§8.5直線、平面垂直判定與性質(zhì)[考綱要求]

1.能以立體幾何中定義、公理和定理為出發(fā)點，認(rèn)識和了解空間中線面垂直相關(guān)性質(zhì)和判定定理.2.能利用公理、定理和已取得結(jié)論證實一些相關(guān)空間圖形位置關(guān)系簡單命題．1/641．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直定義假如一條直線l與平面α內(nèi)_______直線都垂直，就說直線l與平面α相互垂直．任意2/64(2)判定定理與性質(zhì)定理3/644/642.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直定義兩個平面相交，假如它們所成二面角是__________，就說這兩個平面相互垂直．直二面角5/64(2)判定定理與性質(zhì)定理6/647/64【思索辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)直線l與平面α內(nèi)無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.(

)(2)若直線a⊥平面α，直線b∥α，則直線a與b垂直．(

)(3)直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.(

)(4)若α⊥β，a⊥β?a∥α.(

)8/64(5)a⊥α，a?β?α⊥β.(

)(6)若兩平面垂直，則其中一個平面內(nèi)任意一條直線垂直于另一個平面．(

)【答案】

(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

(5)√

(6)×9/641．(教材改編)以下條件中，能判定直線l⊥平面α是(

)A．l與平面α內(nèi)兩條直線垂直B．l與平面α內(nèi)無數(shù)條直線垂直C．l與平面α內(nèi)某一條直線垂直D．l與平面α內(nèi)任意一條直線垂直【解析】

由直線與平面垂直定義，可知D正確．【答案】

D10/642．設(shè)平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥m，則“α⊥β”是“a⊥b”(

)A．充分無須要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也無須要條件11/64【解析】

若α⊥β，因為α∩β＝m，b?β，b⊥m，所以依據(jù)兩個平面垂直性質(zhì)定理可得b⊥α，又a?α，所以a⊥b；反過來，當(dāng)a∥m時，因為b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能確保b⊥α，所以不能推出α⊥β.【答案】

A12/643．(·上海六校聯(lián)考)已知m和n是兩條不一樣直線，α和β是兩個不重合平面，下面給出條件中一定能推出m⊥β是(

)A．α⊥β且m?α

B．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n，n?α且α∥β【解析】

由線線平行性質(zhì)傳遞性和線面垂直判定定理，可知C正確．【答案】

C13/644．(教材改編)PD垂直于正方形ABCD所在平面，連接PB，PC，PA，AC，BD，則一定相互垂直平面有________對．【解析】

因為PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7對．14/64【答案】

715/645．(教材改編)在三棱錐P-ABC中，點P在平面ABC中射影為點O，(1)若PA＝PB＝PC，則點O是△ABC________心．(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O是△ABC________心．16/64【解析】

(1)如圖1，連接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以O(shè)A＝OB＝OC，即O為△ABC外心．17/64(2)如圖2，∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，AB?平面PAB，∴PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG?平面PGC，∴AB⊥CG，即CG為△ABC邊AB高．同理可證BD，AH為△ABC底邊上高，即O為△ABC垂心．【答案】

(1)外(2)垂18/64題型一直線與平面垂直判定與性質(zhì)【例1】

(1)(·武漢調(diào)研)如圖所表示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE.證實：BD⊥平面PAC.19/64【證實】

∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD.∵PC⊥平面BDE，BD?平面BDE，∴PC⊥BD.又∵PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.20/6421/6422/64所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO.因為PD⊥平面ABC，CD?平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D得，CD⊥平面PAB，又PA?平面PAB，所以PA⊥CD.【方法規(guī)律】

(1)證實直線和平面垂直慣用方法：①判定定理；②垂直于平面?zhèn)鬟f性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直性質(zhì)．23/64(2)證實線面垂直關(guān)鍵是證線線垂直，而證實線線垂直則需借助線面垂直性質(zhì)．所以，判定定理與性質(zhì)定理合理轉(zhuǎn)化是證實線面垂直基本思想．(3)線面垂直性質(zhì)，慣用來證實線線垂直．跟蹤訓(xùn)練1

(·淄博模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC中點，作EF⊥PB交PB于點F.24/64(1)證實：PA∥平面EDB；(2)證實：PB⊥平面EFD.【證實】

(1)連接AC交BD于O，連接EO.25/64∵底面ABCD是矩形，∴點O是AC中點．又∵E是PC中點，∴在△PAC中，EO為中位線．∴PA∥EO，而EO?平面EDB，PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB.26/64(2)由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是矩形，∴DC⊥BC，且PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PDC，而DE?平面PDC，∴BC⊥DE.①∵PD＝DC，E是PC中點，27/64∴△PDC是等腰三角形，故DE⊥PC.②由①和②及BC∩PC＝C，得DE⊥平面PBC，而PB?平面PBC，∴DE⊥PB.又EF⊥PB且DE∩EF＝E，∴PB⊥平面EFD.28/64題型二平面與平面垂直判定與性質(zhì)【例2】

