2021年中考真題精選1定義新運算

1.（2021?無錫）設(shè)尸（x,以），Q（x,歹2）分別是函數(shù)Ci,C2圖象上的點，當aWxWb

時，總有-1W〃-”W1恒成立，則稱函數(shù)。，C2在aWxWb上是“逼近函數(shù)”，aW

xW6為“逼近區(qū)間則下列結(jié)論：

①函數(shù)y=x-5,y=3x+2在1WXW2上是“逼近函數(shù)”；

②函數(shù)y=x-5,_y=j?-4x在3WxW4上是"逼近函數(shù)"；

③OWxWl是函數(shù)尸x2-1,尸2?-x的“逼近區(qū)間”；

④2WxW3是函數(shù)y=x-5,y=7-4x的“逼近區(qū)間”.

其中，正確的有（）

A.②③B.①④C.①③D.②④

2.（2021?雅安）定義：min{a,卜,若函數(shù)尸加〃{升1,-?+2^+3},則該

[b（a>b）

函數(shù)的最大值為（）

A.0B.2C.3D.4

3.（2021?永州）定義：若1O'=N,則x=logioN,x稱為以10為底的N的對數(shù)，簡記為

IgN,其滿足運算法則：lgM+lgN=lg（M?N）（M>0,N>0）.例如：因為l（）2=ioo,

所以2=/gl00,亦即/gl00=2；/g4+/g3=/gl2.根據(jù)上述定義和運算法則，計算（蛇）

2+lg2-lg5+lg5的結(jié)果為（）

A.5B.2C.1D.0

4.（2021?岳陽）定義：我們將頂點的橫坐標和縱坐標互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異

二次函數(shù)如圖，在正方形O48C中，點/（0,2）,點C（2,0）,則互異二次函數(shù)

y=（x-m）2-m與正方形OABC有交點時機的最大值和最小值分別是（）

BW'7…。.呼’7

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5.（2021?貴陽）小星在“趣味數(shù)學”社團活動中探究了直線交點個數(shù)的問題.現(xiàn)有7條

不同的直線（〃=1,2,3,4,5,6,7）,其中h=依，63=64=65,則他探

究這7條直線的交點個數(shù)最多是（）

A.17個B.18個C.19個D.21個

6.（2021?江西）二次函數(shù)ynf-Z/nx的圖象交x軸于原點。及點4

感知特例

（1）當機=1時，如圖1,拋物線ay=--2%上的點8,O,C,A,。分別關(guān)于點Z

中心對稱的點為8,，。'，C',H，如表：

???3(-1,3)O(0,C(1,-1)A(_____,_____)D(3,???

0)3)

???夕（5,一。(4,C(3,1)H(2,0)。(1,???

3）0)-3)

①補全表格;

②在圖1中描出表中對稱后的點，再用平滑的曲線依次連接各點，得到的圖象記為，.

圖1

形成概念

我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖象〃上的點和拋物線入上的點關(guān)于點力中心對稱，則稱〃是］

的''孔像拋物線”.例如，當〃?=-2時，圖2中的拋物線〃是拋物線工的“孔像拋物線”.

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探究問題

（2）①當-1時，若拋物線L與它的“孔像拋物線”，的函數(shù)值都隨著x的增大而

減小，則x的取值范圍為；

②在同一平面直角坐標系中，當機取不同值時，通過畫圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函

數(shù)-2mx的所有“孔像拋物線”,都有唯一交點，這條拋物線的解析式可能是

（填“yno^+bx+c"或或uy=a^-src,或"y=ad",其中aftc^O）；

③若二次函數(shù)y=x2-2〃”及它的“孔像拋物線”與直線_y=機有且只有三個交點，求〃?

的值.

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7.(2021?衡陽)在平面直角坐標系中，如果一個點的橫坐標與縱坐標相等，則稱該點為

"雁點”.例如(1,1),(2021,2021)…都是“雁點”.

