《高中數(shù)學解題思維與思想》

一、高中數(shù)學解題思維策略

第一講數(shù)學思維的變通性

—'概念

數(shù)學問題千變萬化，要想既快又準的解題，總用一套固定的方案是行不通的，必

須具有思維的變通性一一善于根據題設的相關知識,提出靈活的設想和解題方案.根據

數(shù)學思維變通性的主要體現(xiàn),本講將著重進行以下幾個方面的訓練：

(1)善于觀察

心理學告訴我們：感覺和知覺是認識事物的最初級形式，而觀察則是知覺的高

級狀態(tài)，是一種有目的、有計劃、比較持久的知覺.觀察是認識事物最基本的途徑，它

是了解問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的前提.

任何一道數(shù)學題,都包含一定的數(shù)學條件和關系.要想解決它,就必須依據題目的

具體特征,對題目進行深入的、細致的、透徹的觀察,然后認真思考，透過表面現(xiàn)象看

其本質，這樣才能確定解題思路,找到解題方法.

例如，求和.J_+_1_+_L+H_1_

1-22-33-4

這些分數(shù)相加,通分很困難，但每項都是兩相鄰自然數(shù)的積的倒數(shù),且

1_11，因此原式等于l-l+l-J+1-1=1-1問題很快就

〃(〃+1)nn4-1223nn+1n+1

解決了.

(2)善于聯(lián)想

聯(lián)想是問題轉化的橋梁.稍具難度的問題和基礎知識的聯(lián)系，都是不明顯的、間

接的、復雜的.因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征,靈活運

用有關知識，做出相應的聯(lián)想，將問題打開缺口，不斷深入.

fx+y-2

例如，解方程組〈I=一3，

xy

這個方程指明兩個數(shù)的和為2,這兩個數(shù)的積為-3.由此聯(lián)想到韋達定理，x、

y是一元二次方程八一2，-3=0的兩個根,

\x——1fx=3

所以〈.或〈「可見，聯(lián)想可使問題變得簡單.

[y=3=

(3)善于將問題進行轉化

數(shù)學家G.波利亞在《怎樣解題》中說過：數(shù)學解題是命題的連續(xù)變換.可見，解

題過程是通過問題的轉化才能完成的.轉化是解數(shù)學題的一種十分重要的思維方法.

那么怎樣轉化呢？概括地講，就是把復雜問題轉化成簡單問題，把抽象問題轉化成具體

問題,把未知問題轉化成已知問題.在解題時,觀察具體特征，聯(lián)想有關問題之后，就要

尋求轉化關系.

例如，已知L+L1h1,(abcwO,a+Z?+cwO),

abca+b+c

求證。、b,c三數(shù)中必有兩個互為相反數(shù).

恰當?shù)霓D化使問題變得熟悉、簡單.要證的結論，可以轉化為：

(a+b)(b+c)(c+a)=0

思維變通性的對立面是思維的保守性,即思維定勢.思維定勢是指一個人用同一種

思維方法解決若干問題以后，往往會用同樣的思維方法解決以后的問題.它表現(xiàn)就是記

類型、記方法、套公式，使思維受到限制，它是提高思維變通性的極大的障礙,必須加

以克服.

綜上所述，善于觀察、善于聯(lián)想、善于進行問題轉化,是數(shù)學思維變通性的具體體

現(xiàn).要想提高思維變通性,必須作相應的思維訓練.

二'思維訓練實例

(1)觀察能力的訓練

雖然觀察看起來是一種表面現(xiàn)象,但它是認識事物內部規(guī)律的基礎.所以，必須重

視觀察能力的訓練，使學生不但能用常規(guī)方法解題,而且能根據題目的具體特征,采用

特殊方法來解題.

例1已知a,"c,d都是實數(shù)，求證yla2+b2+ylc2+d2>yl(a-c)2+(h-d)2.

思路分析從題目的外表形式觀察到，要證的

結論的右端與平面上兩點間的距離公式很相似，而

左端可看作是點到原點的距離公式.根據其特點，

可采用下面巧妙而簡捷的證法,這正是思維變通的體現(xiàn).

證明不妨設仇c,d)如圖1一2—1所示，

則曰卻=q(a-cy+(b-d)2.

[0川=-Ja2+b2,1=c2+d2,

在AOAB中，由三角形三邊之間的關系知:

2

\OA\+\JB\>\AB\當且僅當。在AB上時，等號成立.

因此，yja2+b2+y/c2+d2>yl(a-c)2+(b-d)2.

