第Eg章圓與方程

本章教材分析

上一章，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與方程，知道在直角坐標(biāo)系中,直線可以用方程表示，通過方程，可以研究直

線間的位置關(guān)系、直線與直線的交點坐標(biāo)、點到直線的距離等問題，對數(shù)形結(jié)合的思想方法有了初步體驗.

本章將在上章學(xué)習(xí)了直線與方程的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)在平面直角坐標(biāo)系中建立圓的代數(shù)方程，運用代數(shù)方法研究

點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系,了解空間直角坐標(biāo)系，以便為今后的坐標(biāo)法研究空間的幾何對象奠

定基礎(chǔ)，這些知識是進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓錐曲線方程、導(dǎo)數(shù)和微積分的基礎(chǔ)，在這個過程中進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的

思想，形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力.

通過方程，研究直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系是本章的重點內(nèi)容之一，坐標(biāo)法不僅是研究幾何問題的重

要方法，而且是一種廣泛應(yīng)用于其他領(lǐng)域的重要數(shù)學(xué)方法，通過坐標(biāo)系把點和坐標(biāo)、曲線和方程聯(lián)系起來，實

現(xiàn)了形和數(shù)的統(tǒng)一，因此在教學(xué)過程中，要始終貫穿坐標(biāo)法這一重要思想，不怕反復(fù).用坐標(biāo)法解決幾何問題

時，先用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何元素:點、直線、圓;然后對坐標(biāo)和方程進(jìn)行代數(shù)運算;最后把運算結(jié)果“翻

譯”成相應(yīng)的幾何結(jié)論.這就是坐標(biāo)法解決幾何問題的三步曲.坐標(biāo)法還可以與平面幾何中的綜合方法、向量

方法建立聯(lián)系，同時可以推廣到空間,解決立體幾何問題.

本章教學(xué)時間約需9課時,具體分配如下（僅供參考）:

4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1課時

4.1.2圓的一般方程1課時

4.2.1直線與圓的位置關(guān)系2課時

4.2.2圓與圓的位置關(guān)系2課時

4.3.1空間直角坐標(biāo)系1課時

4.3.2空間兩點間的距離公式1課時

本章復(fù)習(xí)1課時

§4.1圓的方程

§4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

一、教材分析

在初中曾經(jīng)學(xué)習(xí)過圓的有關(guān)知識，本節(jié)內(nèi)容是在初中所學(xué)知識及前幾節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步運用解析

法研究圓的方程,它與其他圖形的位置關(guān)系及其應(yīng)用.同時，由于圓也是特殊的圓錐曲線，因此，學(xué)習(xí)了圓的方

程，就為后面學(xué)習(xí)其他圓錐曲線的方程奠定了基礎(chǔ).也就是說，本節(jié)內(nèi)容在教材體系中起到承上啟下的作用,

具有重要的地位，在許多實際問題中也有著廣泛的應(yīng)用.由于“圓的方程''一節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)性和應(yīng)用的廣泛性,

對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程要求層次是“掌握”,為了激發(fā)學(xué)生的主體意識,教學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)和學(xué)會創(chuàng)造，同時培養(yǎng)學(xué)生的

應(yīng)用意識，本節(jié)內(nèi)容可采用“引導(dǎo)探究”型教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，所謂“引導(dǎo)探究''是教師把教學(xué)內(nèi)容設(shè)計為

若干問題，從而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究的課堂教學(xué)模式，教師在教學(xué)過程中，主要著眼于“引''，啟發(fā)學(xué)生“探”，把

"引''和"探''有機的結(jié)合起來.教師的每項教學(xué)措施，都是給學(xué)生創(chuàng)造一種思維情境，一種動腦、動手、動口并

主動參與的學(xué)習(xí)機會，激發(fā)學(xué)生的求知欲，促使學(xué)生解決問題.

二、教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能一

(1)掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能根據(jù)圓心、半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程._

(2)會用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程._

2.過程與方法一

進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生能用解析法研究幾何問題的能力，滲透數(shù)形結(jié)合思想，通過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決實際問

題的學(xué)習(xí)，注意培養(yǎng)學(xué)生觀察問題發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力、

3.情感態(tài)度與價值觀一

通過運用圓的知識解決實際問題的學(xué)習(xí)，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣.

三、教學(xué)重點與難點

教學(xué)重點：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程特點的明確.

