2023中考數(shù)學(xué)考試試卷試題中考數(shù)學(xué)初中學(xué)業(yè)水平考試初三真題及答案解析(含答案和解析)第I卷選擇題（共30分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)選出來，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．每小題涂對(duì)得3分，滿分36分．1．下列各式正確的是（）A．﹣|﹣5|＝5 B．﹣（﹣5）＝﹣5 C．|﹣5|＝﹣5 D．﹣（﹣5）＝5【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)和相反數(shù)的定義對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可．解：A、∵﹣|﹣5|＝﹣5，∴選項(xiàng)A不符合題意；B、∵﹣（﹣5）＝5，∴選項(xiàng)B不符合題意；C、∵|﹣5|＝5，∴選項(xiàng)C不符合題意；D、∵﹣（﹣5）＝5，∴選項(xiàng)D符合題意．故選：D．2．如圖，AB∥CD，點(diǎn)P為CD上一點(diǎn)，PF是∠EPC的平分線，若∠1＝55°，則∠EPD的大小為（）A．60° B．70° C．80° D．100°【分析】根據(jù)平行線和角平分線的定義即可得到結(jié)論．解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠CPF＝55°，∵PF是∠EPC的平分線，∴∠CPE＝2∠CPF＝110°，∴∠EPD＝180°﹣110°＝70°，故選：B．3．冠狀病毒的直徑約為80～120納米，1納米＝1.0×10﹣9米，若用科學(xué)記數(shù)法表示110納米，則正確的結(jié)果是（）A．1.1×10﹣9米 B．1.1×10﹣8米 C．1.1×10﹣7米 D．1.1×10﹣6米【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)n由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．解：110納米＝110×10﹣9米＝1.1×10﹣7米．故選：C．4．在平面直角坐標(biāo)系的第四象限內(nèi)有一點(diǎn)M，到x軸的距離為4，到y(tǒng)軸的距離為5，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（）A．（﹣4，5） B．（﹣5，4） C．（4，﹣5） D．（5，﹣4）【分析】直接利用點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)進(jìn)而分析得出答案．解：∵在平面直角坐標(biāo)系的第四象限內(nèi)有一點(diǎn)M，到x軸的距離為4，到y(tǒng)軸的距離為5，∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為：﹣4，橫坐標(biāo)為：5，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（5，﹣4）．故選：D．5．下列圖形：線段、等邊三角形、平行四邊形、圓，其中既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解．解：線段是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形；等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形；平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形；圓是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形；則既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的有2個(gè)．故選：B．6．如圖，點(diǎn)A在雙曲線y＝上，點(diǎn)B在雙曲線y＝上，且AB∥x軸，點(diǎn)C、D在x軸上，若四邊形ABCD為矩形，則它的面積為（）A．4 B．6 C．8 D．12【分析】根據(jù)雙曲線的圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的矩形的面積S的關(guān)系S＝|k|即可判斷．解：過A點(diǎn)作AE⊥y軸，垂足為E，∵點(diǎn)A在雙曲線y＝上，∴四邊形AEOD的面積為4，∵點(diǎn)B在雙曲線線y＝上，且AB∥x軸，∴四邊形BEOC的面積為12，∴矩形ABCD的面積為12﹣4＝8．故選：C．7．下列命題是假命題的是（）A．對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形 B．對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形 C．對(duì)角線相等的菱形是正方形 D．對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是正方形【分析】利用正方形的判定依次判斷，可求解．解：A、對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形是真命題，故選項(xiàng)A不合題意；B、對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形是真命題，故選項(xiàng)B不合題意；C、對(duì)角線相等的菱形是正方形是真命題，故選項(xiàng)C不合題意；D、對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，即對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是正方形是假命題，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．