第17章勾股定理單元檢測一、單選題1．下列各式中，正確的是（）A．(-4)2=4 B．(-4)2=-4 C．【答案】A【解析】【解答】解：A.(-4)2B.(-4)2C.16=4D.±4故答案為：A.【分析】根據(jù)二次根式的化簡法則，分別化簡四個選項判斷正誤即可得到答案.2．如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是線段BC上的動點(不含端點B，C)．若線段AD長為正整數(shù)，則點D的個數(shù)共有()A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】C【解析】【解答】解：過A作AE⊥BC于E，∵AB=AC=5，BC=8，∴BE=EC=4，∴AE=3，∵D是線段BC上的動點（不含端點B，C），∴AE≤AD＜AB，即3≤AD＜5，∵AD為正整數(shù)，∴AD=3或AD=4，當AD=4時，E的左右兩邊各有一個點D滿足條件，∴點D的個數(shù)共有3個．故答案為：C．【分析】過A作AE⊥BC于E，利用等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理氣促胡AD=3，當D與E重合時，AD最短，從而可得AE≤AD＜AB，即3≤AD＜5，由于AD為正整數(shù)，據(jù)此即得結(jié)論.3．（2022八上·越城期末）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，若小正方形的邊長是1，則任意兩個格點間的距離不可能是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解析】【解答】解：∵在3×3的正方形網(wǎng)格中，若小正方形的邊長是1，∴任意兩個格點間的距離為22+22=8，32+1∴任意兩個格點間的距離不可能是7，故答案為：A.【分析】利用方根紙的特點及勾股定理算出任意兩點間距離的所有情況，即可判斷得出答案.4．下列各組數(shù)中，以a，b，c為邊的三角形不是直角三角形的是（）A．a(chǎn)=3，b=4，c=5 B．a(chǎn)=7，b=24，c=25C．a(chǎn)=4，b=5，c=6 D．a(chǎn)=6，b=8，c=10【答案】C【解析】【解答】解：A，32+42=25=（5）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此選項錯誤；B，72+242=252，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此選項錯誤；C，42+52=41≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故此選項正確；D，62+82=100=102，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此選項錯誤；故選：C．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個是直角三角形判定則可．如果有這種關(guān)系，就是直角三角形，沒有這種關(guān)系，就不是直角三角形．5．實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是（）A．|a|<|b| B．a(chǎn)>-b C．b>a D．a(chǎn)>-2【答案】C【解析】【解答】A、如圖所示：-3＜a＜-2，1＜b＜2，故此選項不符合題意；B、如圖所示：a＜-b，故此選項不符合題意；故答案為：C．【分析】通過觀察數(shù)軸可得a<b，且|a|>|b|，據(jù)此逐項進行判斷.6．如圖，有兩棵樹，一棵高12m，另一棵高4m，兩樹相距15m，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛行（）A．8m B．10m C．13m D．17m【答案】D【解析】【解答】解：如圖，設(shè)大樹高為AB=10=2m，小樹高為CD=4m，過C點作CE⊥AB于E，連接AC，則四邊形EBDC是矩形，∴EB=CD=4m，EC=15m，AE=AB﹣EB=12﹣4=8（m），在Rt△AEC中，AC=AE2+E故小鳥至少飛行17m．故選：D．【分析】根據(jù)“兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進行直線飛行，所行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出．7．