(1)求函數(shù)y=2圖象上的“雁點”坐標；

X

(2)若拋物線J，=OX2+5X+C上有且只有一個“雁點”E,該拋物線與x軸交于M、N兩點

(點M在點N的左側(cè)).當。＞1時.

①求c的取值范圍；

②求NEMN的度數(shù)；

(3)如圖，拋物線y=-，+2x+3與x軸交于4、B兩點、(點Z在點5的左側(cè))，P是拋

物線y=-/+2x+3上一點，連接8P,以點。為直角頂點，構(gòu)造等腰Rtz^BPC,是否存

在點P,使點C恰好為“雁點”？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

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8.（2021?長沙）我們不妨約定：在平面直角坐標系中，若某函數(shù)圖象上至少存在不同的

兩點關(guān)于y軸對稱，則把該函數(shù)稱之為“7函數(shù)”，其圖象上關(guān)于y軸對稱的不同兩點

叫做一對“T點”.根據(jù)該約定，完成下列各題.

-生（x<0）

（1）若點Z（l,r）與點8（s,4）是關(guān)于x的“7函數(shù)）={x

tx2（x>0,t卉0,t是常數(shù)）

的圖象上的一對“T點"，則/=,s=，t=（將正確答案填在相應的橫

線上）；

（2）關(guān)于x的函數(shù)y=fcv+p（k,p是常數(shù)）是“7函數(shù)”嗎？如果是，指出它有多少對

“7點”如果不是，請說明理由；

（3）若關(guān)于x的"7函數(shù)"（a>0,且a,h,c是常數(shù)）經(jīng)過坐標原點。,

且與直線/：y=mx+n（附WO,n>0,且團，"是常數(shù)）交于Af（xi，yi）,N（X2，"）兩

點，當XI，X2滿足（I-XI）"+X2=1時，直線/是否總經(jīng)過某一定點？若經(jīng)過某一定點，

求出該定點的坐標；否則，請說明理由.

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9.（2021?張家界）閱讀下面的材料：

如果函數(shù)》=/（%）滿足：對于自變量X取值范圍內(nèi)的任意制，X2，

（1）若都有了（制）〈/（X2），則稱/（X）是增函數(shù)；

（2）若想VX2,都有/G1）>/（X2）,則稱/G）是減函數(shù).

例題：證明函數(shù)/（x）=7（x>0）是增函數(shù).

證明：任取X］〈X2，且Xl>0,X2>0.

則/（XI）-f（X2）=X12-X22=（X1+X2）（xi-X2）.

?.”1<12且制>0，X2>0，

.??Xl+X2>0，XI-X2<0.

（X1+X2）（XI-X2）<0,即/（XI）-f（X2）<0,f（XI）<f（X2）.

??.函數(shù)/G）=?（x>0）是增函數(shù).

根據(jù)以上材料解答下列問題：

（1）函數(shù)/'（x）=工（x>0）,/（l）=工=1,/（2）=1,/（3）=,

x12

f<4）=;

（2）猜想/（x）=上（x>0）是函數(shù)（填“增”或“減”），并證明

X

你的猜想.

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10.（2021?鄂州）數(shù)學課外活動小組的同學在學習了完全平方公式之后，針對兩個正數(shù)之

和與這兩個正數(shù)之積的算術(shù)平方根的兩倍之間的關(guān)系進行了探究，請閱讀以下探究過

程并解決問題.

猜想發(fā)現(xiàn)

由5+5=2、5><5=10;工+2=2」!乂。=2;0.4+0.4=2VO.4X0.4=0.8；工+5>2

33V3335

2

^X5==0,2+3,2>2V0.2X3.2=1,6；晃>2后王§

猜想：如果a>0,b>0,那么存在而（當且僅當a=b時等號成立）.

猜想證明

（Va-Vb）22o,

...①當且僅當〃-F=0,即a=6時，a-2Vab+^—0..,.a+b—2yj-^>；

②為瓜#0,即時，a-2V^b+Z>>0,.>.?+/>>25/^b.

