關(guān)于一些重要的概率分布§1、正態(tài)分布1.1什么是正態(tài)分布？對于連續(xù)型隨機(jī)變量而言，正態(tài)分布是最重要的一種概率分布，其形狀似“鐘型”。經(jīng)驗(yàn)表明：對于其值依賴于眾多微小因素且每一因素均產(chǎn)生微小的或正或負(fù)影響的連續(xù)型隨機(jī)變量來說，正態(tài)分布是一個(gè)相當(dāng)好的描述模型。如身高、體重、考試成績等。第2頁,共50頁，2024年2月25日，星期天為了方便，通常用：表示隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布。符號~表示隨機(jī)變量服從什么樣的分布；N表示正態(tài)分布；，2為正態(tài)分布的（總體）均值（或期望）和方差。X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，可在區(qū)間（－∞,+∞）內(nèi)任意取值。第3頁,共50頁，2024年2月25日，星期天

-

-2

2

68%（近似）3

-3

95%（近似）99.7%（近似）正態(tài)曲線下的區(qū)域示意圖第4頁,共50頁，2024年2月25日，星期天1.2正態(tài)分布的性質(zhì)：⑴正態(tài)分布曲線以均值

為中心，對稱分布。⑵正態(tài)分布的概率密度函數(shù)呈中間高、兩邊低，在均值處達(dá)到最高，向兩邊逐漸降低，即隨機(jī)變量在遠(yuǎn)離均值處取值的概率逐漸變小。⑶正態(tài)曲線下的面積約有68%位于±兩值之間；約有95%面積位于±2之間；約有99.7%的面積位于±3之間。這些區(qū)域可用作概率的度量。第5頁,共50頁，2024年2月25日，星期天⑷正態(tài)分布可由兩個(gè)參數(shù)，2來描述，即一旦知道，2的值，就可以根據(jù)附錄表查到隨機(jī)變量X落于某一區(qū)間的概率值。⑸兩個(gè)（或多個(gè)）正態(tài)分布隨機(jī)變量的線性組合仍服從正態(tài)分布。該性質(zhì)很重要，解釋如下：⑹正態(tài)分布的偏度為0，峰度為3。第6頁,共50頁，2024年2月25日，星期天令：假定X和Y相互獨(dú)立，設(shè)a、b為常數(shù)，考慮線性組合：W=aX+bY則有：其中，第7頁,共50頁，2024年2月25日，星期天例：令X表示在曼哈頓非商業(yè)區(qū)一花商每日出售玫瑰花數(shù)量，Y表示在曼哈頓商業(yè)區(qū)一花商每日出售玫瑰花的數(shù)量，假定X和Y均服從正態(tài)分布，且相互獨(dú)立。已知：X~N(100,64)，Y~N(150,81)，求兩天內(nèi)兩花商出售玫瑰花數(shù)量的期望和方差。W=2X+2Y根據(jù)上述公式，得：

E(W)=2E(X)+2E(Y)=500Var(W)=4Var(X)+4Var(Y)=580因此，W服從均值為500，方差為580的正態(tài)分布，即

W~N(500,580)第8頁,共50頁，2024年2月25日，星期天1.3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布由于期望和方差的不同，正態(tài)分布之間會存在一定的區(qū)別（見下圖），如何將其簡單化，從而引入標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

