專題02軸對稱的性質(zhì)（七大類型）【題型1軸對稱】【題型2利用軸對稱的性質(zhì)求角度】【題型3利用軸對稱的性質(zhì)求線段長度】【題型4在格點中作軸對稱圖形】【題型5利用軸對稱的性質(zhì)解決折疊問題】【題型6利用軸對稱的性質(zhì)解決最短路徑問題】【題型7軸對稱圖案的設(shè)計】【題型1軸對稱】1．下列各選項中，兩個三角形成軸對稱的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：各選項中，兩個三角形成軸對稱的是選項A．故選：A．2.（2022秋?岳麓區(qū)校級期末）新年伊始，虎年來臨，大家都開始用上了虎的圖騰與吉祥物．以下小老虎的表情設(shè)計沒有利用軸對稱的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：根據(jù)對稱軸兩旁的部分能完全重合可知，B、C、D都利用了軸對稱，A沒有利用軸對稱，故選：A．3．兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，對稱點一定在（）A．這條直線的兩旁 B．這條直線的同旁 C．這條直線上 D．這條直線兩旁或這條直線上【答案】D【解答】解：兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，對稱點一定在這條直線的兩旁或這條直線上，故選：D．4．小梧要在一塊矩形場地上晾曬傳統(tǒng)工藝制作的蠟染布．如圖所示，該矩形場地北側(cè)安有間隔相等的7根柵欄，其中4根柵欄處與南側(cè)的兩角分別固定了高度相同的木桿a，b，c，d，e，f．這些木桿頂部的相同位置都有鉆孔，繩子穿過木桿上的孔可以被固定．小梧想用繩子在南側(cè)的兩條木桿e，f和北側(cè)的一條木桿上連出一個三角形，以晾曬蠟染布．小梧擔(dān)心手中繩子的總長度不夠，那么他在北側(cè)木桿中應(yīng)優(yōu)先選擇（）A．a(chǎn) B．b C．c D．d【答案】C【解答】解：如圖，作E關(guān)于AG的對稱點E′，連接E′F，交AG于點C，連接CE，則點C所在的木桿c應(yīng)該優(yōu)先選擇．故選：C．【題型2利用軸對稱的性質(zhì)求角度】5.（2022秋?河北期中）如圖，△ABC和△A'B'C'成軸對稱，若∠A'＝36°，∠C＝24°，則∠B為（）A．60° B．90° C．120° D．150°【答案】C【解答】解：∵△ABC和△A'B'C'成軸對稱，∴∠A＝∠A'＝36°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180﹣36°﹣24°＝120°，故選：C．6.（2022?城關(guān)區(qū)二模）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝38°，點D在AB上，且點D與點B關(guān)于直線l對稱，則∠ACD的度數(shù)為（）A．10° B．14° C．38° D．52°【答案】B【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝38°，∴∠B＝52°，∵點D與點B關(guān)于直線l對稱，∴∠CDB＝∠B＝52°，∵∠CDB＝∠ACD+∠A，∴52°＝∠ACD+38°，∴∠ACD＝14°，故選：B．7.（2022春?港北區(qū)期末）如圖，∠BAC＝110°，若A，B關(guān)于直線MP對稱，A，C關(guān)于直線NQ對稱，則∠PAQ的大小是（）A．70° B．55° C．40° D．30°【答案】C【解答】解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，∵A，B關(guān)于直線MP對稱，A，C關(guān)于直線NQ對稱，又∵MP，NQ為AB，AC的垂直平分線，∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝70°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°故選：C．8．