思維障礙很多學生看到這個不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等，而

此題利用這些方法證明很繁.學生沒能從外表形式上觀察到它與平面上兩點間距離公式

相似的原因，是對這個公式不熟,進一步講是對基礎知識的掌握不牢固.因此,平時應多

注意數(shù)學公式、定理的運用練習.

例2已知3/+2y2=6x,試求/+/的最大值.

解由31+2/=6%得

J,2=-￡X2+3X.

2

3

y2>0,-_x2+3x>0,?.0<x<2.

2

2222

Xx+<y=x-'tx+3x=--3)2+匕

222

.?.當x=2時，—+y2有最大值，最大值為一1(2-3)2+9=4.

22

思路分析要求/+/的最大值，由已知條件很快將/+/變?yōu)橐辉魏瘮?shù)

/,(X)=」(x-3)2+?,然后求極值點的x值,聯(lián)系至Uy2>0,這一條件,既快又準地

22

求出最大值.上述解法觀察到了隱蔽條件,體現(xiàn)了思維的變通性.思

維障礙大部分學生的作法如下：

3

由31+2y2=6x得y2=--x2+3x,

2

J+y2=/_+3尤=_1g_3)2+9」

222

當X=3時，V+y2取最大值，最大值為9_

2

這種解法由于忽略了y22o這一條件,致使計算結果出現(xiàn)錯誤.因此,要注意審

題，不僅能從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點，而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件，既要注意

主要的已知條件，

又要注意次要條件,這樣,才能正確地解題,提高思維的變通性.有些

問題的觀察要從相應的圖像著手.

3

例3已知二次函數(shù)/(尤)=or2+Z?x+c=0(a>0),滿足關系

/(2+x)=/(2-x),試比較/(0.5)與/⑺的大小.

思路分析由已知條件/(2+x)=/(2-x)可知，在與x=2左右等距離的點的函

數(shù)值相等，說明該函數(shù)的圖像關于直線x=2對稱，又由已

知條件知它的開口向上，所以，可根據該函數(shù)的大致圖像

簡捷地解出此題.

解(如圖1—2—2)由/(2+x)=/(2—x),

知/(x)是以直線x=2為對稱軸，開口向上的拋物線

它與x=2距離越近的點，函數(shù)值越小.

|2-0.，〉|2—4；"(0.5)>/⑺

思維障礙有些同學對比較/(0.5)與/(乃)的大小，只想到求出它們的值.而此題

函數(shù)/(x)的表達式不確定無法代值,所以無法比較.出現(xiàn)這種情況的原因，是沒有充

分挖掘已知條件的含義，因而思維受到阻礙，做題時要全面看問題，對每一個已知條件

都要仔細推敲,找出它的真正含義,這樣才能順利解題.提高思維的變通性.

(2)聯(lián)想能力的訓練

例4在AABC中，若NC為鈍角，則fgAlgB的值

@等于1(B)小于1(C)大于1(D)不能確定

思路分析此題是在A4BC中確定三角函數(shù)國4IgB的值.因此，聯(lián)想到三角函數(shù)

正切的兩角和公式演A+B)=吆4+吆8可得下面解法.

1-tgAtgB

解/C為鈍角，.」gC<0.在AA3C中4+3+。=乃.?.。=%—(4+8)

且A、B均為銳角

.■.tgC=tg[n—(A+8)]=-tg(A+8)=—次.+次8<0

1-tgAtgB

IgA>0,tgB>0,?.1一tgA-tgB>0.即IgA?tgB<1.

故應選擇(B)

4

思維障礙有的學生可能覺得此題條件太少,難以下手,原因是對三角函數(shù)的基

本公式掌握得不牢固不能準確把握公式的特征,因而不能很快聯(lián)想到運用基本公式?例5

若(z—x)2_4(x_y)(y_z)=0,證明：2y-x+z.

思路分析此題一般是通過因式分解來證但是，如果注意觀察已知條件的特點,不

難發(fā)現(xiàn)它與一元二次方程的判別式相似.于是，我們聯(lián)想到借助一元二次方程的知識來

證題.

證明當x-"0時，等式(z-尤甘-4(尤-y)(y-z)=0

可看作是關于/的一元二次方程(％-歷〃+(2-尤》+(丁-2)=0有等根的條件,在

進一步觀察這個方程，它的兩個相等實根是1,根據韋達定理就有：

上二幺=1即2y=x+z

若x-y=0,由已知條件易得z-x=0,即x=y=z,顯然也有2y=x+z.

例6已知a、Ac均為正實數(shù)，滿足關系式l+/Mce又〃為不小于3的自然

數(shù),求證：an+bn<cn.

思路分析由條件/+從=。2聯(lián)想到勾股定理，a、b、c可構成直角三角形的三

邊,進一步聯(lián)想到三角函數(shù)的定義可得如下證法.

