2.5.2橢圓的幾何性質(zhì)（1）

教材分析

本節(jié)課選自《2019人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》第二章《平面解析幾何》，本節(jié)課

主要學(xué)習(xí)橢圓的幾何性質(zhì)

教材的地位和作用地位：本節(jié)課是在橢圓的概念和標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，運(yùn)用代數(shù)的方法，研

究橢圓的簡單幾何性質(zhì)及簡單應(yīng)用.本節(jié)課內(nèi)容的掌握程度直接影響學(xué)習(xí)雙曲線和拋物線幾何性

質(zhì)。作用：提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，及分析問題和解決問題的能力。因此，

內(nèi)容在解析幾何中占有非常重要的地位。

權(quán)學(xué)目標(biāo)與被心素養(yǎng)

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.掌握橢圓的幾何性質(zhì)，掌握a,b,c,e的幾1.數(shù)學(xué)抽象：橢圓的幾何性質(zhì)

何意義及a,b,c,e之間的相互關(guān)系.

2.邏輯推理：利用橢圓的方程研究橢圓的幾何性

B.嘗試?yán)脵E圓的方程研究橢圓的幾何性

3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用橢圓的方程研究橢圓的幾何性

質(zhì).

C.嘗試?yán)脵E圓的知識解決簡單的實(shí)際問4.數(shù)學(xué)建模：利用橢圓的知識解決應(yīng)用問題

題.5.直觀想象：離心率的幾何意義

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)

難點(diǎn)：利用橢圓的方程研究橢圓的幾何性質(zhì)

課前發(fā)備

多媒體

教學(xué)過程

教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，探究新知

下面我們由橢圓的方程來研究橢圓具有的幾何性質(zhì)

已知橢圓C的方程為9+必=1,根據(jù)這個方程完成下列任務(wù)：

通過特例，通過

(I)已觀察方程中與是否有取值范圍，由此指出橢圓C在

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，運(yùn)

平面直角坐標(biāo)系中的位置特征；

用方程與函數(shù)的思

(2)指出橢圓C是否關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對稱；想，獲得橢圓的幾何

性質(zhì)，進(jìn)而推廣到一

(3)指出橢圓C與坐標(biāo)軸是否有交點(diǎn)，如果有，求出交點(diǎn)坐標(biāo).

般。幫助學(xué)生進(jìn)一步

體會數(shù)形結(jié)合的思

想方法。發(fā)展學(xué)生數(shù)

學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和

橢圓的幾何性質(zhì)數(shù)學(xué)建模的核心素

養(yǎng)。

焦點(diǎn)的

隹占在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

位置

圖形

JXJ\BX

大2

標(biāo)準(zhǔn)X222~2

1y2y?i

b1)1j.1aL7u)

方程Yb2

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

范圍-a<x<a且-b〈y〈b-b<x<bS-a<y<a

A(-a,O),A(a,0),A(O,-a),A(0,a),

頂點(diǎn)1212

BW-bbBQb)BfbOBJb,。)

軸長長軸長為互，短軸長為2b

焦點(diǎn)F(-c,0),F(c,0)F(0,-c),F(0,c)

1212

焦距2c

對稱性對稱軸:X軸、y軸,對稱中心:坐標(biāo)原點(diǎn)

離心率0=工￡(0,1),其中c=—*

a

1.已知橢圓C：4+t=l的一個焦點(diǎn)為(2,0),則C的離心率為()

az4

A.iB.iC.立D當(dāng)

3223

解析:6/2=4+22=8,；.a=2V^.；.e=；==曰.故選C.

答案:c

2.判斷

(1)橢圓掇+，=l(a>6>0)的長軸長是a.()

(2)若橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，長軸長與短軸長分別為10,8,則橢圓的

方程為蓑+￡=1.()

(3)設(shè)F為橢圓馬+息=13>6>0)的一個焦點(diǎn),M為其上任一點(diǎn)，則陽用

azbz

的最大值為a+c(c為橢圓的半焦距).()

答案:(l)x(2)x(3)4

(1)根據(jù)橢圓離心率的定義判斷橢圓離心率的取值范圍；

(2)猜想橢圓離心率的大小與橢圓的形狀有什么聯(lián)系，并嘗試證

明。

思考1.離心率對橢圓扁圓程度的影響？

提示:如圖所示，在RtABFO中,cosNBB。一，記e-,則0<e<l,e越大，

2aa

ZBF.O越小，橢圓越扁;e越小/2。越大，橢圓越接近于圓.

二、典例解析

例1已知橢圓C1：W+[=1，設(shè)橢圓C2與橢圓C1的長軸長、短軸長

1(J(J64

分別相等,且橢圓c的焦點(diǎn)在y軸上.

(1)求橢圓q的半長軸長、半短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率；

(2)寫出橢圓C的方程，并研究其性質(zhì).