1

2不同均值，同方差的兩個(gè)正態(tài)分布圖第9頁,共50頁，2024年2月25日，星期天

1

2

1=

2不同均值，不同方差相同均值，不同方差第10頁,共50頁，2024年2月25日，星期天標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布如果變量X的均值為，方差為，定義一個(gè)新的變量Z，則根據(jù)性質(zhì)5，變量Z的均值為0，方差為1。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，我們稱之為單位或標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，用符號表示為：任一給定均值和方差的正態(tài)變量都可轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，將其標(biāo)準(zhǔn)化可以大大簡化計(jì)算。第11頁,共50頁，2024年2月25日，星期天例：變量X表示面包房每日出售的面包量，假定它服從均值為70、方差為9的正態(tài)分布，即X~(70,9)，求任給一天，出售面包數(shù)量大于75條的概率。首先，定義變量Z，Z=(75-70)/3≈1.67求：P(Z>1.67)查正態(tài)分布表得：P(0≦Z≦1.67)=0.4525則：P(Z>1.67)=0.5-0.4525=0.0475即每天出售面包的數(shù)量超過75條的概率為0.0475。第12頁,共50頁，2024年2月25日，星期天1.6700.45250.0475f(Z)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量概率密度函數(shù)第13頁,共50頁，2024年2月25日，星期天§2樣本均值的抽樣分布或概率分布引言：樣本均值是總體均值的估計(jì)量，但是由于樣本均值是依靠某一給定樣本而定，因此它的值會因隨機(jī)樣本的不同而變化。由此，我們將樣本均值看作隨機(jī)變量，在樣本是隨機(jī)抽取得到的條件下，求樣本均值的概率密度函數(shù)。隨機(jī)抽樣：表示總體中每一個(gè)個(gè)體有同等機(jī)會被選入樣本。獨(dú)立同分布隨機(jī)變量：由X1、X2，…，Xn構(gòu)成容量為n的隨機(jī)樣本Xs，如果所有的Xs是從同一個(gè)概率密度（Xi有相同的概率密度函數(shù)）中獨(dú)立抽取得到的，稱Xs為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量。第14頁,共50頁，2024年2月25日，星期天2.1樣本均值的概率密度例：已知正態(tài)分布的均值為10，方差為4，即N(10,4)。現(xiàn)在從這個(gè)正態(tài)總體中抽取20個(gè)隨機(jī)樣本，每個(gè)樣本包括20個(gè)觀察值，對抽取的每一個(gè)樣本，得到其樣本均值，因此，共有20個(gè)樣本均值。來自N(10,4)的20個(gè)樣本均值9.64110.13410.04010.2499.17410.32110.4809.50411.3868.6219.7409.7399.93710.18410.2509.76510.33410.41010.5710.57求和=201.05第15頁,共50頁，2024年2月25日，星期天20個(gè)樣本的頻率分布樣本均值范圍頻數(shù)頻率

8.5~9.010.059.0~9.520.109.5~10.050.2510.0~10.590.4510.5~11.020.1011.0~11.510.05第16頁,共50頁，2024年2月25日，星期天

8.759.259.7510.2510.7511.250.500.050.25樣本均值來自N(10,4)總體的20個(gè)樣本均值的分布第17頁,共50頁，2024年2月25日，星期天理論依據(jù)：若X1，X2，X3，…，Xn是來自于均值為，方差為2的正態(tài)總體的一隨機(jī)樣本。則樣本均值也服從正態(tài)分布，其均值為，方差為2/n，即：也就是說，樣本均值的抽樣（或概率）分布，同樣服從正態(tài)分布。第18頁,共50頁，2024年2月25日，星期天2.2樣本均值概率分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量：將樣本均值的概率密度轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布后，可以從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中計(jì)算某一給定樣本均值大于或小于給定的總體均值的概率。第19頁,共50頁，2024年2月25日，星期天例：令X代表某一型號汽車每消耗一加侖汽油所行駛的距離（英里）。已知X~(20,4)。則對于由一個(gè)25輛汽車組成的隨機(jī)樣本，求：每消耗一加侖汽油所行駛的平均距離大于21英里的概率。分析：由于X服從均值為20，方差為4的正態(tài)分布，則樣本均值也服從正態(tài)分布，其均值為20，方差為4/25。那么，第20頁,共50頁，2024年2月25日，星期天Z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求：查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率密度表得：即每消耗一加侖汽油所行駛的平均距離大于21英里的概率為0.0062。第21頁,共50頁，2024年2月25日，星期天2.3中心極限定理引言：從正態(tài)總體中抽樣，其樣本均值服從正態(tài)分布，那么，如果從其他總體中抽樣，情況如何呢？中心極限定理：如果X1，X2，…，Xn是來自(均值為，方差為2)任一總體的隨機(jī)樣本，隨著樣本容量的無限增大，其樣本均值趨于正態(tài)分布，其均值為，方差為2/n。第22頁,共50頁，2024年2月25日，星期天§3、