證明設a、b、c所對的角分別為A、B、C.則。是直角，A為銳角，于是

sinA=_,cosA=一，且0<sinA<1,0<cosA<1,

cc

當〃23時，有sin"A<sin?A,cos"A<cos2A

于是有sin"A+cos"A<sin2A+cos2A=1

即(5"+(5"<1,

cc

從而就有an+bn<cn.

思維阻礙由于這是一個關于自然數(shù)"的命題，一些學生都會想到用數(shù)學歸納法

來證明，難以進行數(shù)與形的聯(lián)想,原因是平時不注意代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，單純學代

數(shù),學幾何，因而不能將題目條件的數(shù)字或式子特征與直觀圖形聯(lián)想起來.

(3)問題轉化的訓練

我們所遇見的數(shù)學題大都是生疏的、復雜的.在解題時,不僅要先觀察具體特征，

5

聯(lián)想有關知識,而且要將其轉化成我們比較熟悉的,簡單的問題來解.恰當?shù)霓D化,往往

使問題很快得到解決,所以,進行問題轉化的訓練是很必要的.

①轉化成容易解決的明顯題目

例11已知a+/?+c=1+J+J=1,求證a、b、c中至少有一個等于1.

abc

思路分析結論沒有用數(shù)學式子表示,很難直接證明.首先將結論用數(shù)學式子表

示，轉化成我們熟悉的形式.a、b、c中至少有一個為1,也就是說a-1、b—l、c-1

中至少有一個為零,這樣，問題就容易解決了.

證明1+1+1=1,/.be+ac+ab=abc.

abc

于是(?-l)(/?-l)(c-l)=abc-(ah++/?c-1)+(?+Z?+c)=0.

a-1b-l、c-l中至少有一個為零，即a、b>c中至少有一個為L

思維障礙很多學生只在已知條件上下功夫,左變右變,還是不知如何證明三者

中至少有一個為1,其原因是不能把要證的結論“翻譯”成數(shù)學式子，把陌生問題變?yōu)?/p>

熟悉問題.因此，多練習這種“翻譯”，是提高轉化能力的一種有效手段.

例12直線L的方程為x=-C,其中p〉0；橢圓E的中心為O'(2+P0)隹占

22''

在X軸上,長半軸為2,短半軸為1,它的一個頂點為A(P,Q)_,問p在什么范圍內取

2

值時，橢圓上有四個不同的點,它們中的每一點到點A的距離等于該點到直線L的距

離.

思路分析從題目的要求及解析幾何的知識可知，四個不同的點應在拋物線

y2=2px(1)

是,又從已知條件可得橢圓E的方程為

［尤-(2+勺］2

-------Z~~Fy2=］(2)

4

因此，問題轉化為當方程組(1)、(2)有四個不同的實數(shù)解時，求p的取值范

圍.將(2)代入(1)得：

"2

x2+(7p-4)x+—+2p=0.(3)

4

確定p的范圍，實際上就是求(3)有兩個不等正根的充要條件，解不等式組：

6

fD2

I(7/7-4)2-4(彳+20)〉0

工+2P>0

4

[7p-4<0

在〃>0的條件下，得0<p<13.

本題在解題過程中,不斷地把問題化歸為標準問題：解方程組和不等式組的問題.

②逆向思維的訓練

逆向思維不是按習慣思維方向進行思考，而是從其反方向進行思考的一種思維方式.

當問題的正面考慮有阻礙時，應考慮問題的反面，從反面入手，使問題得到解決.

例13已知函數(shù)/(x)=2尤?+wu+〃，求證.(1卜,⑵卜中至少有，個不

小于1.

思路分析反證法被譽為“數(shù)學家最精良的武器之一”，它也是中學數(shù)學常用的

解題方法.當要證結論中有“至少”等字樣，或以否定形式給出時，一般可考慮采用反

證法.

證明(反證法)假設原命題不成立，即J⑴卜J⑵卜「(3】都小于1.

|/(1)|<1f-l<2+〃？+〃<lf-3<m+?<-1①

則/(21<1=-1<8+2m+n<1=9<2"?+〃<-7②

|/(3)|<1-1<18+3m+n<1-19<3/?J+/J<-17③

①+③得-11<2m+n<-9,

與②矛盾，所以假設不成立，即|/(1)卜/(2)卜/(3)|中至少有一個不小于1.

③一題多解訓練

由于每個學生在觀察時抓住問題的特點不同、運用的知識不同，因而，同一問題可

能得到幾種不同的解法,這就是“一題多解”.通過一題多解訓練,可使學生認真觀察、

多方聯(lián)想、恰當轉化，提高數(shù)學思維的變通性.