(1)(·濟寧模擬)如圖1，在四棱錐P-ABCD中

，PA⊥底面ABCD，平面ABCD為正方形，E為側(cè)棱PD上一點，F(xiàn)為AB上一點，該四棱錐正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖2所表示．29/64①求四面體PBFC體積；②證實：AE∥平面PFC；③證實：平面PFC⊥平面PCD.30/6431/64③證實

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.∵平面ABCD為正方形，∴AD⊥CD.32/64∴CD⊥平面PAD，∵AE?平面PAD，∴CD⊥AE.∵PA＝AD，E為PD中點，∴AE⊥PD.33/64CD∩PD＝D，∴AE⊥平面PCD.∵AE∥FQ，∴FQ⊥平面PCD.∵PQ?平面PFC，∴平面PFC⊥平面PCD.34/64(2)(·云南名校聯(lián)考)如圖，AB為圓O直徑，點E，F(xiàn)在圓O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圓O所在平面相互垂直，且AD＝EF＝AF＝1，AB＝2.①求證：平面AFC⊥平面CBF；②在線段CF上是否存在一點M，使得OM∥平面DAF？并說明理由．35/64【解析】

①證實

∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，∴CB⊥平面ABEF，∵AF?平面ABEF，∴AF⊥CB，又∵AB為圓O直徑，∴AF⊥BF，∵CB∩BF＝B，∴AF⊥平面CBF.∵AF?平面AFC，∴平面AFC⊥平面CBF.36/6437/64∴MNAO為平行四邊形，∴OM∥AN，又AN?平面DAF，OM?平面DAF，∴OM∥平面DAF.即存在一點M為CF中點，使得OM∥平面DAF.【方法規(guī)律】

面面垂直性質(zhì)應(yīng)用技巧(1)兩平面垂直，在一個平面內(nèi)垂直于交線直線必垂直于另一個平面．這是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直依據(jù)，利用時要注意“平面內(nèi)直線”．(2)兩個相交平面同時垂直于第三個平面，那么它們交線也垂直于第三個平面，此性質(zhì)在不是很復(fù)雜題目中，要對此進行證實．38/64跟蹤訓(xùn)練2

(·北京)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.39/64(1)求證：DC⊥平面PAC；(2)求證：平面PAB⊥平面PAC；(3)設(shè)點E為AB中點，在棱PB上是否存在點F，使得PA∥平面CEF？說明理由．【解析】

(1)證實

因為PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.又因為DC⊥AC，PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.40/64(2)證實

因為AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因為PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.所以AB⊥平面PAC.所以平面PAB⊥平面PAC.41/64(3)棱PB上存在點F，使得PA∥平面CEF.證實以下：取PB中點F，連接EF，CE，CF.因為E為AB中點，所以EF∥PA.又因為PA?平面CEF，所以PA∥平面CEF.42/64題型三線面角、二面角求法【例3】

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC中點．(1)求PB和平面PAD所成角大??；(2)證實：AE⊥平面PCD；(3)求二面角A-PD-C正弦值．43/64【解析】

(1)在四棱錐P-ABCD中，因為PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，從而AB⊥平面PAD，故PB在平面PAD內(nèi)射影為PA，從而∠APB為PB和平面PAD所成角．在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成角大小為45°.44/64(2)證實

在四棱錐P-ABCD中，因為PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，故CD⊥PA.由條件CD⊥AC，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又AE?平面PAC，∴AE⊥CD.由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC中點，∴AE⊥PC.又PC∩CD＝C，綜上得AE⊥平面PCD.45/64(3)過點E作EM⊥PD，垂足為M，連接AM，如圖所表示．由(2)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD內(nèi)射影是EM，則可證得AM⊥PD.所以∠AME是二面角A-PD-C平面角．由已知，可得∠CAD＝30°.設(shè)AC＝a，可得46/6447/64【方法規(guī)律】

求線面角、二面角慣用方法：(1)線面角求法：找出斜線在平面上射影，關(guān)鍵是作垂線，找垂足，要把線面角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解．(2)二面角大小求法：二面角大小用它平面角來度量．平面角作法常見有①定義法；②垂面法．注意利用等腰、等邊三角形性質(zhì)．48/6449/6450/64又因為FG?平面BED，OE?平面BED，所以FG∥平面BED.51/6452/64(3)因為EF∥AB，所以直線EF與平面BED所成角即為直線AB與平面BED所成角．過點A作AH⊥DE于點H，連接BH.又因為平面BED∩平面AED＝ED，由(2)知AH⊥平面BED，所以直線AB與平面BED所成角即為∠ABH