綜合上述可得：若a>0,b>0,則0+622席成立（當且僅當時等號成立）.

猜想運用

對于函數(shù)了=/工（x>0）,當x取何值時，函數(shù)y的值最??？最小值是多少？

X

變式探究

對于函數(shù)y=」_+x（x>3）,當x取何值時，函數(shù)y的值最?。孔钚≈凳嵌嗌?？

x-3

拓展應用

疫情期間，為了解決疑似人員的臨時隔離問題.高速公路檢測站入口處，檢測人員利用

檢測站的一面墻（墻的長度不限），用63米長的鋼絲網(wǎng)圍成了9間相同的長方形隔離房，

如圖.設(shè)每間離房的面積為S（米2）.問：每間隔離房的長、寬各為多少時，可使每間隔

離房的面積S最大？最大面積是多少？

墻

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11.（2021?金華）背景：點X在反比例函數(shù)（左>0）的圖象上，軸于點8,AC

x

軸于點C,分別在射線NC,8。上取點。，E,使得四邊形為正方形.如圖

1,點/在第一象限內(nèi)，當ZC=4時，小李測得8=3.

探究：通過改變點力的位置，小李發(fā)現(xiàn)點。，Z的橫坐標之間存在函數(shù)關(guān)系.請幫助小

李解決下列問題.

（1）求A的值.

（2）設(shè)點小。的橫坐標分別為x,z,將z關(guān)于x的函數(shù)稱為“Z函數(shù)”.如圖2,小李

畫出了x>0時“Z函數(shù)”的圖象.

①求這個“Z函數(shù)”的表達式.

②補畫x<0時“Z函數(shù)”的圖象，并寫出這個函數(shù)的性質(zhì)（兩條即可）.

③過點（3,2）作一直線，與這個“Z函數(shù)”圖象僅有一個交點，求該交點的橫坐標.

圖2

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12.（2021?遂寧）已知平面直角坐標系中，點尸（xo,加）和直線4+8八C=0（其中4

IAx+By+C|

B不全為0）,則點尸到直線Ax+By+C^Q的距離d可用公式d=一fn---工n一來計

VA2+B2

算.

例如：求點尸（1,2）到直線y=2x+l的距離，因為直線y=2x+l可化為2x->1=0,

|Ax0+By0+C|

其中4=2,8=-1,C=1,所以點尸（1,2）到直線y=2x+l的距離為:4=

_|2X1+(-1)X2+1|=工=逅

722+(-1)2疾5

根據(jù)以上材料，解答下列問題：

（1）求點M（0,3）到直線y=Q+9的距離；

（2）在（1）的條件下，的半徑廠=4,判斷。M與直線y=?x+9的位置關(guān)系，若

相交，設(shè)其弦長為〃，求〃的值；若不相交，說明理由.

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13.（2021?自貢）函數(shù)圖象是研究函數(shù)的重要工具.探究函數(shù)性質(zhì)時，我們經(jīng)歷了列表、

描點、連線畫出函數(shù)圖象，然后觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程.請結(jié)合已有

的學習經(jīng)驗，畫出函數(shù)^=-一落的圖象，并探究其性質(zhì).

2

'X+4

列表如下:

X???-4-3-2-101234…

??????

y24a8,0b-2,24.8.

~513135

（1）直接寫出表中4、6的值，并在平面直角坐標系中畫出該函數(shù)的圖象;

（2）觀察函數(shù)y=--涔的圖象，判斷下列關(guān)于該函數(shù)性質(zhì)的命題：

X2+4

①當-2WxW2時，函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對稱；

②x=2時，函數(shù)有最小值，最小值為-2；

③7＜尤＜1時，函數(shù)y的值隨x的增大而減小.

