絕密★啟用前202l年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（甲卷）文科數(shù)學(xué)注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)集合，則A． B． C． D．2．為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6%B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10%C．估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D．估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間3．已知，則A． B． C． D．4．下列函數(shù)中是增函數(shù)的為A． B． C． D．5．點到雙曲線的一條漸近線的距離為A． B． C． D．6．青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.67．在一個正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E，F(xiàn)，G．該正方體截去三棱錐后，所得多面體的三視圖中，正視圖如右圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是A． B． C． D．8．在中，已知，，，則A．1 B． C． D．39．記為等比數(shù)列的前n項和．若，，則A．7 B．8 C．9 D．1010．將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.811．若，則A． B． C． D．12．設(shè)是定義域為R的奇函數(shù)，且．若，則A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若向量滿足，則_________．14．已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為，則該圓錐的側(cè)面積為________．15．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則_______________．16．已知為橢圓C：的兩個焦點，P，Q為C上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為________．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：一級品二級品合計甲機床15050200乙機床12080200合計270130400（1）甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？（2）能否有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？附：，0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818．（12分）記為數(shù)列的前n項和，已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列．19．（12分）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點，．（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點，證明：．20．（12分）設(shè)函數(shù)，其中．（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖像與x軸沒有公共點，求a的取值范圍．21．（12分）拋物線C的頂點為坐標原點O．焦點在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點，且．已知點，且與l相切．（1）求C，的方程；（2）設(shè)是C上的三個點，直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．22．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．（1）將C的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）設(shè)點A的直角坐標為，M為C上的動點，點P滿足，寫出的軌跡的參數(shù)方程，并判斷C與是否有公共點．23．[選修4-5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)．（1）畫出和的圖像；（2）若，求a的取值范圍．202l年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（甲卷）文科數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題1.B2.C3.B4.D5.A6.C7.D8.D9.A10.C11.A12.C二、填空題13.14.15.16.8三、解答題（一）必考題17.（1）75%；60%；（2）能.18.【詳解】∵數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為∴，∴，∴當時，當時，，滿足，∴的通項公式為，∴∴是等差數(shù)列.19.(1)；（2）由（1）的結(jié)論可將幾何體補形為一個棱長為2的正方體，如圖所示，取棱的中點，連結(jié)，正方形中，為中點，則，又，故平面，而平面，從而.20.（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.21.（1）拋物線，方程為；（2）相切，[方法一]：設(shè)若斜率不存在，則方程為或，若方程為，根據(jù)對稱性不妨設(shè)，則過與圓相切的另一條直線方程為，此時該直線與拋物線只有一個交點，即不存在，不合題意；若方程為，根據(jù)對稱性不妨設(shè)則過與圓相切的直線為，又，，此時直線關(guān)于軸對稱，所以直線與圓相切；若直線斜率均存在，則，所以直線方程，整理得，同理直線的方程為，直線的方程為，與圓相切，整理得，與圓相切，同理所以為方程的兩根，，到直線的距離為：，所以直線與圓相切；綜上若直線與圓相切，則直線與圓相切.[方法二]【最優(yōu)解】：設(shè)．當時，同解法1．當時，直線的方程為，即．由直線與相切得，化簡得，同理，由直線與相切得．因為方程同時經(jīng)過點，所以的直線方程為，點M到直線距離為．所以直線與相切．