8．已知一組數(shù)據(jù)：5，4，3，4，9，關(guān)于這組數(shù)據(jù)的下列描述：①平均數(shù)是5，②中位數(shù)是4，③眾數(shù)是4，④方差是4.4，其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先把數(shù)據(jù)由小到大排列為3，4，4，5，9，然后根據(jù)算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的定義得到數(shù)據(jù)的平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)，再根據(jù)方差公式計(jì)算數(shù)據(jù)的方差，然后利用計(jì)算結(jié)果對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．解：數(shù)據(jù)由小到大排列為3，4，4，5，9，它的平均數(shù)為＝5，數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4，眾數(shù)為4，數(shù)據(jù)的方差＝[（3﹣5）2+（4﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（9﹣5）2]＝4.4．所以A、B、C、D都正確．故選：D．9．在⊙O中，直徑AB＝15，弦DE⊥AB于點(diǎn)C，若OC：OB＝3：5，則DE的長(zhǎng)為（）A．6 B．9 C．12 D．15【分析】直接根據(jù)題意畫出圖形，再利用垂徑定理以及勾股定理得出答案．解：如圖所示：∵直徑AB＝15，∴BO＝7.5，∵OC：OB＝3：5，∴CO＝4.5，∴DC＝＝6，∴DE＝2DC＝12．故選：C．10．對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，關(guān)于x的方程x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0的根的情況為（）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．沒有實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．無法判定【分析】先根據(jù)根的判別式求出“△”的值，再根據(jù)根的判別式的內(nèi)容判斷即可．解：x2﹣（k+5）x+k2+2k+25＝0，△＝[﹣（k+5）]2﹣4××（k2+2k+25）＝﹣k2+6k﹣25＝﹣（k﹣3）2﹣16，不論k為何值，﹣（k﹣3）2≤0，即△＝﹣（k﹣3）2﹣16＜0，所以方程沒有實(shí)數(shù)根，故選：B．11．對(duì)稱軸為直線x＝1的拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）如圖所示，小明同學(xué)得出了以下結(jié)論：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m為任意實(shí)數(shù)），⑥當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而增大．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號(hào)，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c的符號(hào)，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．解：①由圖象可知：a＞0，c＜0，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＜0，故①錯(cuò)誤；②∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故②正確；③當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c＜0，故③錯(cuò)誤；④當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＞0，∴3a+c＞0，故④正確；⑤當(dāng)x＝1時(shí)，y的值最小，此時(shí)，y＝a+b+c，而當(dāng)x＝m時(shí)，y＝am2+bm+c，所以a+b+c≤am2+bm+c，故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正確，⑥當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而減小，故⑥錯(cuò)誤，故選：A．12．如圖，對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平后再次折疊，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)A′處，得到折痕BM，BM與EF相交于點(diǎn)N．若直線BA′交直線CD于點(diǎn)O，BC＝5，EN＝1，則OD的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中位線定理可得AM＝2，根據(jù)折疊的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得A′M＝A′N＝2，過M點(diǎn)作MG⊥EF于G，可求A′G，根據(jù)勾股定理可求MG，進(jìn)一步得到BE，再根據(jù)平行線分線段成比例可求OF，從而得到OD．