排列、組合的綜合應(yīng)用角度1數(shù)字問題在由數(shù)字0,1,2,3,4,5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，能被5整除的個數(shù)為(D)A．512 B．192C．240 D．108[解析]能被5整除的四位數(shù)末位是0或5的數(shù)，因此分兩類，第一類，末位為0時，其他三位從剩下的數(shù)中任意排3個即可，有Aeq\o\al(3,5)＝60個，第二類，末位為5時，首位不能排0，則首位只能從1,2,3,4選1個，第二位和第三位從剩下的4個數(shù)中任選2個即可，有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)＝48個，根據(jù)分類加法計數(shù)原理得可以組成60＋48＝108個不同的能被5整除的四位數(shù)，故選D.[引申](1)若將本例中“沒有”改為“有”，則結(jié)果為252；(2)本例組成的四位數(shù)中偶數(shù)的個數(shù)為156個，其中比2310大的四位偶數(shù)的個數(shù)為109個．(3)本例組成的四位數(shù)中1和3相鄰的個數(shù)為60.[解析](1)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,2)＝360,360－108＝252.(2)個位為0時有Aeq\o\al(3,5)＝60個；個位非0時有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)＝96個，故四位偶數(shù)有156個；其中比2310大的偶數(shù)中①前三位為231的有1個；②前兩位為23第三位為4或5的有3個；③前一位為2第二位為4或5的有9個；④前一位為4的有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,4)＝24個；⑤前一位為3或5的各有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,4)＝36個，故共有109個．(3)1、3分別在百位、千位的有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)＝24個；1、3分別在十位、百位的有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)＝18個；1、3分別在個位、十位的有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝18個．故1、3相鄰的四位數(shù)共有60個．角度2分組、分配問題如圖，“天宮空間站”是我國自主建設(shè)的大型空間站，其基本結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙三個部分．假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天員開展實驗，三艙中每個艙至少一人至多三人，則不同的安排方法有(A)A．450種 B．360種C．90種 D．70種[解析]由題知，可分兩種情況考慮：第一種：分人數(shù)為1、2、3的三組，共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,3)＝360種；第二種：分人數(shù)為2、2、2的三組，共有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))·Aeq\o\al(3,3)＝90種；所以不同的安排方法共有360＋90＝450種．故選A.名師點撥：1．?dāng)?shù)字問題注意“0”不能排在首位．2．分組、分配問題的解題策略是先分組后分配．(1)對于整體均分，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計數(shù)．(2)對于部分均分，解題時注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以m！，一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數(shù)．(3)對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．(角度1)(2024·湖北荊州中學(xué)月考)由1,2,3,4,5,6組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中奇數(shù)不相鄰，且2不在第二位，則這樣的六位數(shù)個數(shù)為(B)A．120種 B．108種C．96種 D．72種[解析]1,2,3,4,5,6組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中奇數(shù)不相鄰，先排3個偶數(shù)，然后把3個奇數(shù)插入即可，共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,4)＝144個，若2在第二位，則第一位一定為奇數(shù)，則從3個奇數(shù)中選擇一個放在第一位上，此時還剩下2個偶數(shù)和2個奇數(shù)安排在后四位上，則先排2個偶數(shù)，然后把剩下2個奇數(shù)插空即可，此時共有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝36個，因此符合條件的六位數(shù)有144－36＝108個，故選B.2．(角度2)(2024·重慶渝中區(qū)期中)為落實立德樹人的根本任務(wù)，踐行五育并舉，某學(xué)校開設(shè)A，B，C三門勞動教育校本課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)報名參加該校勞動教育校本課程的學(xué)習(xí)，每位同學(xué)僅報一門，每門至少有一位同學(xué)參加，則不同的報名方法有(B)A．60種 B．150種C．180種 D．300種[解析]根據(jù)題意，甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)選A，B，C三門德育校本課程，每位同學(xué)僅報一門，每門至少有一位同學(xué)參加，需要分三組，有兩類情況，①三組人數(shù)為1、1、3，此時有eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