如圖，△ABC中，D點在BC上，將D點分別以AB、AC為對稱軸，畫出對稱點E、F，并連接AE、AF，根據(jù)圖中標(biāo)示的角度，∠EAF的度數(shù)為（）A．120° B．118° C．116° D．114°【答案】D【解答】解：如圖所示，連接AD，由題意可得，∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC，∠BAC＝180°﹣67°﹣56°＝57°，則∠EAF＝∠EAB+∠DAB+∠DAC+∠FAC＝2∠DAB+2∠DAC＝2（∠DAB+∠DAC）＝2∠BAC＝2×57°＝114°故選：D．9．如圖所示，將∠A沿著BC折疊到∠A所在平面內(nèi)，點A的對應(yīng)點是A'，若∠A＝54°，則∠1+∠2＝（）A．144° B．108° C．72° D．54°【答案】B【解答】解：由折疊的定義知：∠ABC＝∠A′BC，∠ACB＝∠A′CB，∵∠A＝54°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣54°＝126°∴∠ABA′+∠ACA′＝2×126°＝252°，∴∠1+∠2＝2×180°﹣（∠ABA′+∠ACA′）＝360°﹣252°＝108°，故選：B．【題型3利用軸對稱的性質(zhì)求線段長度】10．如圖，直線l，m相交于點O．P為這兩直線外一點，且OP＝2.8．若點P關(guān)于直線l，m的對稱點分別是點P1，P2，則P1，P2之間的距離可能是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解答】解：如圖，連接OP1，PP1，OP2，PP2，P1P2，∵P1是P關(guān)于直線l的對稱點，∴直線l是PP1的垂直平分線，∴OP1＝OP＝2.8，∵P2是P關(guān)于直線m的對稱點，∴直線m是PP2的垂直平分線，∴OP2＝OP＝2.8，當(dāng)P1，O，P2不在同一條直線上時，OP1﹣OP2＜P1P2＜OP1+OP2，即0＜P1P2＜5.6，當(dāng)P1，O，P2在同一條直線上時，P1P2＝OP1+OP2＝5.6，∴P1，P2之間的距離可能是5，故選：A．11.（2022春?和平縣期末）已知：如圖，P是∠AOB內(nèi)的一點，P1，P2分別是點P關(guān)于OA、OB的對稱點，P1P2交于點OA于點M，交OB于點N，若P1P2＝5cm，則△PMN的周長是5cm．【答案】5．【解答】解：∵P1，P2分別是點P關(guān)于OA、OB的對稱點，∴PM＝MP1，PN＝NP2；∴P1M+MN+NP2＝PM+MN+PN＝P1P2＝5cm，∴△PMN的周長為5cm．故答案為：5．12．如圖，直線l1、l2交于點O，點P關(guān)于l1、l2的對稱點分別為P1、P2．若OP＝4，P1P2＝7，則△P1OP2的周長是15．【答案】15．【解答】解：∵P關(guān)于l1、l2的對稱點分別為P1、P2，∴OP1＝OP＝OP2＝4，∵P1P2＝7，∴△P1OP2的周長＝OP1+OP2+P1P2＝4+4+7＝15，故答案為：15．13．如圖，AD是△ABC的對稱軸，∠DAC＝30°，DC＝4cm，則△ABC是等邊三角形，△ABC的周長＝24cm．【答案】等邊三角形，24．【解答】解：∵AD是△ABC的對稱軸，∴BD＝CD＝4cm，AB＝AC，∴BC＝BD+CD＝8cm，∵∠DAC＝30°，∴∠C＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴△ABC的周長為＝3BC＝24cm．故答案為：等邊三角形，24【題型4在格點中作軸對稱圖形】14.（2023?秦都區(qū)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（3，4），B（1，2），C（5，1）．（1）寫出點A關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)（3，﹣4）；（2）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸的對稱圖形△A1B1C1，點A、B、C的對應(yīng)點分別為A1，B1，C1．【答案】（1）（3，﹣4）．（2）見解答．