解：∵EN＝1，∴由中位線定理得AM＝2，由折疊的性質(zhì)可得A′M＝2，∵AD∥EF，∴∠AMB＝∠A′NM，∵∠AMB＝∠A′MB，∴∠A′NM＝∠A′MB，∴A′N＝2，∴A′E＝3，A′F＝2過M點(diǎn)作MG⊥EF于G，∴NG＝EN＝1，∴A′G＝1，由勾股定理得MG＝＝，∴BE＝OF＝MG＝，∴OF：BE＝2：3，解得OF＝，∴OD＝﹣＝．故選：B．第II卷非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）11.計(jì)算：________．【答案】5【解析】原式=2+2+3?2=5.故答案為5.12.如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長(zhǎng)相等的正三角形組合而成，第個(gè)圖案有個(gè)三角形，第個(gè)圖案有個(gè)三角形，第個(gè)圖案有個(gè)三角形按此規(guī)律擺下去，第個(gè)圖案有_______個(gè)三角形（用含的代數(shù)式表示）．【答案】【解析】【分析】由圖形可知第1個(gè)圖案有3+1=4個(gè)三角形，第2個(gè)圖案有3×2+1=7個(gè)三角形，第3個(gè)圖案有3×3+1=10個(gè)三角形...依此類推即可解答．【詳解】解：由圖形可知：第1個(gè)圖案有3+1=4個(gè)三角形，第2個(gè)圖案有3×2+1=7個(gè)三角形，第3個(gè)圖案有3×3+1=10個(gè)三角形，...第n個(gè)圖案有3×n+1=（3n+1）個(gè)三角形．故答案為（3n+1）．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的排列、歸納圖形的變化規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．13.某校為了選拔一名百米賽跑運(yùn)動(dòng)員參加市中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)，組織了次預(yù)選賽，其中甲，乙兩名運(yùn)動(dòng)員較為突出，他們?cè)诖晤A(yù)選賽中的成績(jī)（單位：秒）如下表所示：甲乙由于甲，乙兩名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)的平均數(shù)相同，學(xué)校決定依據(jù)他們成績(jī)的穩(wěn)定性進(jìn)行選拔，那么被選中的運(yùn)動(dòng)員是______．【答案】甲【解析】【分析】直接求出甲、乙的平均成績(jī)和方差，進(jìn)而比較方差，方差小的比較穩(wěn)定，從而得出答案．【詳解】解：甲===12，乙===12，甲的方差為=，乙的方差為=，∵，即甲的方差<乙的方差，∴甲的成績(jī)比較穩(wěn)定．故答案為甲．【點(diǎn)睛】本題考查了方差的定義．一般地，設(shè)n個(gè)數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為，則方差為．14.如圖是一張長(zhǎng)，寬的矩形鐵皮，將其剪去兩個(gè)全等的正方形和兩個(gè)全等的矩形，剩余部分（陰影部分）可制成底面積是的有蓋的長(zhǎng)方體鐵盒．則剪去的正方形的邊長(zhǎng)為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù),列出三組等式解出即可．【詳解】設(shè)底面長(zhǎng)為a,寬為b,正方形邊長(zhǎng)為x,由題意得:解得a=10－2x,b=6－x,代入ab=24中得:(10－2x)(6－x)=24,整理得:2x2－11x+18=0．解得x=2或x=9(舍去)．故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用,關(guān)鍵在于不怕設(shè)多個(gè)未知數(shù),利用代數(shù)表示列出方程．15.如圖，在中，，，，，垂足為，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_______．【答案】【解析】【分析】過點(diǎn)F作FH⊥AC于H，則∽，設(shè)FH為x，由已知條件可得，利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等即可得到關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，利用即可得到DF的長(zhǎng)．【詳解】如解圖，過點(diǎn)作于，∵，∴，∴，∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵，∴∽∴∴，設(shè)為，則，由勾股定理得，又∵，∴，則，∵且，∴∽，∴，即，解得，∴．∵∴∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了相似的判定和性質(zhì)、以及勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是作垂直，構(gòu)造相似三角形．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.（1）計(jì)算：（2）下面是小彬同學(xué)進(jìn)行分式化簡(jiǎn)的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．