限時規(guī)范訓(xùn)練(限時練·夯基練·提能練)A級基礎(chǔ)夯實(shí)練1.給出三個命題：①若兩條直線和一個平面所成的角相等,則這兩條直線互相平行；②若兩條直線與一個平面垂直,則這兩條直線互相平行；③若兩條直線與一個平面平行,則這兩條直線互相平行．其中正確的命題的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選B.若兩條直線與同一個平面所成的角相等,則這兩條直線與平面的法向量夾角相等,這些直線構(gòu)成以法向量為軸的某個對頂圓錐．故①錯誤；兩條直線與平面垂直,則這兩條直線與平面的法向量平行,則根據(jù)公理4,兩直線平行,故②正確；兩條直線與一個平面平行,這兩條直線可能異面、平行或相交．故③錯誤．2.下列命題中成立的個數(shù)是()①直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線,則l∥α；②若直線l在平面α外,則l∥α；③若直線l∥b,直線b?α,則l∥α；④若直線l∥b,直線b?α,那么直線l就平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線．A．1 B．2C．3 D．4解析：選A.直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線,包括l?α和l∥α,故①不成立；直線l在平面α外,包括l與α相交和l∥α,故②不成立；直線l∥b,直線b?α,包括l?α和l∥α,故③不成立；直線l∥b,直線b?α,那么l平行于α內(nèi)與直線b平行的所有直線,所以直線l就平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線,故只有④成立．3.有如下三個命題：①分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線；②垂直于同一個平面的兩條直線是平行直線；③過平面α的一條斜線有一個平面與平面α垂直．其中正確命題的個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3解析：選C.①分別在兩個平面中的兩條直線不一定是異面直線,故①錯誤．②此命題是直線與平面垂直的性質(zhì)定理,故②正確．③可過斜線與平面α的交點(diǎn)作一條垂直于平面α的直線,則斜線與垂線所確定的平面即與平面α垂直,這樣的平面有且只有一個．故③正確．所以②③正確．4.設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,則下列命題正確的是()A．若m∥α,n∥α,則m∥nB．若α∥β,m?α,n?β,則m∥nC．若α∩β＝m,n?α,則n⊥βD．若m⊥α,m∥n,n?β,則α⊥β解析：選D.若m∥α,n∥α,則直線m,n可以是平行、相交、異面,所以A不正確．若α∥β,m?α,n?β,則直線m,n可能是平行或異面,所以B不正確．C選項(xiàng)顯然不正確．5.(棗莊模擬)設(shè)a,b為兩條不同的直線,α,β為兩個不同的平面．則下列四個命題中,正確的是()A．若a,b與α所成的角相等,則a∥bB．若a∥α,b∥β,α∥β,則a∥bC．若a?α,b?β,a∥b,則α∥βD．若a⊥α,b⊥β,α⊥β,則a⊥b解析：選D.對于選項(xiàng)A,a,b不一定平行,也可能相交；對于選項(xiàng)B,只需找個平面γ,使γ∥α∥β,且a?γ,b?γ即可滿足題設(shè),但a,b不一定平行；對于選項(xiàng)C,由直三棱柱模型可排除C.6.給出下列四個命題：①平面外的一條直線與這個平面最多有一個公共點(diǎn)；②若平面α內(nèi)的一條直線a與平面β內(nèi)的一條直線b相交,則α與β相交；③若一條直線和兩條平行線都相交,則這三條直線共面；④若三條直線交于同一點(diǎn),則這三條直線共面．其中真命題的序號是________．解析：①正確,因?yàn)橹本€在平面外,即直線與平面相交或直線平行于平面,所以最多有一個公共點(diǎn)．②正確,a,b有交點(diǎn),則兩平面有公共點(diǎn),則兩平面相交．③正確,兩平行直線可確定一個平面,又直線與兩平行直線的兩交點(diǎn)在這兩平行直線上,所以過這兩交點(diǎn)的直線也在平面內(nèi),即三線共面．④錯誤,這三條直線可以交于同一點(diǎn),但不在同一平面內(nèi)．答案：①②③7.(青島模擬)將一個真命題中的“平面”換成“直線”“直線”換成“平面”后仍是真命題,則該命題稱為“可換命題”．給出下列四個命題：①垂直于同一平面的兩直線平行；②垂直于同一平面的兩平面平行；③平行于同一直線的兩直線平行；④平行于同一平面的兩直線平行．其中是“可換命題”的是________．(填命題的序號)解析：由線面垂直的性質(zhì)定理可知①是真命題,且垂直于同一直線的兩平面平行也是真命題,故①是“可換命題”；因?yàn)榇怪庇谕黄矫娴膬善矫婵赡芷叫谢蛳嘟?所以②是假命題,不是“可換命題”；由公理4可知③是真命題,且平行于同一平面的兩平面平行也是真命題,故③是“可換命題”；因?yàn)槠叫杏谕黄矫娴膬蓷l直線可能平行、相交或異面,故④是假命題,故④不是“可換命題”．答案：①③8.