其中正確的是.（請寫出所有正確命題的番號）

（3）結(jié)合圖象，請直接寫出不等式的解集_______

X2+4

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14.(2021?涼山州)閱讀以下材料：

蘇格蘭數(shù)學家納皮爾(J.心/“，1550-1617年)是對數(shù)的創(chuàng)始人.他發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)

書寫方式之前，直到18世紀瑞士數(shù)學家歐拉(EWer,1707-1783年)才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對

數(shù)之間的聯(lián)系.

對數(shù)的定義：一般地，若/=N(4>0且“之1),那么x叫做以?為底N的對數(shù)，記作x

=log?N,比如指數(shù)式24=16可以轉(zhuǎn)化為對數(shù)式4=log216,對數(shù)式2=log39可以轉(zhuǎn)化為

指數(shù)式32=9.

我們根據(jù)對數(shù)的定義可得到對數(shù)的一個性質(zhì)：

log^z(M?N)=logz/M+log^TV(a>0fQWI,M>0fN>0),理由如下：

設(shè)logaM=m,Iog〃N=n,則M—am,N=an,

/.M*N=am?an=am+n,由對數(shù)的定義得加+〃=lo囪QM，N).

又*/m-^n=logaAZ+logaN,

/.logrz(M，N)=log〃A/+logaN.

根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學的知識，解答下列問題：

(1)填空：①log232=,②log327=,③log71=;

(2)求證：log6/A=logr/M-log6/jV(>0,aWl,Af>0,N>0)；

(3)拓展運用：計算Iog5125+log56-log530.

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15.(2021?常州)在平面直角坐標系》行中，對于4、A'兩點，若在y軸上存在點7，使

得乙474=90°,且0=。'，則稱4A'兩點互相關(guān)聯(lián)，把其中一個點叫做另一

個點的關(guān)聯(lián)點.已知點“(-2,0)、N(-1,0),點0(孫n)在一次函數(shù)尸-2x+\

的圖象上.

(1)①如圖，在點8(2,0)、C(0,-1)、。(-2,-2)中，點M的關(guān)聯(lián)點是(填

“B”、"C”或“￡>”)；

②若在線段上存在點P(1,1)的關(guān)聯(lián)點P',則點P的坐標是；

(2)若在線段兒W上存在點。的關(guān)聯(lián)點。，求實數(shù)〃?的取值范圍；

(3)分別以點E(4,2)、。為圓心，1為半徑作G)E、QQ.若對G)E上的任意一點G,

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，-x（x（O）

16.（2021?益陽）已知函數(shù)的圖象如圖所示，點/（XI，川）在第一象限

x2(x>0)

內(nèi)的函數(shù)圖象上.

（1）若點8（X2,”）也在上述函數(shù)圖象上，滿足X2<X].

①當”=yi=4時，求xi，X2的值;

②若卜2|=|刈，設(shè)卬=?1-”，求W的最小值;

（2）過4點作y軸的垂線NP,垂足為P,點尸關(guān)于x軸的對稱點為P',過N點作x軸

的垂線40,垂足為。，。關(guān)于直線/P'的對稱點為0',直線N0'是否與y軸交于某

定點？若是，求出這個定點的坐標;若不是，請說明理由.

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上x22x+m(x<m)

17.(2021?大連)已知函數(shù)y=＜22,記該函數(shù)圖象為G.

x2-mx-4n(x^m)

(1)當m=2時，

①已知"(4,〃)在該函數(shù)圖象上，求〃的值；

②當0WxW2時，求函數(shù)G的最大值.

(2)當機＞0時，作直線》="|■機與x軸交于點P,與函數(shù)G交于點0,若NPOQ=45°

時，求加的值；

(3)當機＜3時，設(shè)圖象與x軸交于點力，與歹軸交與點8,過點8作交直線

x=加于點C,設(shè)點力的橫坐標為C點的縱坐標為如若Q=-3C,求用的值.

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18.（2021?南通）定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標相等的點，則稱該點為這個函

數(shù)圖象的“等值點例如，點（1,1）是函數(shù)y=1x+1的圖象的“等值點

22

（1）分別判斷函數(shù)y=x+2,y=7-x的圖象上是否存在“等值