【解答】解：（1）∵A（3，4），∴點A關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為（3，﹣4）．故答案為：（3，﹣4）．（2）如圖，△A1B1C1即為所求．15.（2023?鹿城區(qū)校級二模）如圖，在8×8的方格紙中，P，Q為格點，△ABC的頂點均在格點上，請按要求畫圖．?（1）在圖1中畫出格點△DEF，點A，B，C的對應(yīng)點分別為D，E，F(xiàn)，使得△DEF與△ABC關(guān)于線段PQ成軸對稱圖形．（2）在圖2中畫出△ABC平移后的格點△GHK，點A，B，C的對應(yīng)點分別為G，H，K，使得線段PQ平分△GHK的面積．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解答】解：（1）如圖所示，△DEF即為所求；（2）如圖所示，△GHK即為所求，答案不唯一（只需點H在線段PQ上）．16．如圖，在8×8的方格紙中，P，Q為格點，△ABC的頂點均在格點上，請按要求畫圖．?（1）畫出格點△DEF，點A，B，C的對應(yīng)點分別為D，E，F(xiàn)，使得△DEF與△ABC關(guān)于線段PQ成軸對稱圖形．（2）畫出△ABC平移后的格點△GHK，點A，B，C的對應(yīng)點分別為G，H，K，使得線段PQ平分△GHK的面積．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解答】解：（1）如圖所示，△DEF即為所求；（2）如圖所示，△GHK即為所求，答案不唯一（只需點H在線段PQ上）．17．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A（﹣2，4）、B（﹣3，1）、C（﹣1，2）．（1）在網(wǎng)格內(nèi)作△A'B'C'，使它與△ABC關(guān)于y軸對稱，并寫出△A'B'C'三個頂點的坐標(biāo)．（2）求出四邊形ABB′A′的面積．【答案】（1）△A'B'C'見解答，A′（2，4），B′（3，1），C′（1，2）；（2）15．【解答】解：（1）如圖所示，△A'B'C'即為所求，A′（2，4），B′（3，1），C′（1，2）；（2）四邊形ABB′A′的面積為×（4+6）×3＝15．【題型5利用軸對稱的性質(zhì)解決折疊問題】18．如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，將點A與點B分別沿MN和EF折疊，使點A、B與點C重合，則∠NCF的度數(shù)為（）A．18° B．19° C．20° D．21°【答案】C【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠ACB＝100°，∵將點A與點B分別沿MN和EF折疊，使點A、B與點C重合，∴∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝50°，∴∠NCF＝100°﹣30°﹣50°＝20°，故選：C．19．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，M是邊BC上一點，將△ABC沿AM折疊，點B恰好能與AC的中點D重合，若AB＝6，則M點到AB的距離是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解答】解：過點M作ME⊥AC于E，過點M作MF⊥AB于F，由折疊的性質(zhì)可得：∠BAM＝∠DAM，AD＝AB＝6，∴MF＝ME，∵D是AC的中點，∴AC＝2AD＝12，∵S△BAC＝S△BAM+S△CAM，即AB?AC＝AB?MF+AC?ME，∴×6×12＝×MF×6+×12×MF，解得：ME＝4，∴點M到AB的距離是4．故選：B．20．如圖，在三角形紙片ABC中，AB＝9cm，BC＝8cm，AC＝5cm，沿過點B的直線折疊這個三角形，使頂點C落在AB邊上的點E處，折痕為BD，則△ADE的周長為（）A．12cm B．9cm C．6cm D．5cm【答案】C【解答】解：由折疊的性質(zhì)得，BE＝BC＝8cm，CD＝DE，∴AE＝AB﹣BE＝9﹣8＝1（cm），∴△AED的周長＝AD+DE+AE＝AC+AE＝5+1＝6（cm）．