù)a,b,有以下基本事實:a>b?a-b>0;a=b?a-b=0;a<b?a-b<0.從這三條基本事實可知,要比較兩個實數(shù)的大小,可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小.3.已知x<1,則x2+2與3x的大小關(guān)系為

.

解析:x2+2-3x=(x-2)(x-1),∵x<1,∴x-2<0,x-1<0,∴x2+2-3x>0,∴x2+2>3x.答案:x2+2>3x三、不等式:?a,b∈R,a2+b2≥2ab【問題思考】1.分別以a,b為直角邊,做四個全等的直角三角形,并將這四個直角三角形拼成正方形,如圖所示,則正方形ABCD的邊長為(1)根據(jù)拼成的圖形,你能從中得到一個什么樣的不等關(guān)系?(2)當(dāng)中間的四邊形EFGH縮為一點,即四個直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切螘r,可以得到什么結(jié)論?結(jié)合問題(1)你有什么發(fā)現(xiàn)?(3)你能用兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實,證明上述發(fā)現(xiàn)嗎?提示:(1)由正方形ABCD的面積大于4個直角三角形的面積和,得到不等式a2+b2>2ab.(2)a2+b2=2ab;由問題(1)(2),可得a2+b2≥2ab.(3)能,由a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,得a2+b2≥2ab.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.2.一般地,?a,b∈R,有a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)

a=b時,等號成立.3.若x2+y2=4,則xy的最大值是(

)答案:C【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)兩個實數(shù)a,b之間,有且只有a>b,a=b,a<b三種關(guān)系中的一種.(√)(2)實數(shù)x不大于3,用不等式表示為x<3.(×)(3)比較兩個實數(shù)的大小,只能用作差法.(×

)

合作探究·釋疑解惑探究一

用不等式(組)表示不等關(guān)系【例1】

已知某列車的速度為v1(單位:km/h),這個速度的2倍再加上100km/h,不超過民航飛機的最低速度v2(單位:km/h),可列車的速度已經(jīng)超過了普通客車速度v3(單位:km/h)的3倍,請你用不等式表示三種交通工具的速度關(guān)系.解:由題意,得v1,v2的關(guān)系為2v1+100≤v2,v1,v3的關(guān)系為v1>3v3.反思感悟1.用不等式表示不等關(guān)系時,要注意體會關(guān)鍵詞的含義,如本例中的“在……之間”“不足”“不超過”等,對于實際問題不要漏掉隱含條件.2.常見的文字語言與數(shù)學(xué)符號的轉(zhuǎn)換【變式訓(xùn)練1】

用不等式(組)表示下列關(guān)系:(1)x為非負(fù)數(shù);(2)x為實數(shù),而且大于1不大于6;(3)x與y的平方和不小于2,而且不大于10.解:(1)x≥0.(2)x∈R,且1<x≤6.(3)2≤x2+y2≤10.探究二

用作差法比較兩數(shù)(式)的大小【例2】

已知x>1,比較x3-1與2x2-2x的大小.分析:(1)用作差法比較大小.(2)作差后利用因式分解判斷符號.將例題中的“x>1”改為“x∈R”,試比較x3-1與2x2-2x的大小.解:(x3-1)-(2x2-2x)=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1),∴當(dāng)x>1時,(x-1)(x2-x+1)>0,即x3-1>2x2-2x;當(dāng)x=1時,(x-1)(x2-x+1)=0,即x3-1=2x2-2x;當(dāng)x<1時,(x-1)(x2-x+1)<0,即x3-1<2x2-2x.反思感悟1.本題采用的是作差法比較大小,一般地,涉及兩個代數(shù)式比較大小,常用作差法.2.作差法比較兩個數(shù)(式)的大小的基本步驟探究三

實際應(yīng)用題【例3】

某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí),需包車前往.甲車隊說:“若領(lǐng)隊買一張全票,則其余人可享受7.5折優(yōu)惠.”乙車隊說:“你們屬團體票,按原價的8折優(yōu)惠.”這兩個車隊的原價、車型都是一樣的,試根據(jù)該單位去的人數(shù),比較兩車隊的收費哪家更優(yōu)惠.解:設(shè)該單位職工有n人(n∈N*),全票價為x元/人,選甲車隊需花y1元,選乙車隊需花y2元,當(dāng)n=5時,y1=y2;當(dāng)n>5時,y1<y2;當(dāng)n<5時,y1>y2.所以當(dāng)該單位去的人數(shù)為5時,兩車隊收費相同;人數(shù)大于5時,選甲車隊更優(yōu)惠;人數(shù)小于5時,選乙車隊更優(yōu)惠.反思感悟1.本題采用先建模再比較的方法,這是解答此類實際問題的常用方法.2.(1)解決實際問題的關(guān)鍵是理解好每一個名詞的含義,留意每個數(shù)字出現(xiàn)的意義,注意實際意義對變量取值范圍的限制.(2)解決決策優(yōu)化型的實際問題,首先要確定制約著決策優(yōu)化的關(guān)鍵量是哪一個,然后確定在各種決策下該量分別是多少,最后用作差法(或其他方法)比較它們的大小即可.3.提升數(shù)學(xué)建模、邏輯推理與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).【變式訓(xùn)練3】

建筑設(shè)計規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標(biāo)準(zhǔn),窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%,且這個比值越大,住宅的采光條件就越好.試問:同時增加相等的窗戶面積和地板面積,住宅的采光條件是變好了,還是變壞了?請說明理由.易

錯

辨

析因忽視配方法在判斷符號中的應(yīng)用致錯【典例】

若A=a2+3ab,B=4ab-b2,則A,B的大小關(guān)系是(

)A.A≤B B.A≥BC.A>B D.大小關(guān)系不確定錯解:因為A-B=a2+3ab-4ab+b2=a2+b2-ab,所以A,B的大小關(guān)系不確定.答案:D以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?答案:B防范措施1.用作差法比較兩個數(shù)(式)的大小時,其關(guān)鍵是變形,一般采用配方、因式分解、通分、有理化等手段變形,這樣有利于定號.特別是作差后的式子為二次三項式時,?？紤]因式分解或配方法變形.2.注意提升邏輯推理和數(shù)