如圖,平面α∥平面β∥平面γ,兩條直線a,b分別與平面α,β,γ相交于點(diǎn)A,B,C和點(diǎn)D,E,F.已知AB＝2cm,DE＝4cm,EF＝3cm,則AC的長為________cm.解析：因?yàn)槠矫姒痢纹矫姒隆纹矫姒?兩條直線a,b分別與平面α,β,γ相交于點(diǎn)A,B,C和點(diǎn)D,E,F,連接AD,BE,CF(圖略)．所以AD∥BE∥CF,所以eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF),因?yàn)锳B＝2cm,DE＝4cm,EF＝3cm,所以eq\f(2,BC)＝eq\f(4,3),解得BC＝eq\f(3,2)cm,所以AC＝AB＋BC＝2＋eq\f(3,2)＝eq\f(7,2)(cm)．答案：eq\f(7,2)9.如圖,在三棱錐S-ABC中,平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS＝AB,過點(diǎn)A作AF⊥SB,垂足為F,點(diǎn)E,G分別是棱SA,SC的中點(diǎn)．求證：(1)平面EFG∥平面ABC.(2)BC⊥SA.證明：(1)因?yàn)锳S＝AB,AF⊥SB,垂足為F,所以F是SB的中點(diǎn)．又因?yàn)镋是SA的中點(diǎn),所以EF∥AB.因?yàn)镋F?平面ABC,AB?平面ABC,所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又因?yàn)镋F∩EG＝E,所以平面EFG∥平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍿AB⊥平面SBC,且交線為SB,又因?yàn)锳F?平面SAB,AF⊥SB,所以AF⊥平面SBC,因?yàn)锽C?平面SBC,所以AF⊥BC.又因?yàn)锳B⊥BC,AF∩AB＝A,AF?平面SAB,AB?平面SAB,所以BC⊥平面SAB.又因?yàn)镾A?平面SAB,所以BC⊥SA.10.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠DAB＝60°,PD⊥平面ABCD,PD＝AD＝1,點(diǎn)E,F分別為AB和PC的中點(diǎn),連接EF,BF.(1)求證：直線EF∥平面PAD.(2)求三棱錐F-PEB的體積．解：(1)如圖,作FM∥CD交PD于點(diǎn)M,連接AM.因?yàn)辄c(diǎn)F為PC中點(diǎn),所以FM＝eq\f(1,2)CD.因?yàn)辄c(diǎn)E為AB的中點(diǎn),所以AE＝eq\f(1,2)AB＝FM.又AE∥FM,所以四邊形AEFM為平行四邊形,又EF?平面PAD,AM?平面PAD.所以EF∥AM.所以直線EF∥平面PAD.(2)連接EC.已知∠DAB＝60°,AE＝eq\f(1,2),AD＝1,由余弦定理,得DE⊥AB,又AB∥DC,則DE⊥DC,設(shè)F到平面BEC的距離為h.因?yàn)辄c(diǎn)F為PC的中點(diǎn),所以h＝eq\f(1,2)PD.從而有VF-PBE＝VP-BEF＝VP-BEC－VF-BEC＝eq\f(1,3)S△BEC·(PD－h(huán))＝eq\f(1,3)S△BEC·eq\f(1,2)PD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(\r(3),48).B級能力提升練11.如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為平行四邊形,E為AD的中點(diǎn),F為PC上一點(diǎn),當(dāng)PA∥平面EBF時,eq\f(PF,FC)＝()A.eq\f(2,3) B．eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)解析：選D.如圖,連接AC交BE于G,連接FG,因?yàn)镻A∥平面EBF,PA?平面PAC,平面PAC∩平面BEF＝FG,所以PA∥FG,所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(AG,GC).又AD∥BC,E為AD的中點(diǎn),所以eq\f(AG,GC)＝eq\f(AE,BC)＝eq\f(1,2),所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(1,2).12.如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別是棱BC,CC1的中點(diǎn),P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點(diǎn),若A1P∥平面AEF,則線段A1P長度的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(5),2))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，\r(2))) D．[eq\r(2),eq\r(3)]解析：選B.