如圖所示，一只螞蟻在正方體的一個頂點A處，它能爬到頂點B處尋找食物，若這個正方體的邊長為1，則這只螞蟻所爬行的最短路程為（）A．8 B．2+1 C．5 D．3【答案】C【解析】【解答】解：將正方體展開，如圖所示：在直角△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=2，BC=1，∴AB=AC故選C．【分析】先把正方體展開，連接AB，再根據(jù)勾股定理求出AB的值即可．8．（2022八下·東川期末）若△ABC三邊a、b、c滿足|a-3|+(b-4)A．直角三角形 B．等腰三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形【答案】A【解析】【解答】解：∵|a-3|+(b-4)∴a-3=0，∴a=3，∴a2∴△ABC是直角三角形；故答案為：A．【分析】利用非負數(shù)之和為0的性質(zhì)求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理證明即可。9．等邊△ABO在平面直角坐標系內(nèi)的位置如圖所示，已知△ABO的邊長為6，則點A的坐標為（）A．（﹣3，3） B．（3，﹣33）C．（﹣3，33） D．（﹣3，﹣33）【答案】C【解析】【解答】解：過點A作AC⊥x軸于點C，∵∠AOB=60°∴∠CAO=30°，∴CO=12∴由勾股定理可知：AC=33，∴A（﹣3，33），故選（C）【分析】過點A作AC⊥x軸于點C，然后根據(jù)三線合一即可求出AC和OC的長度．10．（2021八上·畢節(jié)期末）下列命題中，是真命題的有（）①以1、2、3為邊的三角形是直角三角形，則1、2、3是一組勾股數(shù)；②若一直角三角形的兩邊長分別是5、12，則第三邊長為13；③二次根式nm④在實數(shù)0，﹣0.3333……，π3，0.020020002，5，0.23456…，3⑤東經(jīng)113°，北緯35.3°能確定物體的位置.A．①②③④⑤ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．④⑤【答案】D【解析】【解答】解：①以1、2、3為邊的三角形是直角三角形，但1、2、3不是勾股數(shù)，故該項不是真命題；②若一直角三角形的兩邊長分別是5、12，則第三邊長為13或119，故該項不是真命題；③二次根式nm④在實數(shù)0，﹣0.3333……，π3，0.020020002，5，0.23456…，3⑤東經(jīng)113°，北緯35.3°能確定物體的位置，故該項是真命題；故答案為：D.【分析】①勾股數(shù)就是滿足其中兩個數(shù)的平方和等于第三個數(shù)的平方的三個正整數(shù)，據(jù)此進行判斷；②分兩種情況：12為直角邊或12為斜邊，利用勾股定理分別計算，再判斷即可；③最簡二次根式必須滿足兩個條件：被開方數(shù)不含分母和被開方數(shù)不含能開方開得盡的因數(shù)或因式；據(jù)此判斷即可；④無理數(shù)就是無限不循環(huán)的小數(shù)，常見的無理數(shù)有四類：①開方開不盡的數(shù)，②與π有關(guān)的數(shù)，③規(guī)律性的數(shù)，如0.101001000100001000001…（每兩個1之間依次多一個0）這類有規(guī)律的數(shù)，④銳角三角函數(shù)，如sin60°等，據(jù)此逐一判斷；⑤地圖上確定物體的位置：經(jīng)度和緯度，據(jù)此判斷即可.二、填空題11．一個直角三角形的兩條直角邊的長分別為5cm和12cm，則斜邊長為cm?！敬鸢浮?3【解析】【解答】由勾股定理得：斜邊長52【分析】由勾股定理，直角三角形的斜邊的長，等于兩直角邊平方和的算數(shù)平方根，即可算出答案。12．如圖，一旗桿被大風刮斷，旗桿的頂部著地點到旗桿底部的距離為4m，折斷點離旗桿底部的高度為3m，則旗桿的高度為m.【答案】8【解析】【解答】解：依題可得：AC=4，AB=3.∴BC=A∴旗桿的高度為：AB+BC=3+5=8(米).13．在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，則△ABC的周長為．【答案】42或32【解析】【解答】解：此題應(yīng)分兩種情況說明：（1）當△ABC為銳角三角形時，在Rt△ABD中，BD=A在Rt△ACD中，CD=∴BC=5+9=14∴△ABC的周長為：15+13+14=42；（2）當△ABC為鈍角三角形時，在Rt△ABD中，BD=A在Rt△ACD中，CD=A∴BC=9﹣5=4．∴△ABC的周長為：15+13+4=32故答案是：42或32．