2

22

解:(1)由橢圓C1：三+占=1,可得其半長軸長為10,半短軸長為8,焦點(diǎn)

10064

坐標(biāo)為(6,0),(-6,0),離心率e=|.

22

(2)橢圓C2：三+5=1.性質(zhì)如下：

1OU64

①范圍：-8、立8且-10至10;②對稱性:關(guān)于尤軸、y軸、原點(diǎn)對稱;③頂

點(diǎn):長軸端點(diǎn)(0,10),(0,-10),短軸端點(diǎn)(-8,0),(8,0);④焦點(diǎn):(0,6),(0,-6);⑤

通過典型例題，

離心率:e=|.

掌握根據(jù)橢圓的基

討論橢圓的幾何性質(zhì)時,一定要將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，標(biāo)準(zhǔn)方程

222本幾何性質(zhì)及其簡

能將參數(shù)的幾何意義凸顯出來，另外要抓住橢圓中a-b=c這一核心

單運(yùn)用，提升學(xué)生數(shù)

關(guān)系式.

2222學(xué)建模，數(shù)形結(jié)合，

跟蹤訓(xùn)練1求橢圓加％+4My=1(機(jī)＞0)的長軸長、短軸長、焦點(diǎn)坐

及方程思想，發(fā)展學(xué)

標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率.

生邏輯推理，直觀想

解:由已知得苧+要=1(血＞0),因?yàn)?＜蘇＜4/,所以白＞熹.

24m2

7n象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)

所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上,并且半長軸長a=-,

xm運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

半短軸長，半焦距°=二，所以橢圓的長軸長2a短軸長2b=~,

2m2mmm

焦點(diǎn)坐標(biāo)為(嚕,0)償,0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為G，o)，G，o)，(。，-

V3L

素)，(。，為，離心率吒=密=當(dāng)

m

例2橢圓1+、=1(°＞6＞0)的兩焦點(diǎn)為尸，尸似為邊作正三角

a2b21212

形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率

為.

解析:方法一:如圖，：ADF1F2為正三角形,N為。尸2的中點(diǎn)，

FiNl.F2N.'：\NF21=10/21=C,

A\NFi\=]|&&『-囚尸2/=V4c2-c2=V3c.

由橢圓的定義可知|NB|+|NBI=2a,

V^c+c=2a,。=史；"；'",e=a~~

方法二:注意到焦點(diǎn)三角形NFIF2中,NN/M2=30O,/NE尸I=60。,/

尸INF2=90。，則由離心率的焦點(diǎn)三角形公式，可得

_sinz.F1JVF2_sin90°_1_-t

'sinz.NF1F2+sinz.NF2Frsin30°4-sin600工+3,

22

答案:b-1

22

變式1若例2改為如下:橢圓京+a=1(a>6>0)的兩焦點(diǎn)以

為底邊作等腰直角三角形，其三角形頂點(diǎn)恰好落在橢圓的頂點(diǎn)處,

則橢圓的離心率為.

解析:根據(jù)等腰直角三角形的特征可知/+/=4，,即』=乎.

a2

答案］

例3已知橢圓［+［=1(?！?gt;0)尸1產(chǎn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢

圓上總存在點(diǎn)P使得尸分工尸外,則橢圓的離心率的取值范圍

為.

解析:由PfUP尸2,知△口叩2是直角三角形，

所以10Pl=c泌，即/之「/,所以a<^2c.

因?yàn)閑=￡,O<e<1,所以二We<1.

a2

答案:停,1)

求橢圓離心率的值或取值范圍的常用方法

(3)方程法:若a,c的值不可求，則可根據(jù)條件建立關(guān)于a,b,c的關(guān)系式，

222

借助于a=b+c，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的齊次方程(或不等式)，再將方程(或

不等式)兩邊同除以a的最高次騫，得到關(guān)于e的方程(或不等式)，即可

求得e的值(或取值范圍).

(1)直接法:若已知a,c,可直接利用e，求解.若已知a,6(或6,c)可借助

a

于/=匕2+02求出c(或0,再代入公式e=￡求解.

a

⑵幾何法:若借助數(shù)形結(jié)合，可挖掘涉及幾何圖形的性質(zhì),再借助

a2=〃+c2,找到a與c的關(guān)系或求出a與c,代入e=￡即可得到.

CL

跟蹤訓(xùn)練2⑴已知橢圓盤+冬=1(°>6>0)過點(diǎn)其離心率的取值

范圍是樂卦則橢圓短軸長的最大值是()

A.4B.3C.V11D.2V3

(2)設(shè)分別是橢圓塔+*l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),P為直線

上一點(diǎn),是底角為30。的等腰三角形，則E的離心率

為__________.

解析:⑴由題意，可得2+^=1，即層=色.