例14已知復數(shù)Z的模為2,求3曲最大值.解

法一(代數(shù)法)設z=X+yi(x>yeR)

則X2+y2=4.卜F=-2+(,_1)2=j5-2y.

7

陣2,二.當八一2時,產二=3.

解法二(三角法)設z=2(cos6+isin。),

貝!J|z-z|=J4cos2舛（2sin6-1）?=j5-4sin8.

???當sin。二一1時汁一，|=3.

IImax

解法三(幾何法)

|z|=2,；.點2是圓/+〉2=4上的點，

\z-\表示Z與i所對應的點之間的距離.

如圖1-2-3所示,可知當z=-2i時，z|z

解法四(運用模的性質)

|z—|?|z|+|-/|=2+1=3

而當z=-2i時，i-it3..\z|-zI=3.

IIIImax

解法五(運用模的性質)

|z—12=(z-i)(z-i)=zz+(z-z)i+1

=5+2/(z),(/(z)表z的虛部).

又|42,.1z-L=9,.,.|z-f|max=3.

第二講數(shù)學思維的反思性

一'概述

數(shù)學思維的反思性表現(xiàn)在思維活動中善于提出獨立見解，精細地檢查思維過程，不盲從、

不輕信.在解決問題時能不斷地驗證所擬定的假設，獲得獨特的解決問題的方法,它和創(chuàng)

造性思維存在著高度相關.本講重點加強學生思維的嚴密性的訓練，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性

思維.

二、思維訓練實例

(1)檢查思路是否正確，注意發(fā)現(xiàn)其中的錯誤.

Y

例1已知/(x)=ox+一若—3K/(1)40,34/(2)46,求/(3)的范圍.

b

錯誤解法由條件得

8

[-3<a+h<0

1b

13KH—<6

I2a2

①

②

②義2一①得6<tz<15

③

8,b,2

①X2—②得—￡￡—

333

④

4343

③+④得3。+3_，即垣</(3)W_.

333"3一3

錯誤分析采用這種解法，忽視了這樣一個事實:作為滿足條件的函數(shù)

/(幻=奴+：,其值是同時受。和匕制約的.當。取最大(小)值時，匕不一定取最大

b

(小)值,因而整個解題思路是錯誤的.正

確解法由題意有

f(1)=a+b

V<(2)=2a+b_

I2

1o

解得：a=_[2/(2)-/(l)],^=1[2/(1)-/(2)],

33

.?/3)=3。+”吧/(2)-？/(I).

399

把/⑴和/⑵的范圍代入得^</(3)<!1，

33

在本題中能夠檢查出解題思路錯誤,并給出正確解法,就體現(xiàn)了思維具有反思性.

只有牢固地掌握基礎知識,才能反思性地看問題.

例2證明勾股定理：已知在乙48。中，/。=90。，求證，2=。2+/?2.

錯誤證法在RfAABC中，sinA=cosA=2,而sin+cos2A=1,

cc

二.(f)?+())2=1，即”=。2+82.

9

錯誤分析在現(xiàn)行的中學體系中，sii？A+cos2A=1這個公式本身是從勾股定理

推出來的.這種利用所要證明的結論，作為推理的前提條件,叫循環(huán)論證.循環(huán)論證的錯

誤是在不知不覺中產生的，而且不易發(fā)覺.因此，在學習中對所學的每個公式、法則、

定理，既要熟悉它們的內容,又要熟悉它們的證明方法和所依據的論據.這樣才能避免

循環(huán)論證的錯誤.發(fā)現(xiàn)本題犯了循環(huán)論證的錯誤，正是思維具有反思性的體現(xiàn).

(2)驗算的訓練

驗算是解題后對結果進行檢驗的過程.通過驗算,可以檢查解題過程的正確性,增

強思維的反思性.

例3已知數(shù)列｛%｝的前〃項和S“=2"+l,求a

錯誤解法an=S?-5^=(2%1)-(2e+1)=2"-2"7=2"?

錯誤分析顯然，當〃=1時，a,=酬=3/21=1,錯誤原因，沒有注意公式

a,=S?-S”i成立的條件是〃>2(neN).因此在運用a“=S?-5?.,時,必須檢驗〃=1

時的情形.即：a區(qū)(〃=1)

"7(〃N2,〃eN)

例4實數(shù)a為何值時，圓x2+y2_2以+口2一i=o與拋物線丁2=1/有兩個公共

2

點.