第一步第二步第三步第四步第五步第六步任務(wù)一：填空：①以上化簡(jiǎn)步驟中，第_____步是進(jìn)行分式的通分，通分的依據(jù)是____________________或填為_____________________________；②第_____步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是_____________________________________；任務(wù)二：請(qǐng)直接寫出該分式化簡(jiǎn)后的正確結(jié)果；任務(wù)三：除糾正上述錯(cuò)誤外，請(qǐng)你根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就分式化簡(jiǎn)時(shí)還需要注意的事項(xiàng)給其他同學(xué)提一條建議．【答案】（1）1；（2）任務(wù)一：①三；分式的基本性質(zhì)；分式的分子與分母都乘（或除以）同一個(gè)不為零的整式，分式的值不變；②五；括號(hào)前是“”號(hào)，去掉括號(hào)后，括號(hào)里的第二項(xiàng)沒有變號(hào)；任務(wù)二：；任務(wù)三：最后結(jié)果應(yīng)化為最簡(jiǎn)分式或整式，答案不唯一，詳見解析．【解析】【分析】（1）先分別計(jì)算乘方，與括號(hào)內(nèi)的加法，再計(jì)算乘法，再合并即可得到答案；（2）先把能夠分解因式的分子或分母分解因式，化簡(jiǎn)第一個(gè)分式，再通分化為同分母分式，按照同分母分式的加減法進(jìn)行運(yùn)算，注意最后的結(jié)果必為最簡(jiǎn)分式或整式．【詳解】解：（1）原式（2）任務(wù)一：①三；分式的基本性質(zhì)；分式的分子與分母都乘（或除以）同一個(gè)不為零的整式，分式的值不變；故答案為：三；分式基本性質(zhì)；分式的分子與分母都乘（或除以）同一個(gè)不為零的整式，分式的值不變；②五；括號(hào)前是“”號(hào)，去掉括號(hào)后，括號(hào)里的第二項(xiàng)沒有變號(hào)；故答案為：五；括號(hào)前是“”號(hào)，去掉括號(hào)后，括號(hào)里的第二項(xiàng)沒有變號(hào)；任務(wù)二：解；．任務(wù)三：解：答案不唯一，如：最后結(jié)果應(yīng)化為最簡(jiǎn)分式或整式；約分，通分時(shí)，應(yīng)根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形；分式化簡(jiǎn)不能與解分式方程混淆，等．【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算，分式的化簡(jiǎn)，掌握以上兩種以上是解題的關(guān)鍵．17.年月份，省城太原開展了“活力太原·樂購(gòu)晉陽”消費(fèi)暖心活動(dòng)，本次活動(dòng)中的家電消費(fèi)券單筆交易滿元立減元（每次只能使用一張）某品牌電飯煲按進(jìn)價(jià)提高后標(biāo)價(jià)，若按標(biāo)價(jià)的八折銷售，某顧客購(gòu)買該電飯煲時(shí)，使用一張家電消費(fèi)券后，又付現(xiàn)金元．求該電飯煲的進(jìn)價(jià)．【答案】該電飯煲的進(jìn)價(jià)為元【解析】【分析】根據(jù)滿元立減元可知，打八折后的總價(jià)減去128元是實(shí)際付款數(shù)額，即可列出等式．【詳解】解：設(shè)該電飯煲的進(jìn)價(jià)為元根據(jù)題意，得解，得．答；該電飯煲的進(jìn)價(jià)為元【點(diǎn)睛】本題主要考察了打折銷售知識(shí)點(diǎn)，準(zhǔn)確找出它們之間的關(guān)系列出等式方程是解題關(guān)鍵．18.如圖，四邊形是平行四邊形，以點(diǎn)為圓心，為半徑的與相切于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，求和的度數(shù)．【答案】45°，22.5°【解析】【分析】連接OB,即可得,再由平行四邊形得出∠BOC=90°,從而推出∠C=45°,再由平行四邊形的性質(zhì)得出∠A=45°,算出∠AOB=45°,再根據(jù)圓周角定理即可得出∠E=22．5°．【詳解】解：連接．與相切于點(diǎn)，．．四邊形是平行四邊形，，四邊形是平行四邊形，．．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、平行四邊形的性質(zhì),關(guān)鍵在于根據(jù)條件結(jié)合性質(zhì)得出角度的變換．19.年國(guó)家提出并部署了“新基建”項(xiàng)目，主要包含“特高壓，城際高速鐵路和城市軌道交通，基站建設(shè)，工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)，大數(shù)據(jù)中心，人工智能，新能源汽車充電樁”等．《新基建中高端人才市場(chǎng)就業(yè)吸引力報(bào)告》重點(diǎn)刻畫了“新基建”中五大細(xì)分領(lǐng)域（基站建設(shè)，工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)，大數(shù)據(jù)中心，人工智能，新能源汽車充電樁）總體的人才與就業(yè)機(jī)會(huì)．下圖是其中的一個(gè)統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)圖中信息，解答下列問題：（1）填空：圖中年“新基建”七大領(lǐng)域預(yù)計(jì)投資規(guī)模的中位數(shù)是______億元；（2）甲，乙兩位待業(yè)人員，僅根據(jù)上面統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)，從五大細(xì)分領(lǐng)域中分別選擇了“基站建設(shè)”和“人工智能”作為自己的就業(yè)方向，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明他們選擇就業(yè)方向的理由各是什么；（3）小勇對(duì)“新基建”很感興趣，他收集到了五大細(xì)分領(lǐng)域的圖標(biāo)，依次制成編號(hào)為，，，，的五張卡片（除編號(hào)和內(nèi)容外，其余完全相同），將這五張卡片背面朝上，洗勻放好，從中隨機(jī)抽取一張（不放回），再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張．