故選：C．21．如圖，要判斷一張紙帶的兩邊a，b是否相互平行，提供了如下兩種折疊與測量方案：方案Ⅰ：沿圖中虛線折疊并展開，測量發(fā)現(xiàn)∠1＝∠2．方案Ⅱ：先沿AB折疊，展開后再沿CD折疊，測得AO＝BO，CO＝DO對于方案Ⅰ，Ⅱ，下列說法正確的是（）A．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行，Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ，Ⅱ都可行【答案】D【解答】解：對于方案Ⅰ，∵∠1＝∠2，∴a∥b，∴方案Ⅰ可行；對于方案Ⅱ，在△OAC和△OBD中，，∴△OAC≌△OBD（SAS），∴∠OAC＝∠OBD，∴AC∥BD，即：a∥b，∴方案Ⅱ可行，綜上所述：方案Ⅰ，Ⅱ都可行．故選：D．22．如圖，一塊直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（）A．2cm B．4cm C．3cm D．5cm【答案】C【解答】解：∵AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB＝＝10cm，∵AE＝AC＝6cm（折疊的性質(zhì)），∴BE＝4cm，設(shè)CD＝xcm，則在Rt△DEB中，42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3．故選：C．23．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點F在AC上，并且CF＝2，點E為BC上的動點（點E不與點C重合），將△CEF沿直線EF翻折，使點C落在點P處，PE的長為，則邊EF的長為（）A． B．3 C． D．4【答案】C【解答】解：根據(jù)折疊可知，∠C＝∠P，CF＝PF，CE＝PE，∵∠C＝90°，CF＝2，PE＝，∴∠P＝90°，PF＝2，在Rt△PEF中，EF＝＝＝．故選：C．24．一張長方形紙條按如圖所示折疊，EF是折痕，若∠EFB＝35°，則：①∠GEF＝35°；②∠EGB＝70°；③∠AEG＝110°；④∠EFC′＝145°．以上結(jié)論正確的有（）A．①② B．②③④ C．①②③ D．①②③④【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是長方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝35°，由折疊的性質(zhì)可得∠GEF＝∠DEF＝35°，故①正確；∴∠DEG＝35°×2＝70°，∴∠AEG＝180°﹣70°＝110°，故③正確；∵AD∥BC，∴∠EGB＝∠DEG＝70°，故②正確；又∠EFC＝180°﹣∠EFB＝180°﹣35°＝145°，由折疊的性質(zhì)可得：∠EFC'＝∠EFC＝145°，故④正確．結(jié)論正確的有①②③④．故選：D．25．將一張長方形紙片按圖2所示折疊后，再展開．如果∠1＝66°，那么∠2的度數(shù)為（）A．66° B．48° C．52° D．無法確定【答案】B【解答】解：由折疊的性質(zhì)可知，∠1＝∠3，∵∠1＝66°，∴∠3＝66°，∵長方形的兩條長邊平行，∴∠2+∠1+∠3＝180°，∴∠2＝48°，故選：B．26．如圖，把長方形紙條ABCD沿EF折疊，若∠EBF＝α，則∠1的度數(shù)為（）A． B．90°﹣α C．120°﹣α D．【答案】A【解答】解：∵長方形紙條ABCD沿EF折疊，∴∠DEF＝∠BEF，AD∥BC，∴∠1＝∠DEF，∠EBF＝∠AEB＝α，∴2∠DEF＝180°﹣α，∴∠1＝∠DEF＝90°﹣，故選：A．27．如圖，將△ABC折疊，使點C落在BC邊上，展開后得到折痕AD，則AD是△ABC的（）A．高線 B．中線 C．垂線 D．角平分線【答案】A【解答】解：∵將△ABC折疊，使點C落在BC邊上，∴AD⊥BC，∴AD是△ABC的高線，故選：A．28．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝100°，∠C＝70°．點M，N分別在AB，BC上，將四邊形ABCD沿MN對折，得到△FMN，若MF∥AD，F(xiàn)N∥DC，則∠D＝（）A．