錯誤解法將圓V+y2_2以+/_1=()與拋物線/二工聯(lián)立，消去丫，

2

得X"—(2d—-1=0(x20)①

2

h=o

I1

因為有兩個公共點,所以方程①有兩個相等正根,得〈2a-->0

a2-l>0.

圖2—2—1

要使圓與拋物線有兩個交點的充要條件是方程①有一正根、一負根；或有兩個相

等正根.

fA＞0

當方程①有一正根、一負根時，得解之，得-

因止匕當。=1"一1＜。＜1時，圓》2+｝；2一2"+。2一1=()與拋物線丁2=_1_%有兩

82

個公共點.

思考題：實數(shù)。為何值時，圓X2+y2_2以+a2_1=0與拋物線＞2=1),

2

(1)有一個公共點；

(2)有三個公共點；

(3)有四個公共點；

(4)沒有公共點.

養(yǎng)成驗算的習慣,可以有效地增強思維反思性.如：在解無理方程、無理不等式；對

數(shù)方程、對數(shù)不等式時，由于變形后方程或不等式兩端代數(shù)式的定義域可能會發(fā)生變化,

這樣就有可能產生增根或失根,因此必須進行檢驗,舍棄增根,找回失根.

(3)獨立思考，敢于發(fā)表不同見解

受思維定勢或別人提示的影響，解題時盲目附和,不能提出自己的看法,這不利于

增強思維的反思性.因此,在解決問題時,應積極地獨立思考,敢于對題目解法發(fā)表自己

的見解,這樣才能增強思維的反思性,從而培養(yǎng)創(chuàng)造性思維.

例530支足球隊進行淘汰賽，決出一個冠軍，問需要安排多少場比賽？

解因為每場要淘汰1個隊,30個隊要淘汰29個隊才能決出一個冠軍.因此應

安排29場比賽.

思路分析傳統(tǒng)的思維方法是：30支隊比賽,每次出兩支隊，應有15+7+4

+2+1=29場比賽.而上面這個解法沒有盲目附和,考慮到每場比賽淘汰1個隊要

淘汰29支隊,那么必有29場比賽.

例6解方程xJ2x+3=cosx.

考察方程兩端相應的函數(shù)y=(九-Ip+2,y=cos尤，它們的圖象無交點.

所以此方程無解.

11

例7設a、￡是方程小一2履+%+6=0的兩個實根,則（二一1）2+（僅一1）2的最小

值是（）

49

⑷一一；88;018;（。）不存在

4

思路分析本例只有一個答案正確,設了3個陷阱,很容易上當.

利用一元二次方程根與系數(shù)的關系易得：a+/3=2k,a/3=k+6,

（a—1）~+—1）~=cz'—2a+1+-2,+1

=（a+4）2—2的一2（a+￡）+2

3、249

=4At（1%—

44

有的學生一看到-竺_,常受選擇答案（A）的誘惑，盲從附和.這正是思維缺乏

4

反思性的體現(xiàn).如果能以反思性的態(tài)度考察各個選擇答案的來源和它們之間的區(qū)別,就

能從中選出正確答案.

原方程有兩個實根a、/3,

A=41-4（%+6）20,k<-2或423.

當人23時，（。一1）2+（〃—1）2的最小值是8；當左4一2時，（a—1）2+（尸一1）2的最

小值是18；

這時就可以作出正確選擇，只有（B）正確.

第三講數(shù)學思維的嚴密性

二'概述

在中學數(shù)學中，思維的嚴密性表現(xiàn)為思維過程服從于嚴格的邏輯規(guī)則，考察問題時嚴格、

準確,進行運算和推理時精確無誤.數(shù)學是一門具有高度抽象性和精密邏輯性的科學，

論證的嚴密性是數(shù)學的根本特點之一.但是，由于認知水平和心里特征等因素的影響，

中學生的思維過程常常出現(xiàn)不嚴密現(xiàn)象,主要表現(xiàn)在以下幾個方面：

概念模糊概念是數(shù)學理論體系中十分重要的組成部分它是構成判斷、推理的要素.

因此必須弄清概念，搞清概念的內涵和外延，為判斷和推理奠定基礎.概念不清就容易

陷入思維混亂,產生錯誤.

判斷錯誤判斷是對思維對象的性質、關系、狀態(tài)、存在等情況有所斷定的一種思維

形式.數(shù)學中的判斷通常稱為命題.在數(shù)學中,如果概念不清,很容易導致判斷錯誤.

12

例如,“函數(shù)y=(1)7是一個減函數(shù)”就是一個錯誤判斷.

3

推理錯誤推理是運用已知判斷推導出新的判斷的思維形式.它是判斷和判斷的聯(lián)

合.任何一個論證都是由推理來實現(xiàn)的,推理出錯,說明思維不嚴密.