請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求抽到的兩張卡片恰好是編號(hào)為（基站建設(shè)）和（人工智能）的概率．WGDRX【答案】（1）；（2）甲更關(guān)注在線職位增長(zhǎng)率，在“新基建”五大細(xì)分領(lǐng)域中，年第一季度“基站建設(shè)”在線職位與年同期相比增長(zhǎng)率最高；乙更關(guān)注預(yù)計(jì)投資規(guī)模，在“新基建”五大細(xì)分領(lǐng)域中，“人工智能”在年預(yù)計(jì)投資規(guī)模最大；（3）【解析】【分析】(1)根據(jù)中位數(shù)的定義判斷即可．(2)根據(jù)圖象分析各個(gè)優(yōu)勢(shì),表達(dá)出來即可．(3)利用列表法或樹狀圖的方法算出概率即可．【詳解】(1)將數(shù)據(jù)從小到大排列:100,160,200,300,300,500,640,中位數(shù)為:．故答案為:300(2)解：甲更關(guān)注在線職位增長(zhǎng)率，在“新基建”五大細(xì)分領(lǐng)域中，年第一季度“基站建設(shè)”在線職位與年同期相比增長(zhǎng)率最高；乙更關(guān)注預(yù)計(jì)投資規(guī)模，在“新基建”五大細(xì)分領(lǐng)域中，“人工智能”在年預(yù)計(jì)投資規(guī)模最大(3)解：列表如下：第二張第一張或畫樹狀圖如下：由列表(或畫樹狀圖)可知一共有種可能出現(xiàn)的結(jié)果，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相同，其中抽到“”和“”的結(jié)果有種．所以，(抽到“”和“”)．【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)圖的數(shù)據(jù)分析及概率計(jì)算,關(guān)鍵在于從圖像中獲取有用信息．20.閱讀與思考下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．×年×月×日星期日沒有直角尺也能作出直角今天，我在書店一本書上看到下面材料：木工師傅有一塊如圖①所示的四邊形木板，他已經(jīng)在木板上畫出一條裁割線，現(xiàn)根據(jù)木板的情況，要過上的一點(diǎn)，作出的垂線，用鋸子進(jìn)行裁割，然而手頭沒有直角尺，怎么辦呢？辦法一：如圖①，可利用一把有刻度的直尺在上量出，然后分別以，為圓心，以與為半徑畫圓弧，兩弧相交于點(diǎn)，作直線，則必為．辦法二：如圖②，可以取一根筆直的木棒，用鉛筆在木棒上點(diǎn)出，兩點(diǎn)，然后把木棒斜放在木板上，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，用鉛筆在木板上將點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位置標(biāo)記為點(diǎn)，保持點(diǎn)不動(dòng)，將木棒繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在上，在木板上將點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位置標(biāo)記為點(diǎn)．然后將延長(zhǎng)，在延長(zhǎng)線上截取線段，得到點(diǎn)，作直線，則．我有如下思考：以上兩種辦法依據(jù)的是什么數(shù)學(xué)原理呢？我還有什么辦法不用直角尺也能作出垂線呢？……任務(wù)：（1）填空；“辦法一”依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是_____________________________________；（2）根據(jù)“辦法二”的操作過程，證明；（3）①尺規(guī)作圖：請(qǐng)?jiān)趫D③的木板上，過點(diǎn)作出的垂線（在木板上保留作圖痕跡，不寫作法）；②說明你的作法依據(jù)的數(shù)學(xué)定理或基本事實(shí)（寫出一個(gè)即可）【答案】（1）勾股定理的逆定理；（2）詳見解析；（3）①詳見解析；②答案不唯一，詳見解析【解析】【分析】（1）利用說明△DCE是直角三角形，說明，進(jìn)而得出利用的原理是勾股定理逆定理即可；（2）由作圖的方法可以得出：，，得出，，利用三角形內(nèi)角和得出，即，說明垂直即可；（3）①以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，與有兩個(gè)交點(diǎn)，分別以這兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，以大于這兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離的一半為半徑畫弧，這兩段弧交于一點(diǎn)，連接即可；②到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上，即可說明垂直．【詳解】（1）勾股定理的逆定理（或如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形）；（2）證明：由作圖方法可知：，，，．又，．．即．（3）解：①如圖，直線即為所求；圖③②答案不唯一，如：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（或）；等腰三角形頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線重合（或等腰三角形“三線合一”）；到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上等．