第頁(yè)）絕密★啟用前6月7日15:00-17:002019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）總分：150分考試時(shí)間：120分鐘★祝考試順利★注意事項(xiàng)：本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證條形碼粘貼在答題卡的指定位置。用2B鉛筆將答題卡上試卷類型A后的方框涂黑。選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。寫在試題卷、草稿紙、答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試題卷、草稿紙、答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并上交。第I卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.（2019北京卷·理）已知復(fù)數(shù)，則（） A. B. C. D.【解析】因?yàn)?，所以，所?故選D.【答案】D2.（2019北京卷·理）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（） A. B. C. D.【解析】；第一次循環(huán)：，判斷；第二次循環(huán)：，判斷；第三次循環(huán)：，判斷.故輸出2，故選B.【答案】B3.（2019北京卷·理）已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則點(diǎn)到直線的距離是（） A. B. C. D.【解析】由題意可知直線l的普通方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)到直線l的距離.故選D.【答案】D4.（2019北京卷·理）已知橢圓的離心率為，則（） A. B. C. D.【解析】因?yàn)闄E圓的離心率為，所以.又，所以.故選B.【答案】B5.（2019北京卷·理）若，滿足，且，則的最大值為（） A. B. C. D.【解析】由，且，得作出可行域如圖陰影部分所示.設(shè)，則，作直線，并進(jìn)行平移.顯然當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，z取得最大值，.故選C.【答案】C6.（2019北京卷·理）在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述．兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為的星的亮度為．已知太陽(yáng)的星等是，天狼星的星等是，則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為（） A. B. C. D.【解析】由題意知，，，代入所給公式得，所以，所以.故選A.【答案】A7.（2019北京卷·理）設(shè)點(diǎn)，，不共線，則“與的夾角為銳角”是“”的（） A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】因?yàn)樵O(shè)點(diǎn)，，不共線，由向量加法的三角形法則，可知，所以等價(jià)于，因模為正，故不等號(hào)兩邊平方得（為與的夾角），整理得，故，即為銳角.又以上推理過(guò)程可逆，所以“與的夾角為銳角”是“”的充分必要條件.故選C.【答案】C8.（2019北京卷·理）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖）．給出下列三個(gè)結(jié)論： ①曲線恰好經(jīng)過(guò)個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）； ②曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)； ③曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于． 其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（） A.① B.② C.①② D.①②③【解析】由，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故曲線C恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)：，，，，，，所以①正確.由基本不等式，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故②正確.如圖，由①知矩形CDFE的面積為2，△BCE的面積為1，所以曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3，故③錯(cuò)誤.故選C.【答案】C第Ⅱ卷填空題：本題共6小題，每小題5分。9.（2019北京卷·理）函數(shù)的最小正周期是．【解析】由降冪公式得所以最小正周期.【答案】10.（2019北京卷·理）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則，的最小值為．【解析】因?yàn)?，，所以，所以，所以通?xiàng)公式.令，得，即數(shù)列的前4項(xiàng)為負(fù)，，第6項(xiàng)及以后的項(xiàng)為正.所以的最小值為.【答案】，11.（2019北京卷·理）某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，那么該幾何體的體積為． 【解析】由題意知，去掉的四棱柱的底面為直角梯形，底面積，高等于正方體的棱長(zhǎng)4，所以去掉的四棱柱的體積為.又正方體的體積為，所以該幾何體的體積為.【答案】4012.（2019北京卷·理）已知，是平面外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷： ①； ②； ③． 以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：．【解析】已知，是平面外的兩條不同直線，由①與②，不能推出③，因?yàn)閘與可以平行，也可以相交但不垂直；由①與③能推出②；由②與③能推出①.故正確的命題是②③①或①③②.【答案】若，，則（答案不唯一）13.（2019北京卷·理）設(shè)函數(shù)（為常數(shù)）．若為奇函數(shù)，則；若是上的增函數(shù)，則的取值范圍是．【解析】因?yàn)椋槌?shù)）的定義域?yàn)椋?，所?而，由于是上的增函數(shù)，所以在上恒成立.又，所以，即a的取值范圍是【答案】，14.（2019北京卷·理）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為元/盒、元/盒、元/盒、元/盒．為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購(gòu)買水果的總價(jià)達(dá)到元，顧客就少付元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的． ①當(dāng)時(shí)，顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各盒，需要支付元； ②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則的最大值為．【解析】①顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各1盒，原價(jià)應(yīng)為（元），超過(guò)了120元可以優(yōu)惠，所以當(dāng)時(shí)，顧客需要支付（元）.②由題知，當(dāng)x確定后，顧客可以得到的優(yōu)惠金額是固定的，所以顧客支付的金額越少，優(yōu)惠的比例越大.而顧客想要得到優(yōu)惠，最少要一次購(gòu)買2盒草莓，此時(shí)顧客支付的金額為元，所以列出不等式，解得.即x的最大值為15.【答案】，三、解答題：本題共80分。