例如，解不等式X>1-

X

解x2>1,

X

x>1,或X<-1.這個推理是錯誤的在由X〉1推導/>1時,沒有討論龍的

X

正、負，理由不充分，所以出錯.二'

思維訓練實例

思維的嚴密性是學好數(shù)學的關鍵之一.訓練的有效途徑之一是查錯.

(1)有關概念的訓練

概念是抽象思維的基礎,數(shù)學推理離不開概念.“正確理解數(shù)學概念是掌握數(shù)學基礎知

識的前提.”《中學數(shù)學教學大綱》(試行草案)

例1'不等式Iog(7忘X22x-4)>log小2)(/-3X+2).

錯誤解法X2+2>\,

3x--2x—4>x~—3x+2,

3、

2A2+X-6>0,二》>_或》<_2.

2

錯誤分析當光=2時,真數(shù)尤2—3尤+2=0且x=2在所求的范圍內(因2〉?),說

2

明解法錯誤.原因是沒有弄清對數(shù)定義.此題忽視了“對數(shù)的真數(shù)大于零”這一條件

造成解法錯誤,表現(xiàn)出思維的不嚴密性.

正確解法/+2〉

1f11「

],一、/或x<一、后

f3x2-2x-4>0,3—S-

^X2-3X+2>0->?產2或》<1

3X2-2X-4>X2-3X+2%>三或》<-2

2

x>2或x<-2.

例2'求過點(0,1)的直線，使它與拋物線y2=2x僅有一個交點.

13

錯誤解法設所求的過點(0,1)的直線為＞=區(qū)+1,則它與拋物線的交點為

[y=kx-v\

〈，消去y得：(kx+1)2-2x=0.

〔戶"

整理得k2x2+(2k-2)x+1=0.直線與拋物線僅有一個交點，

.?.△=0,解得女」..?.所求直線為昨1+1.

22

錯誤分析此處解法共有三處錯誤：

第一,設所求直線為y=日+1時,沒有考慮出=0與斜率不存在的情形，實際上就是承

認了該直線的斜率是存在的,且不為零,這是不嚴密的.

第二,題中要求直線與拋物線只有一個交點,它包含相交和相切兩種情況,而上述解

法沒有考慮相切的情況，只考慮相交的情況.原因是對于直線與拋物線“相切”和“只有

一個交點”的關系理解不透.

第三,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個一元二次方程,要考慮它的判別式,所

以它的二次項系數(shù)不能為零，即ZwO,而上述解法沒作考慮,表現(xiàn)出思維不嚴密.正確

解法當所求直線斜率不存在時，即直線垂直x軸，因為過點(0,1)，所以x=0,即

y軸,它正好與拋物線y2=2x相切.

當所求直線斜率為零時,直線為y=L平行x軸，它正好與拋物線y2=2x只有一個

交占

設所求的過點(0,1)的直線為＞=日+1(%。0)則

\y=kx+1〃、1

f…左2/+(2左一2h+1=0.令△=0,解得女=_..??所求直線為

[y2-lx2

1,

y=_x+1.

2

綜上,滿足條件的直線為：

1,

y=l,x=0,y=—X+L

2

(2)判斷的訓練

造成判斷錯誤的原因很多,我們在學習中,應重視如下幾個方面.

①注意定理'公式成立的條件

數(shù)學上的定理和公式都是在一定條件下成立的.如果忽視了成立的條件,解題中

14

難免出現(xiàn)錯誤.

例3、實數(shù)加，使方程x2+(m+4i)x+1+2mi=0至少有一個實根.錯

誤解法方程至少有一個實根，

A=(m-F4z)2-4(1+2mz)=ITT-20>0.

m>2y3,或加<-26

錯誤分析實數(shù)集合是復數(shù)集合的真子集，所以在實數(shù)范圍內成立的公式、定理，在

復數(shù)范圍內不一定成立，必須經過嚴格推廣后方可使用,一元二次方程根的判別式是對

實系數(shù)一元二次方程而言的,而此題目盲目地把它推廣到復系數(shù)一元二次方程中，造成

解法錯誤.

正確解法設。是方程的實數(shù)根，則

a2+(m+4i)a+1+2mi=0,

/.a*+ma+1+(4Q+2m)i=0.

由于。、小都是實數(shù)，

a2+ma+1=0

4。+2m=0

解得m=±2.

例4已知雙曲線的右準線為x=4，右焦點F(10,0),離心率e=2，求雙曲線方程.

錯角牛1x=——=4,c=10,/.a2=40,/.h2=c2—a2=60.

c

故所求的雙曲線方程為

星?