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直的判定，熟練掌握說明垂直的方法是解決本題的關(guān)鍵．21.圖①是某車站的一組智能通道閘機(jī)，當(dāng)行人通過時(shí)智能閘機(jī)會(huì)自動(dòng)識(shí)別行人身份，識(shí)別成功后，兩側(cè)的圓弧翼閘會(huì)收回到兩側(cè)閘機(jī)箱內(nèi)，這時(shí)行人即可通過．圖②是兩圓弧翼展開時(shí)的截面圖，扇形和是閘機(jī)的“圓弧翼”，兩圓弧翼成軸對(duì)稱，和均垂直于地面，扇形的圓心角，半徑，點(diǎn)與點(diǎn)在同一水平線上，且它們之間的距離為．（1）求閘機(jī)通道的寬度，即與之間的距離（參考數(shù)據(jù)：，，）；（2）經(jīng)實(shí)踐調(diào)查，一個(gè)智能閘機(jī)的平均檢票速度是一個(gè)人工檢票口平均檢票速度的倍，人的團(tuán)隊(duì)通過一個(gè)智能閘機(jī)口比通過一個(gè)人工檢票口可節(jié)約分鐘，求一個(gè)智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)．【答案】（1）與之間的距離為；（2）一個(gè)智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為人．【解析】【分析】（1）連接，并向兩方延長(zhǎng)，分別交，于點(diǎn)，,則，,根據(jù)的長(zhǎng)度就是與之間的距離，依據(jù)解直角三角形，即可得到可以通過閘機(jī)的物體的最大寬度；（2）設(shè)一個(gè)人工檢票口平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為人，根據(jù)“一個(gè)智能閘機(jī)的平均檢票速度是一個(gè)人工檢票口平均檢票速度的倍，人的團(tuán)隊(duì)通過一個(gè)智能閘機(jī)口比通過一個(gè)人工檢票口可節(jié)約分鐘”列出分式方程求解即可；還可以設(shè)一個(gè)智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為人，根據(jù)題意列方程求解．【詳解】解：連接，并向兩方延長(zhǎng)，分別交，于點(diǎn)，．由點(diǎn)與點(diǎn)在同一水平線上，，均垂直于地面可知，，，所以的長(zhǎng)度就是與之間的距離．同時(shí)，由兩圓弧翼成軸對(duì)稱可得．在中，，，，，．．與之間的距離為．（1）解法一：設(shè)一個(gè)人工檢票口平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為人．根據(jù)題意，得解，得．經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解當(dāng)時(shí)，答：一個(gè)智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為人．解法二：設(shè)一個(gè)智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為人．根據(jù)題意，得．解，得經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解．答：一個(gè)智能閘機(jī)平均每分鐘檢票通過的人數(shù)為人．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形及列分式方程解應(yīng)用題，關(guān)鍵是掌握含30度的直角直角三角形的性質(zhì)．22.綜合與實(shí)踐問題情境：如圖①，點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到（點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)），延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．猜想證明：（1）試判斷四邊形的形狀，并說明理由；（2）如圖②，若，請(qǐng)猜想線段與的數(shù)量關(guān)系并加以證明；解決問題：（3）如圖①，若，，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【答案】（1）四邊形是正方形，理由詳見解析；（2），證明詳見解析；（3）．【解析】【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可知：，,再說明可得四邊形是矩形，再結(jié)合即可證明；（2）過點(diǎn)作，垂足為，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，再證可得，再結(jié)合、即可解答；（3）過E作EG⊥AD，先說明∠1=∠2，再設(shè)EF=x、則BE=FE＇=EF=BE＇=x、CE＇=AE=3+x，再在Rt△AEB中運(yùn)用勾股定理求得x，進(jìn)一步求得BE和AE長(zhǎng)，然后運(yùn)用三角函數(shù)和線段的和差求得DG和EG的長(zhǎng)，最后在Rt△DEG中運(yùn)用勾股定理解答即可．【詳解】解：（1）四邊形是正方形理由：由旋轉(zhuǎn)可知：，，又，四邊形是矩形．∵．四邊形是正方形；（2）．證明：如圖，過點(diǎn)作，垂足為，則，．四邊形是正方形，，．，．．∵，；（3）如圖：過E作EG⊥AD∴GE//AB∴∠1=∠2設(shè)EF=x，則BE=FE＇=EF=BE＇=x，CE＇=AE=3+xRt△AEB中，BE=x，AE=x+3，