2分布3.1何謂

2分布？

2分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的一種概率分布，它與正態(tài)分布有緊密的關(guān)系。統(tǒng)計(jì)理論證明：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的平方服從自由度為1的

2分布，用符號表示為，其中，Z是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，即Z~N(0,1)；x2的下標(biāo)(1)表示自由度。自由度是指平方和中獨(dú)立觀察值的個(gè)數(shù)。因?yàn)槲覀兛紤]的是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的平方，故自由度為1。第23頁,共50頁，2024年2月25日，星期天現(xiàn)在令Z1，Z2,…，Zk為k個(gè)獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量（即每一個(gè)變量都是均值為0，方差為1的正態(tài)變量），現(xiàn)在對所有的變量Zs平方，則它們的平方和服從自由度為k的X2分布，即公式里的自由度為k，因?yàn)樵谒凶兞康钠椒胶椭校衚個(gè)獨(dú)立的觀察值。第24頁,共50頁，2024年2月25日，星期天

2分布的幾何圖形：f(

2)概率密度

2K=2K=5K=10

2變量的密度函數(shù)0第25頁,共50頁，2024年2月25日，星期天3.2

2分布的性質(zhì)⑴與正態(tài)分布不同，

2分布只取正值（它是平方和的分布），并且取值范圍從0到無限大。⑵與正態(tài)分布不同，

2分布是斜分布，其偏度取決于自由度的大小，自由度越小，越向右偏，但是隨著自由度的增大，逐漸呈對稱，接近于正態(tài)分布。⑶

2分布的期望值為k，方差為2k。k為

2分布的自由度。即

2分布的方差是其均值的2倍。⑷若E1、E2分別為自由度為k1,k2的兩個(gè)相互獨(dú)立的

2變量，則其和(Z1+Z2)也是一個(gè)

2變量，其自由度為(k1+k2)。第26頁,共50頁，2024年2月25日，星期天可以證明：樣本方差與總體方差的比值與自由度(n-1)的積服從自由度為(n-1)的

2分布。公式表示為：其中，

2為總體方差，S2為樣本方差，樣本容量為n。第27頁,共50頁，2024年2月25日，星期天§4、t分布回憶：若樣本均值，則變量Z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。即：假定已知和2的估計(jì)量S2，則可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差（S）代替總體標(biāo)準(zhǔn)差（），得到一個(gè)新的變量t。第28頁,共50頁，2024年2月25日，星期天根據(jù)統(tǒng)計(jì)理論得知：變量t服從自由度為(n-1)的t分布。注意：在這里，自由度為(n-1)，而不是n。結(jié)論：從正態(tài)總體中抽取隨機(jī)樣本，若該正態(tài)總體的均值為，但方差2用其估計(jì)量S2來代替，則其樣本均值服從t分布。通常用符號tk表示，其中k表示自由度。第29頁,共50頁，2024年2月25日，星期天k=120(正態(tài)）K=20K=50不同自由度下的t分布第30頁,共50頁，2024年2月25日，星期天t分布的性質(zhì)⑴t分布與正態(tài)分布相類似，具有對稱性。⑵t分布的均值與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布均值相同，為0，但方差為k/(n-2)。由此，在求t分布的方差時(shí)定義自由度必須大于2。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的方差等于1，因此，t分布方差總大于標(biāo)準(zhǔn)分布的方差，也就是說，t分布比正態(tài)分布略“胖”些。第31頁,共50頁，2024年2月25日，星期天t分布與正態(tài)分布：當(dāng)k增大時(shí)，t分布的方差接近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布方差值1。例如：當(dāng)k=10時(shí)，t分布的方差為10/8=1.25；當(dāng)k=30時(shí)，t分布的方差為30/28=1.07；當(dāng)k=100時(shí)，t分布的方差為100/98=1.02；結(jié)論：隨著自由度的逐漸增大，t分布近似于正態(tài)分布。注意：對于t分布，不要求其樣本容量很大，k=30時(shí)，t分布與正態(tài)分布已很近似。第32頁,共50頁，2024年2月25日，星期天t分布表的使用:0-1.8121.812例：自由度為10，P(t>1.812)=P(t<-1.812)=0.05P(︱t︱>1.812)=P(t>1.812)+P(t<-1.812)=0.10.050.05第33頁,共50頁，2024年2月25日，星期天t分布表舉例：例：變量X表示面包房每日出售的面包量，在15天內(nèi)，出售面包的樣本方差為16。假定真實(shí)的出售量為70條，求任意15天內(nèi)出售面包平均數(shù)量為74條的概率。分析：本例中已知樣本方差S2=16，則S=4，總體均值（真實(shí)的出售量）=70，運(yùn)用t變量公式得：第34頁,共50頁，2024年2月25日，星期天查t分布表，自由度為(n-1)=15-1=14當(dāng)自由度為14時(shí)，查表得，t值大于等于2.977的概率為0.005，大于等于4.140的概率為0.0005，所以，t值大于等于3.873的概率介于0.0005~0.005之間。練習(xí)1：上例中其他條件不變，現(xiàn)假定15天內(nèi)出售面包的平均數(shù)量為72條，求獲得此數(shù)量的概率。第35頁,共50頁，2024年2月25日，星期天按照上述步驟，首先運(yùn)用t變量公式，求出t變量。查t分布表，當(dāng)自由度為14時(shí)，t值大于等于1.761的概率為0.05，大于等于2.145的概率為0.025，因此，t值取1.936的概率介于0.025與0.05之間。第36頁,共50頁，2024年2月25日，星期天查t分布表的注意事項(xiàng)：⑴自由度為（n-1），而不是n。⑵t分布表具有對稱性，t值大于等于某一特定值的概率與t值小于等于該特定值相反數(shù)的概率相等。第37頁,共50頁，2024年2月25日，星期天§5、F分布F分布是如何定義的？令隨機(jī)樣本X1，X2，X3，…，Xm來自均值為