茄-茄1

錯解2由焦點尸(10,0)知。=10,

e=2,/.a=5,b2=c2—a2=75.

a

故所求的雙曲線方程為

-W-2--1.

^-75

錯解分析這兩個解法都是誤認為雙曲線的中心在原點，而題中并沒有告訴中心

在原點這個條件.由于判斷錯誤,而造成解法錯誤.隨意增加、遺漏題設條件,都會

15

產生錯誤解法.

正解1設P(x,y)為雙曲線上任意一點，因為雙曲線的右準線為x=4,右焦點

尸(10,0),離心率e=2,由雙曲線的定義知

-J(x-10)2+y2

--------------=Z.

U-4|

(九-2)2_,

整理得

正解2依題意，設雙曲線的中心為。77,0)

---Fm=4=4

c

則《C+771=10解得＜C=S

Im-2.

1r^2.

所以。2=。2一。2=64-16=48,

故所求雙曲線方程為任二空-y=i.

16寂

②注意充分條件'必要條件和充分必要條件在解題中的運用

我們知道：

如果A成立,那么B成立，即An8,則稱A是8的充分條件.

如果B成立,那么A成立，即8nA,則稱A是B的必要條件.如

果Ao8,則稱A是8的充分必要條件.

充分條件和必要條件中我們的學習中經常遇到.像討論方程組的解,求滿足條件的點

的軌跡等等.但充分條件和必要條件中解題中的作用不同,稍用疏忽,就會出錯.

例5解不等式VT萬Nx-3.

錯誤解法要使原不等式成立，只需

x-1>0

..r-3>0,解得3Kx<5.

x—12(x—3)~

16

[A>0

A>0

錯誤分析不等式聲28成立的充分必要條件是:>'B>0或.

B<0

\A>B2

L-1>o

原不等式的解法只考慮了一種情況卜-3>0

而忽視了另一種情況

卜-1>（%-3）2[%-3<0

所考慮的情況只是原不等式成立的充分條件，而不是充分必要條件,其錯誤解法的實質,

是把充分條件當成了充分必要條件.

正確解法要使原不等式成立，則

fx-1>0

<x—320IX-1>0

或|x-3<0

X-1>(JC-3)2

:.3<5,或1W3.

.??原不等式的解集為｛x\1<x<5）

例6（軌跡問題）求與y軸相切于右側，并與

OC:/+y2_6x=o也相切的圓的圓

心的軌跡方程.

錯誤解法如圖3—2—1所示，

已知OC的方程為（x—3y+y2=9.

圖3-2-

設點P（x,y）（x〉0）為所求軌跡上任意一點，并且G）P與y軸相切于M點,

與。C相切于N點.根據已知條件得

ICPRPMI+3,即J._3）2+y2=x+3.

化問得y2=12x（X>0）.

錯誤分析本題只考慮了所求軌跡的純粹性（即所求的軌跡上的點都滿足條件），

而沒有考慮所求軌跡的完備性（即滿足條件的點都在所求的軌跡上）.事實上,符合題

目條件的點的坐標并不都滿足所求的方程.從動圓與已知圓內切，可以發(fā)現(xiàn)以X軸正半

軸上任一點為圓心，此點到原點的距離為半徑（不等于3）的圓也符合條件，所

以y=0（x>0且無=3）也是所求的方程.即動圓圓心的軌跡方程是/=i2x（尤>0）和

17

y=0(x〉0且%H3).因此，在求軌跡時，一定要完整的、細致地、周密地分析問題，

這樣,才能保證所求軌跡的純粹性和完備性.

③防止以偏概全的錯誤

以偏概全是指思考不全面,遺漏特殊情況,致使解答不完全,不能給出問題的全部

答案,從而表現(xiàn)出思維的不嚴密性.

例7設等比數(shù)列｛4｝的全〃項和為S“.若邑+§6=2S9，求數(shù)列的公比g.

錯誤解法S3+56=2S9,

a(1-<y3)<2(1-qb)a[\-qg)

：.J------+J-------=2-J-------

1-q1-q1-q

整理得q3(2q6_g3_i)=0

由qwO得方程2q6_/—i=o.(2/+1)03_1)=0,

=--或q=1

2

錯誤分析在錯解中，由"可)+”—力-2.例一亦

1-q1-q1-q

整理得q%2qJqLD=0.時應有。?工0和q工1.在等比數(shù)列中,《工0是顯然的,

但公比q完全可能為1,因此，在解題時應先討論公比q=1的情況，再在qN1的情況

下,對式子進行整理變形.

正確解法若夕=1,貝U有S3=3/,S6=6?,S9=90.

