二重積分的幾種計算方法二重積分是數(shù)學(xué)分析的重要組成部分，二重積分是定積分的推廣，是二元函數(shù)在一個平面的一個區(qū)域的積分。計算二重積分的一般原則是將二重積分化為二次積分（即累次積分）加以計算。求積的困難主要來自兩個方面：一是被積函數(shù)的復(fù)雜性，二是積分區(qū)域的多樣尋。不同順序二次積分計算的難易程度往往是不同的，又是錯選積分順序?qū)е路e分無法計算，有的二重積分必須通過換元才能求出。計算二重積分的一般步驟如下：畫出積分區(qū)域D的草圖；求交點；選擇直角坐標系下計算，或極坐標系下計算；選擇積分次序；化二重積分為二次積分；計算。二重積分的直接計算方法所謂連續(xù)函數(shù)展步在有限封閉可求積二位域內(nèi)的二重積分乃是指數(shù)其中，而其和為對所有，使的那些值來求的。若域有下面的不等式所給出其中和為閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，則對應(yīng)的二重積分可按下面的公式計算例1.計算，其中區(qū)域是由直線與拋物線所圍成的區(qū)域。解:積分區(qū)域如圖1所示，有定義是簡單區(qū)域，邊界與得交點為和。若選擇先對積分，則過軸上內(nèi)的任一點作軸的平行線，該線的與下邊界交點在上，與上邊界交點在上，所求積分為若選擇先對積分，同理可得圖1若求二重積分時，遇到復(fù)雜區(qū)域，應(yīng)將復(fù)雜區(qū)域化成若干個簡單區(qū)域，然后根據(jù)，來計算。例2.計算，其中是由，，及所圍成。解:積分區(qū)域如圖2所示，有定義可知為復(fù)雜區(qū)域，邊界線的交點分別為。若先對積分則連接，將分成兩個簡單區(qū)域，。的方程為，所求積分為圖2圖3若先對積分，則連接,把區(qū)域分成兩個簡單區(qū)域，。的方程為，如圖3所示，所求積分應(yīng)為在化二重積分為累次積分時還應(yīng)注意：若先對積分，則第一次積分是是積分變量，積分上下限應(yīng)含有的表達式或常數(shù)；若先對積分，則第一次積分時時積分變量，積分上下限應(yīng)該含有的表達式或常數(shù)。二重積分中的變量代換若可微分的連續(xù)函數(shù)把平面上的有限域單值惟一地映射為平面上的域雅哥比式則下之公式正確：特別是，根據(jù)公式，變換為極坐標和得情形有例2，其積分區(qū)域是由橢圓所圍的區(qū)域。解：作變化，則域變?yōu)橛?，且。于是，?設(shè)是常數(shù)，計算積分。解：設(shè)則，變成小結(jié)計算二重積分必須注意：能否快算，用何坐標，是否分區(qū)域，如何定限。計算二重積分的主要方法有：幾何意義化簡，利用直角坐標或極坐標化為二次積分，利用分域法，交換積分次序等。參考文獻：[1]吉米多維奇.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集精選精解[M]山東：山東科技出版社，2007[2]錢吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