人教版高中數(shù)學(xué)選修2-3PAGEPAGE1§2.3離散型隨機(jī)變量的均值與方差2．3.1離散型隨機(jī)變量的均值一、選擇題1．已知X的分布列為X－1012Peq\f(1,4)eq\f(3,8)eq\f(1,4)eq\f(1,8)則X的均值為()A．0B．－1C.eq\f(1,8)D.eq\f(1,4)2．已知ξ～B(n，eq\f(1,2))，η～B(n，eq\f(1,3))，且E(ξ)＝15，則E(η)等于()A．5B．10C．15D．203．已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，則a的值為()X4a9P0.50.1bA.5B．6C．7D．84．口袋中有編號分別為1、2、3的三個(gè)大小和形狀相同的小球，從中任取2個(gè)，取出的球的最大編號X的均值為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C．2D.eq\f(8,3)5．在某?；@球隊(duì)的首輪選拔測試中，參加測試的5名同學(xué)的投籃命中率分別為eq\f(3,5)，eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3)，每人均有10次投籃機(jī)會(huì)，至少投中6次才能晉級下一輪測試．假設(shè)每人每次投籃相互獨(dú)立，則晉級下一輪的大約有()A．2人B．3人C．4人D．5人6．如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體，切割成125個(gè)同樣大小的小正方體．經(jīng)過攪拌后，從中隨機(jī)取出一個(gè)小正方體，記它的涂油漆面數(shù)為X，則X的均值E(X)等于()A.eq\f(126,125) B.eq\f(6,5)C.eq\f(168,125) D.eq\f(7,5)7．甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對方多2分或打滿6局時(shí)停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為eq\f(2,3)，乙在每局中獲勝的概率為eq\f(1,3)，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)X的均值E(X)為()A.eq\f(241,81) B.eq\f(266,81)C.eq\f(274,81) D.eq\f(670,243)二、填空題8．今有兩臺獨(dú)立工作在兩地的雷達(dá)，每臺雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率分別為0.9和0.85，設(shè)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的雷達(dá)臺數(shù)為X，則E(X)＝________.9．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,300)·(eq\f(1,3))k·(eq\f(2,3))300－k(k＝0,1,2，…，300)，則E(X)＝________.10．某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列如下：X78910Px0.10.3Y已知X的均值E(X)＝8.9，則y的值為________．11．某電視臺智力闖關(guān)游戲節(jié)目中，準(zhǔn)備從甲、乙、丙三名幸運(yùn)觀眾中確定一人免費(fèi)參加“臺灣十日游”活動(dòng)，方案是：甲、乙兩人輪流拋擲一對骰子，甲先擲，乙后擲，然后甲再擲，…，規(guī)定先得到兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和等于7的一方獲得免費(fèi)參加“臺灣十日游”活動(dòng)，一旦決出勝負(fù)游戲便結(jié)束，且限定每人最多擲兩次，若甲、乙均未獲得，則由丙獲得，則游戲結(jié)束時(shí)拋擲次數(shù)ξ的均值為________．三、解答題12．若n是一個(gè)三位正整數(shù)，且n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等)．在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，且只能抽取一次．得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得－1分，若能被10整除，得1分．(1)寫出所有個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”；(2)若甲參加活動(dòng)，求甲得分X的分布列和均值E(X)．13.乒乓球臺面被球網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分，如圖，甲上有兩個(gè)不相交的區(qū)域A，B，乙被劃分為兩個(gè)不相交的區(qū)域C，D.某次測試要求隊(duì)員接到落點(diǎn)在甲上的來球后向乙回球．規(guī)定：回球一次，落點(diǎn)在C上記3分，在D上記1分，其他情況記0分．對落點(diǎn)在A上的來球，隊(duì)員小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為eq\f(1,2)，在D上的概率為eq\f(1,3)；對落點(diǎn)在B上的來球，小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為eq\f(1,5)，在D上的概率為eq\f(3,5).假設(shè)共有兩次來球且落在A，B上各一次，小明的兩次回球互不影響．求：(1)小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率；(2)兩次回球結(jié)束后，小明得分之和ξ的分布列與均值．