【分析】本題應(yīng)分兩種情況進行討論：（1）當△ABC為銳角三角形時，在Rt△ABD和Rt△ACD中，運用勾股定理可將BD和CD的長求出，兩者相加即為BC的長，從而可將△ABC的周長求出；（2）當△ABC為鈍角三角形時，在Rt△ABD和Rt△ACD中，運用勾股定理可將BD和CD的長求出，兩者相減即為BC的長，從而可將△ABC的周長求出．14．某校校門口有一個底面為等邊三角形的三棱柱（如圖）．學校計劃在三棱柱的側(cè)面上，從頂點A繞三棱柱側(cè)面一周到頂點A＇安裝燈帶，已知此三棱柱的高為5m，底面邊長為2m，則燈帶的長度至少為m．【答案】61【解析】【解答】解：解：將三棱柱展開如圖，連接A’A，則A’A的長度就是彩帶的最短長度，三棱柱的高為5m，底面邊長為2m，∴燈帶的長度至少為：A'A=5故答案為61.【分析】先畫出三棱柱的側(cè)面展開圖，再根據(jù)勾股定理求解.15．（2022八下·大興期中）如圖，點C為線段AB延長線上一點，正方形AEFG和正方形BCDE的面積分別為8和4，則△EDF的面積為．【答案】2【解析】【解答】解：如圖所示，連接正方形BCDE的對角線CE，BD，且CE交BD于點O，∴∠BEC=45°，CE⊥BD，∵正方形AEFG和正方形BCDE的面積分別為8和4，∴正方形AEFG的邊長為8=22，正方形BCDE的邊長為∴EF=AE=22∵點C是線段AB延長線上一點，∴∠ABE=90°，∴AB=AE∴Rt?ABE是等腰直角三角形，∴∠AEB=45°，∵∠AEF+∠AEB+∠BEC=180°，∴點F、E、C在同一直線上，∵CE⊥BD，∴OD=12∴S?EDF故答案為：2．【分析】連接正方形BCDE的對角線CE，BD，且CE交BD于點O，由正方形的性質(zhì)可得∠BEC=45°，CE⊥BD，根據(jù)正方形的面積可求出EF=AE=22，BE=CD=BC=2，在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AB=2，即得Rt?ABE是等腰直角三角形，從而得出點F、E、C在同一直線上，由正方形的性質(zhì)及勾股定理可求出OD=12BD=三、解答題16．如圖，△ABC的邊AB=8，BC=5，AC=7．求BC邊上的高．【答案】解：作AD⊥BC于D，由勾股定理得，AD2=AB2-BD2，AD2=AC2-CD2，∴AB2-BD2=AC2-CD2，即82-（5-CD）2=72-CD2，解得，CD=1，則BC邊上的高AD=AC【解析】【分析】作AD⊥BC于D，由勾股定理得AD2=AB2-BD2，AD2=AC2-CD2，從而可得AB2-BD2=AC2-CD2，即得82-（5-CD）2=72-CD2，據(jù)此求出CD的長，利用勾股定理求出AD的長即可.17．（2021八上·佛山期中）如圖，四邊形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求證：∠D=90°．【答案】解：如圖，連接AC，∵∠B=90°，AB=20，BC=15，∴AC=∵CD=7，AD=24，∴CD2∴A∴△ADC是直角三角形，AC是斜邊∴∠D=90°【解析】【分析】連接AC，由∠B=90°，AB=20，BC=15，利用勾股定理得出AC的值，由CD=7，AD=24，得出AC2=625，由此得出△ADC18．一個直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種新的驗證方法.如圖，火柴盒的一個側(cè)面ABCD倒下到AB/C/D/的位置，連接CC/，設(shè)【答案】證明：四邊形BCC′D′為直角梯形，∴S梯形BCC′D′=12（BC+C′D′）?BD′=(a+b)又∵∠AB′C′=90°，Rt△ABC≌Rt△AB′C′∴∠BAC=∠B′AC′.∴∠CAC′=∠CAB′+∠B′AC′=∠CAB′+∠BAC=90°；∴S梯形BCC′D′=S△ABC+S△CAC′+S△D′AC′=12∴(a+b)2∴a【解析】【分析】由題意知，四邊形BCC′D′的面積從整體來看是一個直角梯形，可利用直角梯形的面積公式進行表示；從四邊形的構(gòu)成來看，是由三個直角三角形組成，根據(jù)三角形的面積公式來進行表示；由兩種表示方法的結(jié)果相等可列等式，整理即可求解．四、綜合題19．如圖，在△ABC中，AC＝21，BC＝13，D是AC邊上一點，BD＝12，AD＝16，（1）若E是邊AB的中點，求線段DE的長（2）若E是邊AB上的動點，求線段DE的最小值．【答案】（1）解：∵AC＝21，AD＝16，∴CD=21-16=5，∵DC2+BD2=52+122=169，BC2=132=169，∴DC2+BD2=BC2，∴△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中，由勾股定理得AB=152∵∠ADB=90°，E為斜邊AB的中點，∴DE=12AB=1（2）解：當DE⊥AB時，DE有最小值.