生活中的數(shù)學（四）

在平面幾何中，我們已經(jīng)知道以下定理.

定理1相似形周長的比等于相似比.

定理2相似形面積的比等于相似比的平方.

例1已知：△ABCS^A'B1C,并且AB=2c,BC=2a,AC=2b,A'

B'=3c,B'C=3a,A'C=3b.求證：AABCB'C周長的

比是2:3（圖2-172）.

圖2-172

證4ABC的周長是

2a+2b+2c=2(a+b+c),

△A'B'C‘的周長是

3a+3b+3c=3(a+b+c),

所以AABC和AA'B1C的周長的比是

2(a+b+c):3(a+b+c)=2:3.

A

D，

圖2-173

例2圖2-173是兩個相似矩形，如果它們的相似比是3：4,求證:

它們面積的比是32：42.

證矩形ABCD的面積是3a?3b=3?ab,矩形A'B'CD‘的面積是

4a-4b=42ab,所以矩形ABCD和矩形A，B'CD’的面積之比是

32ab：42ab=32：42.

從定理1和定理2,我們自然會想到：相似的兩個立體的體積之比與

它們的相似比有什么關(guān)系呢？為此，我們看下面的例子.

例3圖2-174是兩個相似的長方體，它們的相似比為3：5,求它們

的體積之比.

解長方體(a)的體積是

3a,3b?3c=33abc,

長方體(b)的體積是

5a,5b?5c=53abc,

所以長方體(a)與長方體⑹的體積的比是

33abe:53abe=3,I53

例4圖2-175是兩個相似圓柱，它們的相似比為2：3,求它們的體

積之比.

圖2-175

解小圓柱的體積是

(2a)2n-2b=23a2bJi,大圓柱的體積是

(3a)2n?3b=33a2bJi,所以小圓柱與大圓柱的體積之比為2,：33.

定理3相似形的體積之比，等于它的相似比的立方.

有了上面的知識，我們回到本題，是買小魚便宜呢？還是買大魚便宜

呢？我們假定同一種魚的體形是相似形，對于魚A和魚B來說，A與B的

相似比為13：10,因此，根據(jù)定理3,A與B的體積之比為

133_2197

IO1—1000

由于A魚的價格是1.5元，B魚的價格是1元，所以價格比是1.5：

1=1.5,我們可以看到，A的體積是B的體積的2.197倍，可是A的價格

卻是B的價格的1.5倍，所以買大魚A比買小魚B更合算.

下面我們進一步考慮一下魚的高度和體積的關(guān)系，為此，我們先規(guī)定

標準：設M魚高1厘米時，體積是2厘米，，那么N魚高是x厘米時，體

積是y厘米3.由于M和N是相似形，所以由相似形體積之比與相似

比的關(guān)系可知：=所以y=2x3

根據(jù)上式，當x的值變化時，y的值相應地跟著變化，于是，我們就

得到表30.1.

表30.1

X/厘米00.511.522.533.54???

00.12513.375815.6252747.87564.??

W厘米300.2526.751631.255485.75128.??

從表中可以看到：當x=l時，x3=l,y=2x3=2.這就是M魚的身高與體

積的關(guān)系.

當x的長度由1厘米增長到2厘米，即增長2倍時，其體積y相應地

由2厘米3增長到16厘米3,即增長了8⑵）倍.

當x的長度由1厘米增長到3厘米，即增長3倍時，其體積y相應地

由2厘米3增長到54厘米3,即增長了27⑶倍.

一般地，當x增長n倍時，則體積y相應地增長if倍.

根據(jù)上表中的x和y的對應數(shù)值，可以畫出y=2x，的圖像（圖2-176）.

例5利用y=2x，的圖像（圖2-176）,解答下列問題:

⑴當x=2.75時，y的值是多少？

⑵當y=10時，x的值是多少？

解(1)在X軸上，對應于x=2.75取一個點，通過這一點作y軸平行

線交y=2x3的圖像上的某一點，過這一點再作x軸的平行線交y軸于一點，

這一點對應的數(shù)值是40,這樣，就在y軸上得到了x=2.75時對應的y值,

即y=40.這就說明，當魚N的高度為2.75厘米時，它的體積約為40厘

米二

(2)在y軸上對應于y=10取一點，過此點作x軸的平行線，交y=2x，

的圖像于某點，再過這點作y軸的平行線，在x軸上得到了y=10對應的

x值1.75.這說明當N的體積為10厘米,時，高度約為1.75厘米.

上面我們研究了魚的身高和體積的圖像，下面我們進一步考慮魚的身

高和價格的關(guān)系.為此，引用前面的條件，設魚B的身高為10厘米，價

格是每斤1元，其體積假定為50厘米3.由于魚是相似的，在買魚的時候,

考慮到價格的便宜，假設魚的價格和體積成正比例，那么魚的身高和價格

之間有著怎樣的關(guān)系呢？為此，設魚C的身高為x厘米，體積是y厘米3,

價格是z元,那么我們列出表30.2.

表30.2

身高/厘米體積/厘米3價格/分

魚_____

1050100

cXyZ

首先，由于“魚的體積與其身高的三次方成正比例”，所

y=ax3,①

考慮到魚B的身高和體積，即x=10時，y=50,代入①式，就有50=a

X103,所以a=0.05.于是①式就成為

y=0.05x3①'

其次，根據(jù)“魚的價格和體積成正比例”的假定，對于魚C則有

z=by,②

由于②式對于魚B也是成立的，即y=50時，z=100,代入②式，有

100=bX50,所以b=2,這樣②式就成為

z=2y.②，

再把①'代入②’，就得到

z=2X0.05x3,

所以z=0.lx3③

這就是魚的身高和價格的關(guān)系表達式.利用③式就可以計算下面的問

題.

例6設魚的身高為13厘米，它的價格每斤是多少元？

解把x=13代入③式，

z=0.1X133=O.1X2197=219.7

=220（分）=2.2（元）.

即每斤約二元二角.

如果把③式中x和z的關(guān)系用數(shù)值來表示，就有表30.3.

表30L3

x/cm011015202530???

3

x^/cm011000337580001562527000???

z/分00.1100337.58001562.52700???

這個表中，以x=10時，z=100作標準，聯(lián)系到前面表中的結(jié)果，可

以看出：

（1）魚的身高增到1.5倍，價格便增到3.375倍（1.5,倍）；

（2）魚的身高增到2倍，價格便增到8倍⑵倍）；

（3）魚的身高增到2.5倍，價格便增到15.625倍⑵5,倍）；

（4）魚的身高增到3倍，價格便增到27倍⑶倍）.

一般地，魚的身高增到n倍，其價格便增到n，倍，根據(jù)表中x和z

的對應數(shù)值，畫出z=0.lx，的圖像，就得到圖2-177.

練習三十

1.根據(jù)圖2-177回答：

(1)魚的身高為20厘米時，它的每斤的價格是多少元？

(2)魚的價格是每斤4元時，其身高是多少厘米？

2.兩張照片是同一張底片拍出的.如果兩張照片對應邊長的比是1：

2,并且第一