x和方差為

x2的正態(tài)總體，其樣本容量為m；隨機(jī)樣本Y1，Y2，Y3，…，Yn來自均值為

y和方差為

y2的正態(tài)總體，其樣本容量為n；且這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立。假設(shè)知道這兩個(gè)隨機(jī)樣本的樣本方差Sx2和Sy2（兩個(gè)總體方差的估計(jì)量）。第38頁,共50頁，2024年2月25日，星期天第39頁,共50頁，2024年2月25日，星期天定義一個(gè)新的變量F，第40頁,共50頁，2024年2月25日，星期天分析F值：如果這兩個(gè)總體方差真實(shí)相等，則計(jì)算出的F值接近于1，如果兩個(gè)總體方差真實(shí)值不相等，則F值不等于1；兩總體方差相差越大，則F值越大。統(tǒng)計(jì)理論表明：如果

x2=

y2（即兩總體方差相等），則F服從分子自由度為k1=(m-1)，分母自由度為k2=(n-1)的F分布。第41頁,共50頁，2024年2月25日，星期天需要說明一點(diǎn)：在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，更準(zhǔn)確的說法是：（Sx2/

x2）/（Sy2/

y2）服從F分布，但我們上式給出，

x2=

y2，故樣本方差之比服從F分布。F分布又稱為方差比分布，通常用符號表示為：其中的雙下標(biāo)表明了分子與分母的自由度。在計(jì)算F值時(shí)，將方差大的值放在上面，故F值總是大于或等于1。

第42頁,共50頁，2024年2月25日，星期天F分布的性質(zhì)⑴與

2分布類似，F(xiàn)分布也是斜分布，向右偏，其取值范圍也為0到無限大（見下圖）。0Ff(F)概率密度F2,2F50,50F10,2第43頁,共50頁，2024年2月25日，星期天⑵與

2分布類似，當(dāng)自由度k1，k2逐漸增大時(shí)，F(xiàn)分布近似于正態(tài)分布。⑶t分布變量的平方服從分子自由度為1，分母自由度為k的F分布，即⑷

2變量與其自由度之比近似為分母自由度為m，分子自由度很大（無限大）的F變量，即當(dāng)n∞第44頁,共50頁，2024年2月25日，星期天對于大容量的樣本，我們可以用

2分布來代替F分布；同樣，也可用F分布代替

2分布。性質(zhì)3也可以改寫為：