用向量法研究三角形的性質(zhì)三角形“四心”的向量表示在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．(1)三角形的重心：OA+OB+OC＝0?(2)三角形的垂心：OA·OB＝OB·OC＝OC·OA?O是△ABC的垂心．(3)三角形的內(nèi)心：aOA＋bOB＋cOC＝0?O是△ABC的內(nèi)心．(4)三角形的外心：|OA|＝|OB|＝|OC|?O是△ABC的外心．【典例】(1)若三個(gè)不共線的向量OA，OB，OC滿足OA·ABAB+CACA＝OB·BABA+CBCB＝OCA．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心(2)已知△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)P滿足PA＋2PB+PC＝0，則S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝(A．1∶2∶3 B．1∶2∶1C．2∶1∶1 D．1∶1∶2(3)在△ABC中，AB＝2，BC＝10，AC＝3．若O是△ABC外心，且AO＝pAB＋qAC，則p＝________，q＝________．(1)A(2)B(3)1349[(1)由題意知OA與ABAB＋CACA＝AE(E在∠BAC的鄰補(bǔ)角的平分線上)垂直，所以點(diǎn)O在∠BAC的平分線上．同理，點(diǎn)O在∠ABC的平分線上，故點(diǎn)(2)延長PB至D，使得PD＝2PB(圖略)，于是有PA+PD+PC＝0，即點(diǎn)P是△ADC的重心，依據(jù)重心的性質(zhì)，有S△PAD＝S△PAC＝S△PDC．由B是PD的中點(diǎn)，得S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝1(3)如圖所示，取AB的中點(diǎn)D，AC的中點(diǎn)E，連接OD，OE，則OD⊥AB，OE⊥AC．由余弦定理，得cos∠BAC＝AB2+AB·AC＝|AB||AC|cos∠BAC＝32∵AO＝pAB＋qAC，∴AO∵AO·AB＝|AB|·|AO|·cos∠BAO＝|AB|·|AD|＝2，AO·AC＝|AO|·|AC|·cos∠CAO＝|AC|·|AE|＝92∴2=4p+32q，92=]1．在△ABC中，AB＝6，O為△ABC的外心，則AO·AB等于()A．6 B．6C．12 D．18D[如圖，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，可知AD＝12AB＝3則AO·AB＝(AD+DO)·AB＝AD·AB+DO·AB＝3×62．用向量方法證明：(1)三角形的三條高線交于一點(diǎn)．如圖①所示，△ABC中，設(shè)BC，CA邊上的高AD，BE交于點(diǎn)H，求證：邊AB上的高過點(diǎn)H；(2)三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)．如圖②所示，△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，BC和CA邊上的垂直平分線交于點(diǎn)O，求證：AB邊上的垂直平分線過點(diǎn)O．[解](1)在△ABC中，∵AH⊥BC，BH⊥AC，∴AH·BC＝0，BH·AC＝0，∴AH·(BH+HC)＝0，BH·(AH+∴AH·HC-BH·HC＝∴AB·HC＝0，∴CH⊥AB，故三角形三條高交于一點(diǎn)．(2)設(shè)AB＝c，BC＝a，CA＝b，則a＋b＋c＝0，因?yàn)锽C和CA邊上的垂直平分線交于點(diǎn)O，所以EO⊥CA，DO⊥BC，所以EO·CA＝0，DO·BC＝因?yàn)镋O＝EA+AF+所以(EA+AF+FO)·CA＝0，(DB+BF所以12b2＋12c·b＋FO·b＝0，－12a2－12c·a＋FO·兩式相加得，12(b2－a2)＋12c·(b－a)＋FO·(b＋a)＝因?yàn)閏＝－(b＋a)，所以12(b2－a2)－12(b＋a)·(b－a)＋F