取B1C1的中點(diǎn)M,BB1的中點(diǎn)N,連接A1M,A1N,MN,可以證明平面AMN∥平面AEF,所以點(diǎn)P位于線段MN上,因?yàn)锳1M＝A1N＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),2),MN＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2),所以當(dāng)點(diǎn)P位于M,N處時,A1P的長度最長,當(dāng)P位于MN的中點(diǎn)O時,A1P的長度最短,此時A1O＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)))\s\up12(2))＝eq\f(3\r(2),4),所以A1O≤A1P≤A1M,即eq\f(3\r(2),4)≤A1P≤eq\f(\r(5),2),所以線段A1P長度的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2))),選B.13.如圖,ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體,M,N分別是棱A1B1,B1C1的中點(diǎn),P是棱AD上一點(diǎn),AP＝eq\f(a,3),過P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,則PQ＝()A.eq\f(2\r(2),3)a B．eq\f(2\r(3),3)aC.eq\f(\r(2),3)a D．eq\f(\r(3),3)a解析：選A.因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體,所以平面ABCD∥平面A1B1C1D1,又P是棱AD上一點(diǎn),過P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,所以MN∥PQ,又M,N分別是棱A1B1,B1C1的中點(diǎn),AP＝eq\f(a,3),所以CQ＝eq\f(a,3),所以DP＝DQ＝eq\f(2a,3),所以PQ＝eq\r(DP2＋DQ2)＝eq\f(2\r(2)a,3).14.在四面體ABCD中,M,N分別是△ACD,△BCD的重心,則四面體的四個面中與MN平行的是________．解析：如圖,取CD的中點(diǎn)E.連接AE,BE,由于M,N分別是△ACD,△BCD的重心,所以AE,BE分別過M,N,則EM∶MA＝1∶2,EN∶BN＝1∶2,所以MN∥AB.因?yàn)锳B?平面ABD,MN?平面ABD,AB?平面ABC,MN?平面ABC,所以MN∥平面ABD,MN∥平面ABC.答案：平面ABD與平面ABC15.如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分別是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中點(diǎn),N是BC的中點(diǎn),點(diǎn)M在四邊形EFGH上及其內(nèi)部運(yùn)動,則M只需滿足條件________時,就有MN∥平面B1BDD1(注：填上你認(rèn)為正確的一個條件即可)．解析：連接HN,FH,FN,則FH∥DD1,HN∥BD,∴平面FHN∥平面B1BDD1,當(dāng)M∈FH時,MN?平面FHN,此時MN∥平面B1BDD1.答案：點(diǎn)M在線段FH上(包含端點(diǎn))16.如圖,平面五邊形ABCDE中,AB∥CE,且AE＝2,∠AEC＝60°,CD＝ED＝eq\r(7),cos∠EDC＝eq\f(5,7).將△CDE沿CE折起,使點(diǎn)D到P的位置,且AP＝eq\r(3),得到四棱錐P-ABCE.(1)求證：AP⊥平面ABCE；(2)記平面PAB與平面PCE相交于直線l,求證：AB∥l.解：(1)在△CDE中,∵CD＝ED＝eq\r(7),cos∠EDC＝eq\f(5,7),由余弦定理得CE＝2.連接AC,∵AE＝2,∠AEC＝60°,∴AC＝2.又AP＝eq\r(3),∴在△PAE中,PA2＋AE2＝PE2,即AP⊥AE.同理AP⊥AC.而AC?平面ABCE,AE?平面ABCE,AC∩AE＝A,故AP⊥平面ABCE.(2)∵AB∥CE,且CE?平面PCE,AB?平面PCE,∴AB∥平面PCE.又平面PAB∩平面PCE＝l,∴AB∥l.C級素養(yǎng)加強(qiáng)練17.(山西太原質(zhì)檢)如圖,四邊形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD＝6,BC＝2AB＝4,E,F分別在BC,AD上,EF∥AB,現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起,使BE⊥EC.(1)若BE＝1,在折疊后的線段AD上是否存在一點(diǎn)P,使得CP∥平面ABEF？若存在,求出eq\f(AP,PD)的值；若不存在,說明理由；(2)求三棱錐A-CDF的體積的最大值,并求出此時點(diǎn)F到平面ACD的距離．解：(1)線段AD上存在一點(diǎn)P,使得CP∥平面ABEF,此時eq\f(AP,PD)＝eq\f(3,2).理由如下：當(dāng)eq\f(AP,PD)＝eq\f(3,2)時,eq\f(AP,AD)＝eq