15.（2019北京卷·理）在中，，，．（1）求，的值；（2）求的值．【解析】（1）由余弦定理，得．因?yàn)?，所以．解得．所以．?）由得．由正弦定理得．在中，是鈍角，所以為銳角．所以．所以．16.（2019北京卷·理）如圖，在四棱錐中，，，，，．為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且． （1）求證：；（2）求二面角的余弦值；（3）設(shè)點(diǎn)在上，且．判斷直線是否在平面內(nèi)，說(shuō)明理由．【解析】（1）因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，所以．?）過(guò)作的垂線交于點(diǎn)．因?yàn)?，所以，．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．所以，，．所以，．設(shè)平面的法向量為，則即令，則，．于是．又因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，所以．由題知，二面角為銳角，所以其余弦值為．（3）直線在平面內(nèi)．因?yàn)辄c(diǎn)在上，且，，所以，．由（Ⅱ）知，平面的法向量．所以．所以直線在平面內(nèi)．17.（2019北京卷·理）改革開放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月，兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了人，發(fā)現(xiàn)樣本中，兩種支付方式都不使用的有人，樣本中僅使用和僅使用的學(xué)生的支付金額分布情況如下：大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人（1）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月，兩種支付方式都使用的概率；（2）從樣本僅使用和僅使用的學(xué)生中各隨機(jī)抽取人，以表示這人中上個(gè)月支付金額大于元的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用的學(xué)生中，隨機(jī)抽查人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用的學(xué)生中本月支付金額大于元的人數(shù)有變化?說(shuō)明理由．【解析】（1）由題意知，樣本中僅使用的學(xué)生有人，僅使用的學(xué)生有人，，兩種支付方式都不使用的學(xué)生有人．故樣本中，兩種支付方式都使用的學(xué)生有人．所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取人，該學(xué)生上個(gè)月，兩種支付方式都使用的概率估計(jì)為．（2）的所有可能值為，，．記事件為“從樣本僅使用的學(xué)生中隨機(jī)抽取人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于元”，事件為“從樣本僅使用的學(xué)生中隨機(jī)抽取人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于元”．由題設(shè)知，事件，相互獨(dú)立，且，．所以，所以的分布列為0120.240.520.24 故的數(shù)學(xué)期望．（3）記事件為“從樣本僅使用的學(xué)生中隨機(jī)抽查人，他們本月的支付金額都大于元”．假設(shè)樣本僅使用的學(xué)生中，本月支付金額大于元的人數(shù)沒有變化，則由上個(gè)月的樣本數(shù)據(jù)得．答案示例：可以認(rèn)為有變化．理由如下：比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生．一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月的支付金額大于元的人數(shù)發(fā)生了變化．所以可以認(rèn)為有變化．答案示例：無(wú)法確定有沒有變化．理由如下：事件是隨機(jī)事件，比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，所以無(wú)法確定有沒有變化．18.（2019北京卷·理）已知拋物線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)為原點(diǎn)，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作斜率不為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，，直線分別交直線，于點(diǎn)和點(diǎn)．求證：以為直徑的圓經(jīng)過(guò)軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．【解析】（1）由拋物線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得．所以拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為．（2）拋物線的焦點(diǎn)為．設(shè)直線的方程為．由得．設(shè)，，則．直線的方程為．令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)．同理得點(diǎn)的橫坐標(biāo)．設(shè)點(diǎn)，則，，令，即，則或．綜上，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)軸上的定點(diǎn)和．19.（2019北京卷·理）已知函數(shù)．（1）求曲線的斜率為的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求證：；（3）設(shè)，記在區(qū)間上的最大值為．當(dāng)最小時(shí)，求的值．【解析】（1）由得．令，即，得或．又，，所以曲線的斜率為的切線方程是與，即與．（2）令，．由得．令得或．，的情況如表： .0 的最小值為，最大值為．故，即．（3）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．綜上，當(dāng)最小時(shí)，．20.（2019北京卷·理）已知數(shù)列從中選取第項(xiàng)、第項(xiàng)、、第項(xiàng)（），若，則稱新數(shù)列，，，為的長(zhǎng)度為的遞增子列．規(guī)定：數(shù)列的任意一項(xiàng)都是的長(zhǎng)度為的遞增子列．（1）寫出數(shù)列，，，，，，的一個(gè)長(zhǎng)度為的遞增子列；（2）已知數(shù)列的長(zhǎng)度為的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為，長(zhǎng)度為的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為．若，求證：；（3）設(shè)無(wú)窮數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且任意兩項(xiàng)均不相等．若的長(zhǎng)度為的遞增子列末項(xiàng)的最小值為，且長(zhǎng)度為末項(xiàng)為的遞增子列恰有個(gè)（），求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解析】（1），，，．（答案不唯一）（2）設(shè)長(zhǎng)度為末項(xiàng)為的一個(gè)遞增子列為，，，，．由，得．因?yàn)榈拈L(zhǎng)度為的遞增子列末項(xiàng)的最小值為，又，，，是的長(zhǎng)度為的遞增子列，所以．所以.（3）由題設(shè)知，所有正奇數(shù)都是中的項(xiàng).先證明：若是中的項(xiàng)，則必排在之前（為正整數(shù)）．假設(shè)排在之后．設(shè)，，，，是數(shù)列的長(zhǎng)度為