但a產0,即得S3+S6Y2s.與題設矛盾，故4工1.

又依題意S3+S6=2S9,

a(l-/)a(1-qb)a(1-q9)

J

可得J--------hJ-------=2-—

T-q1-q1-q

整理得dQd-d-、)=0.即(27+1)(/-1)=0,

因為qw1,所以qJ1。0,所以2/+1=0.

18

所以q=m.

2

說明此題為1996年全國高考文史類數(shù)學試題第（21）題,不少考生的解法同錯

誤解法,根據評分標準而痛失2分.

④避免直觀代替論證

我們知道直觀圖形常常為我們解題帶來方便.但是，如果完全以圖形的直觀聯(lián)系為

依據來進行推理,這就會使思維出現(xiàn)不嚴密現(xiàn)象.

例8（如圖3—2—2），具有公共y軸的兩個直角坐標平面a和〃所成的二面角

a-y軸一￡等于60。.已知￡內的曲線C的方程是>2=2〃￡（〃〉0）求曲線（7在￡內

的射影的曲線方程.

錯誤解法依題意，可知曲線C是拋物線，

在內的焦點坐標是尸犬,0）,〃>0.//

因為二面角a-y軸一夕等于60。，

且V軸_Ly軸,x軸y軸所以NXQV=60°.

設焦點n在a內的射影是F（x,y），那么，尸位于x軸上，

從而y=O,NF'OF=60°,ZF'FO=90°,

所以。尸=。9.cos60。=匕1=匕所以點尸吠,0）是所求射影的焦點.依題意,射影

2244

是一條拋物線,開口向右,頂點在原點.

所以曲線C在a內的射影的曲線方程是丁二。%.

錯誤分析上述解答錯誤的主要原因是，憑直觀誤認為尸是射影（曲線）的焦點，

其次，未經證明默認C在a內的射影（曲線）是一條拋物線.

正確解法在《內，設點M（x',y'）是曲線上任意一點

（如圖3—2—3）過點M作MNLa,垂足為N,八

過N作N"_Ly軸,垂足為連接M”，//\

則MHJ_y軸.所以NMHN是二面角

19

a-y軸一〃的平面角，依題意，NMHN=6。。.

在RtAMNH中,HN=HM-cos60°=Lx'.

2

又知軸(或"與。重合)，

HN，x軸(或H與。重合)，設N(x,y),

1=1/fy=2x

則(2Yy=y

j=V

因為點M3,y')在曲線y2=2p￡(p>0)上，所以y2=2p(2x).

即所求射影的方程為y2=4px(p>0).

(3)推理的訓練

數(shù)學推理是由已知的數(shù)學命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學求解的核

心.以已知的真實數(shù)學命題，即定義、公理、定理、性質等為依據，選擇恰當?shù)慕忸}方

法，達到解題目標,得出結論的一系列推理過程.在推理過程中，必須注意所使用的命題

之間的相互關系(充分性、必要性、充要性等)，做到思考縝密、推理嚴密.

例9設橢圓的中心是坐標原點，長軸x在軸上，離心率《=史，已知點P(0,3)到

22

這個橢圓上的最遠距離是將，求這個橢圓的方程.

錯誤解法依題意可設橢圓方程為三-^=1(?>/；>0)

a2+b2

則e2乒=a--Z?.2,=1,

=2~224

aaa

所以竺,，即a=2b.

a24

設橢圓上的點(x,y)到點P的距離為d,

則d2=x2+(y-^2

2

20

=-3（y+，）2+4〃+3.

2

所以當y=-l時，片有最大值，從而［也有最大值.

2

所以4/+3=(6y,由此解得：匕2=］,。2=4.

于是所求橢圓的方程為上y2=i

4+''

錯解分析盡管上面解法的最后結果是正確的，但這種解法卻是錯誤的.結果正確

只是碰巧而已.由當y=-l時7儲有最大值，這步推理是錯誤的，沒有考慮y到

2

的取值范圍.事實上，由于點(x,y)在橢圓上,所以有-b<y<b,因此在求力的最大值

時,應分類討論.即：

若人<1,則當y=-b時，［2(從而］)有最大值.

2

于是(〃)2=S+i)2,從而解得人=目一與b<】_矛盾.

2222

所以必有。此時當y=-l_i寸，"2(從而d)有最大值，

22

所以4Z,2+3=(")2,解得b2=1-2=4.

于是所求橢圓的方程為二y2=］

4+

例10求丁=_2_:」_的最小值

sinxcosx

錯解1y=，_+-V”、三工L—8一

sinxcos~xVsinxcosx\sinxcosx|

_16>16,.y=16.

Isi,n