[答案]精析1．D2.B3.C4.D5.B6.B7．B[依題意，知X的所有可能取值為2,4,6.設(shè)每兩局比賽為一輪，則該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(5,9).若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響．從而有P(X＝2)＝eq\f(5,9)，P(X＝4)＝eq\f(4,9)×eq\f(5,9)＝eq\f(20,81)，P(X＝6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))2＝eq\f(16,81).故E(X)＝2×eq\f(5,9)＋4×eq\f(20,81)＋6×eq\f(16,81)＝eq\f(266,81).]8．1.759.10010.0.411.eq\f(671,216)[解析]拋擲一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)共有6×6＝36種不同結(jié)果，其中“點(diǎn)數(shù)之和為7”包含了(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)共6個(gè)結(jié)果，∴拋擲一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為7的概率為eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).∵ξ可取1,2,3,4，P(ξ＝1)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝2)＝eq\f(5,6)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,36)，P(ξ＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))2×eq\f(1,6)＝eq\f(25,216)，P(ξ＝4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))3×1＝eq\f(125,216)，∴ξ的概率分布列為：ξ1234Peq\f(1,6)eq\f(5,36)eq\f(25,216)eq\f(125,216)∴E(ξ)＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(5,36)＋3×eq\f(25,216)＋4×eq\f(125,216)＝eq\f(671,216).12．解(1)個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”有125,135,145,235,245,345.(2)根據(jù)題意，知全部“三位遞增數(shù)”的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(3,9)＝84，隨機(jī)變量X的可能取值為0，－1,1，因此P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,9))＝eq\f(2,3)，P(X＝－1)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,14)，P(X＝1)＝1－eq\f(1,14)－eq\f(2,3)＝eq\f(11,42).所以X的分布列為X0－11Peq\f(2,3)eq\f(1,14)eq\f(11,42)則E(X)＝0×eq\f(2,3)＋(－1)×eq\f(1,14)＋1×eq\f(11,42)＝eq\f(4,21).13．解(1)記Ai為事件“小明對落點(diǎn)在A上的來球回球的得分為i分”(i＝0,1,3)，則P(A3)＝eq\f(1,2)，P(A1)＝eq\f(1,3)，P(A0)＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).記Bj為事件“小明對落點(diǎn)在B上的來球回球的得分為j分”(j＝0,1,3)，則P(B3)＝eq\f(1,5)，P(B1)＝eq\f(3,5)，P(B0)＝1－eq\f(1,5)－eq\f(3,5)＝eq\f(1,5).記D為事件“小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上”．由題意，D＝A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3，由事件的獨(dú)立性和互斥性，得P(D)＝P(A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A1B0)＋P(A0B1)＋P(A0B3)＝P(A3)P(B0)＋P(A1)P(B0)＋P(A0)P(B1)＋P(A0)P(B3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,5)＝eq\f(3,10)，所以小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上的概率為eq\f(3,10).(2)由題意，隨機(jī)變量ξ可能的取值為0,1,2,3,4,6，由事件的獨(dú)立性和互斥性，得P(ξ＝0)＝P(A0B0)＝eq\f(1,6)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,30)，P(ξ＝1)＝P(A1B0＋A0B1)＝P(A1B0)＋P(A0B1)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)×eq\f(3,5)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝2)＝P(A1B1)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(1,5)，P(ξ＝3)＝P(A3B0＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A0B3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,5)＝eq\f(2,15)，P(ξ＝4)＝P(A3B1＋A1B3)＝P(A3B1)＋P(A1B3)＝eq\f(1,2)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,5)＝eq\f(11,30)，P(ξ＝6)＝P(A3B3)＝eq\f(1,