35° B．70° C．95° D．125°【答案】C【解答】解：∵MF∥AD，F(xiàn)N∥DC，∠A＝100°，∠C＝70°，∴∠BMF＝100°，∠FNB＝70°，∵將△BMN沿MN翻折，得△FMN，∴∠FMN＝∠BMN＝50°，∠FNM＝∠MNB＝35°，∴∠F＝∠B＝180°﹣50°﹣35°＝95°，∴∠D＝360°﹣100°﹣70°﹣95°＝95°．故選：C．29．如圖，長方形紙片ABCD，P為邊AD的中點，將紙片沿BP，CP折疊，使點A落在E處，點D落在F處，若∠1＝40°，則∠BPC大小為（）A．105° B．110° C．115° D．120°【答案】B【解答】解：由折疊可得：∠BPE＝∠APB＝∠APE，∠CPF＝∠DPC＝∠DPF，∵∠1＝40°，∠APE+∠1+∠DPF＝180°，∴∠APE+∠DPF＝140°，∴∠BPE+∠CPF＝（∠APE+∠DPF）＝70°，∴∠BPC＝∠1+∠BPE+∠CPF＝110°．故選：B．30．如圖，長方形紙帶ABCD，AD∥CB，將ABCD沿EF折疊，C、D兩點分別與C'、D'對應(yīng)，若∠1＝2∠2，則∠AEF的度數(shù)為108°．【答案】108°【解答】解：由折疊可知：∠DEF＝∠D'EF，∵AD∥BC，∴∠1＝∠DEF，∵∠1＝2∠2，∴∠DEF＝∠D'EF＝2∠2，∴∠2+∠DEF+∠D'EF＝5∠2＝180°，∴∠2＝36°，∴∠D'EF＝72°，∴∠AEF＝∠2+∠D'EF＝108°．故答案為：108°．31．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝120°，∠C＝60°．若將四邊形ABCD沿BD折疊后，頂點A恰好落在邊BC上的點E處（E與C不重合），則∠CDE的度數(shù)為60°．【答案】60°．【解答】解：如圖：∵∠A＝120°，∴∠DEB＝∠A＝120°，∴∠DEC＝60°，∵∠C＝60°，∴∠CDE＝60°．故答案為：60°．32．如圖，將一張白紙一角折過去，使角的頂點A落在A'處，BC為折痕，再將另一角∠EDB斜折過去，使BD邊落在∠A'BC內(nèi)部，折痕為BE，點D的對應(yīng)點為D′，設(shè)∠ABC＝35°，∠EBD＝65°，則∠A'BD'的大小為20°．【答案】20．【解答】解：根據(jù)翻折可知：∠A′BA＝2∠ABC＝2×35°＝70°，∴∠A′BD＝180°﹣∠A′BA＝110°，∵將另一角∠EDB斜折過去，使BD邊落在∠A'BC內(nèi)部，折痕為BE，∴∠D′BE＝∠EBD＝65°，∴∠A′BE＝∠A′BD﹣∠EBD＝110°﹣65°＝45°，∴∠A'BD'＝∠D′BE﹣∠A′BE＝65°﹣45°＝20°，∴∠A'BD'的大小為20°．故答案為：20．【題型6利用軸對稱的性質(zhì)解決最短路徑問題】33．如圖，在△ABC紙片中，∠BAC＝45°，BC＝4，且S△ABC＝5，P為BC上一點，將紙片沿AP剪開，并將△ABP、△ACP分別沿AB、AC向外翻折至△ABD、△ACE，連接DE，則△ADE面積的最小值為．【答案】．【解答】解：∵將△ABP、△ACP分別沿AB、AC向外翻折至△ABD、△ACE，∴AD＝AP，∠DAB＝∠PAB，AE＝AP，∠EAC＝∠PAC，∴AD＝AP＝AE，∠DAB+∠EAC＝∠PAB+∠PAC＝∠BAC＝45°，∴∠DAE＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，要使△ADE面積最小，即是使AD（AE）的長度最小，也就是AP長度最小，此時AP為△ABC的邊BC上的高，∵BC＝4，且S△ABC＝5，∴AP最小為＝＝，即AD（AE）的最小值為，∴△ADE面積的最小值為AD?AE＝××＝，故答案為：．34．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，動點P在邊AB上運動（不與端點重合），點P關(guān)于直線AC，BC對稱的點分別為P1，P2．則在點P的運動過程中，線段P1P2的長的最小值是9.6．【答案】9.6．【解答】解：如圖，連接CP，∵點P關(guān)于直線AC，BC對稱的點分別為P1，P2，∴∠ACP＝∠ACP1，∠BCP＝∠BCP