.2224--匕2

因?yàn)閷?〃+■所以a=%nLh=星｝=3步離心率的取值范圍是

b2-2

［評］，所以汐一T解得問1岑］,

所以橢圓短軸長的最大值是VIT.

⑵由題意，知/F2FIP=Z產(chǎn)2Ppi=30°,ZPF2X=60°.：.

|P&|=2x(|a-c)=3a-2c.V|FiF2|=2c,|FiF2|=|PF2|,/.3a-2c=2c,；.e===

f.答案:⑴C(2)f

44

(3)已知橢圓緇+《=13>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為E,右頂點(diǎn)為

A,上頂點(diǎn)為民若橢圓C的中心到直線AB的距離為萼甲iBI,求橢圓C

6

的離心率.

解:由題意知A(〃,0),5(0力)，從而直線AB的方程為:+，=1,即bx^ay-

而二0,又|尸1尸2|=2(?,，=—c.Vb2=a2-c2,3?4-7?2<?4-2^=0,

vaz+bz3

解得〃2=2,或3〃2=02(舍去),.?.6=日

例4.神舟五號飛船成功完成了第一次載人航天飛行,實(shí)現(xiàn)了中國人

民的航天夢想.某段時間飛船在太空中運(yùn)行的軌道是一個橢圓，地心為

橢圓的一個焦點(diǎn)，如右圖所示.假設(shè)航天員到地球表面的最近距離為

d，最遠(yuǎn)距離為d，地球的半徑為民我們想象存在一個鏡像地球，其中

12

心在神舟飛船運(yùn)行軌道的另外一個焦點(diǎn)上，上面發(fā)射某種神秘信號，需

要飛行中的航天員中轉(zhuǎn)后地球上的人才能接收到，則傳送神秘信號的

最短距離為()

A.d+d+RB.d-d+2RC.d+d-2RD.d+d

12212112

22

解析:設(shè)橢圓的方程為今+2=l(a>b>0),半焦距為c,

兩焦點(diǎn)分別為尸2,飛行中的航天員為點(diǎn)P,

由已知可得以1：。=°一;則2a=di+d2+2R,

故傳送神秘信號的最短距離為|尸BI+IPB卜2R=2a-2?=di+d2.

答案:D

三、達(dá)標(biāo)檢測

22

1.已知點(diǎn)(3,2)在橢圓,+*1上,則()

A.點(diǎn)(-3,-2)不在橢圓上B.點(diǎn)(3,-2)不在橢圓上

通過練習(xí)鞏固本

C.點(diǎn)(-3,2)在橢圓上D.無法判斷點(diǎn)(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在橢圓上

節(jié)所學(xué)知識，通過

解析:由橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸似原點(diǎn)為對稱中心可知，點(diǎn)在橢

(-3,2)學(xué)生解決問題，發(fā)

圓上，故選C.

展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)

答案:C

22算、邏輯推理、直

2.設(shè)AB是橢圓京+琶=l(a>b>0)的長軸，若把線段AB分為100等份，

觀想象、數(shù)學(xué)建模

過每個分點(diǎn)作AB的垂線，分別交橢圓的上半部分于點(diǎn)P,P,F

12991的核心素養(yǎng)。

為橢圓的左焦點(diǎn)，則I尸AI+尸尸l+IFPI+...+IFP1+1戶B|的值是

111121991

()

A.98〃B.99〃C.lOOtzD.101。

解析油橢圓的定義及其對稱性可知

\FP\+\FP\=\FP|+|FP\=..=\FP\+\FP\=\FA\+\FB\=2a\F

1119912198149151119

P|=a,故結(jié)果應(yīng)為50x2a+|歹尸|=101a

150150

答案:D

3.若橢圓的兩個焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成一個正三角形，則該橢圓

的離心率為()

A.iB.立C.更D.在

2244

解析:不妨設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F,F,B為橢圓的上頂點(diǎn).依題

12

意可知,是正三角形,在RtZkOBF中,|0尸|=c,|8尸|=“,N

12222

OFB-60°,cos60°=-=工.即橢圓的離心率e=3故選A.

2a22

答案:A

4.已知橢圓J+3=1左、右焦點(diǎn)分別為八尸2,上、下頂點(diǎn)分別為5,&,

則四邊形B1F1B2F2的面積為.

解析:根據(jù)題意，設(shè)四邊形BEB2F2的面積為S,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為9+

]=1,其中a=V3,b=A/2,貝Ic=V3^2=1,貝!IFi(-

1t0),F2(1,0),BI(0,V2),B2(0,-V2),

即|0尸1|=|0曰=1,|031|=|0&|=尤,

貝！|S=4XSAB10F1=4X(|X|OBI|x|OQI)=25

答案：2企

5.萬眾矚目的北京冬奧會將于2022年2月4日正式開幕，繼2008年

北京奧運(yùn)會之后，國家體育場(又名鳥巢)將再次承辦奧運(yùn)