此時AB×DE=AD×DB，即20DE=16×12，解得DE=485【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可得△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°，從而利用勾股定理求得AB=20，又直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可求得DE長；（2）點到直線的距離垂線段最短，所以當DE⊥AB時，DE有最小值，從而分別利用兩個直角邊和斜邊及其上的高求三角形ABD的面積，即可求得DE長.20．（2021八下·東陽期末）已知關(guān)于x的方程：x2﹣（6+m）x+9+3m＝0.（1）求證：無論m為何值，方程都有實數(shù)根.（2）若該方程的兩個實數(shù)根恰為斜邊為5的直角三角形的兩直角邊長，求m的值.【答案】（1）證明：對于關(guān)于x的方程x2-（6+m）x+9+3m=0，∵a=1，b=-（6+m），c=9+3m，∴△=b2-4ac=（6+m）2∴無論m為何值方程都有兩個實數(shù)根；（2）解：∵直角三角形的兩直角邊AB、AC的長是該方程的兩個實數(shù)根，∴AB+AC=m+6，AB?AC=9+3m，∵△ABC是直角三角形，∴AB2+AC2=BC2，∴（AB+AC）2-2AB?AC=BC2，即（m+6）2-2×（9+3m）=52，解得：m=-7或m=1，又∵AB?AC=9+3m，m為正數(shù)，∴m的值是1.【解析】【分析】（1）首先根據(jù)△=b2-4ac表示出△，然后根據(jù)其結(jié)果的正負即可確定方程根的情況；

（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得AB+AC=m+6，AB?AC=9+3m>0，根據(jù)勾股定理可得AB2+AC2=(AB+AC)2-2AB?AC=BC2，代入求解可得m的值.21．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，將△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF，若AE=8cm．（1）求△ABC向右平移的距離AD的長；（2）求四邊形AEFC的面積．【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，∴AB=AC2+BC2=5cm．∵∴AD=AE﹣DE=3cm（2）解：作CG⊥AB于G，如圖，由三角形的面積公式得：CG?AB=AC?BC，∴5×CG=3×4，∴CG=125，∴四邊形AEFC的面積=12（CF+AE）×CG=12×（3+8）×125答：四邊形AEFC的面積是665cm【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AB，根據(jù)平移的性質(zhì)，AB=DE=5cm，根據(jù)AD=AE﹣DE即可算出答案；

（2）作CG⊥AB于G，如圖，根據(jù)三角形的面積公式由CG?AB=AC?BC，得出CG的長，再根據(jù)四邊形AEFC的面積=1222．（2022八上·長春期末）【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版八年級上冊數(shù)學教材第117頁的部分內(nèi)容．（1）請結(jié)合圖①，寫出完整的證明過程；（2）如圖②，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=2，P是射線BC上一點，以AP為直角邊在AP邊的右側(cè)作△APD，使∠APD=90°，AP=PD．過點D作DE⊥BC于點E，當DE=2時，則BD=【答案】（1）證明：∵△ABE≌△DEC，∴∠ABE=∠DEC，∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠AEB+∠CED=90°，∴∠BEC=90°，∴△BEC是等腰直角三角形，∴S△BEC∵S△BEC∴c2∴c2（2）2【解析】【解答】解：（2）如圖②，過點A作AH⊥BC于H，∵△ABC是等腰直角三角形，AB=2∴AH=BH=CH=1，∵∠APH+∠PAH=90°=∠APH+∠DPE，∴∠PAH=∠DPE，在△APH和△PDE中，∠PAH=∠DPE∠AHP=∠DEP∴△APH≌△PDE(AAS)，∴DE=PH=2，AH=PE=1，∴BE=BH+