教學(xué)難點:會根據(jù)不同的已知條件，利用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

四、課時安排

1課時

五、教學(xué)設(shè)計

(-)導(dǎo)入新課

思路1.課前準(zhǔn)備：(用淀粉在一張白紙上畫上海和山)

說明:在白紙上要表演的是一個小魔術(shù),名稱是《日出》，所以還缺少一個太陽，請學(xué)生幫助在白紙上畫出

太陽.要求其他學(xué)生在自己的腦海里也構(gòu)畫出自己的太陽.

課堂估計：一種是非尺規(guī)作圖(指出數(shù)學(xué)作圖的嚴(yán)謹(jǐn)性)；一種作出后有同學(xué)覺得不夠美(點評:其實每個

人心中都有一個自己的太陽，每個人都有自己的審美觀點).

然后上升到數(shù)學(xué)層次：

不同的圓心和半徑對應(yīng)著不同的圓，進(jìn)而對應(yīng)著不同的圓的方程.

從用圓規(guī)作圖復(fù)習(xí)初中所學(xué)圓的定義：到定點的距離等于定長的點的軌跡.

那么在給定圓心和半徑的基礎(chǔ)上，結(jié)合我們前面所學(xué)的直線方程的求解，應(yīng)該如何建立圓的方程？教師

板書本節(jié)課題:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

思路2.同學(xué)們,我們知道直線可以用一個方程表示，那么，圓可以用一個方程表示嗎？圓的方程怎樣來求

呢?這就是本堂課的主要內(nèi)容，教師板書本節(jié)課題:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(-)推進(jìn)新課、新知探究、提出問題

①已知兩點A(2,-5),B(6,9),如何求它們之間的距離?若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它們之間的距離？

②具有什么性質(zhì)的點的軌跡稱為圓？

③圖1中哪個點是定點？哪個點是動點？動點具有什么性質(zhì)？圓心和半徑都反映了圓的什么特點？

④我們知道,在平面直角坐標(biāo)系中，確定一條直線的條件是兩點或一點和傾斜角，那么，決定圓的條件是

什么？

⑤如果已知圓心坐標(biāo)為C(a,b),圓的半徑為r,我們?nèi)绾螌懗鰣A的方程？

⑥圓的方程形式有什么特點？當(dāng)圓心在原點時，圓的方程是什么？

討論結(jié)果：①根據(jù)兩點之間的距離公式J。一》2尸+(必一力)2，得

|AB|="(2—6產(chǎn)+(9+5尸=7212,

|CD|=7(x-3)2+(y+8)2.

②平面內(nèi)與一定點距離等于定長的點的軌跡稱為圓，定點是圓心，定長是半徑(教師在黑板上畫一個圓).

③圓心C是定點，圓周上的點M是動點，它們到圓心距離等于定長|MC|=r，圓心和半徑分別確定了圓的位

置和大小.

④確定圓的條件是圓心和半徑，只要圓心和半徑確定了，那么圓的位置和大小就確定了.

⑤確定圓的基本條件是圓心和半徑，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為C(a,b),半徑為r(其中a、b、r都是常數(shù),r>0).設(shè)

M(x,y)為這個圓上任意一點，那么點M滿足的條件是(引導(dǎo)學(xué)生自己列出)P={M||MA|=r},由兩點間的距離公

式讓學(xué)生寫出點M適合的條件"(x—a):+(y-H)2f①

將上式兩邊平方得(x-a尸+(y-b尸=產(chǎn).

化簡可W(x-a)2+(y-b)2=r2.@

若點M(x,y)在圓上，由上述討論可知，點M的坐標(biāo)滿足方程②，反之若點M的坐標(biāo)滿足方程②，這就說明

點M與圓心C的距離為r,即點M在圓心為C的圓上.方程②就是圓心為C(a,b),半徑長為r的圓的方程，我們

把它叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

⑥這是二元二次方程，展開后沒有xy項，括號內(nèi)變數(shù)x,y的系數(shù)都是1.點(a,b)、r分別表示圓心的坐標(biāo)和

圓的半徑.當(dāng)圓心在原點即C(0,0)時,方程為x2+y2=r2.

提出問題

①根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程說明確定圓的方程的條件是什么？

②確定圓的方程的方法和步驟是什么？

③坐標(biāo)平面內(nèi)的點與圓有什么位置關(guān)系?如何判斷？

討論結(jié)果：①圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x—a)2+(y-a=J中，有三個參數(shù)a、b、r,只要求出a、b、r且r>0,這時

圓的方程就被確定，因此確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需三個獨立條件，其中圓心是圓的定位條件，半徑是圓的定形條

件.

②確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，即列出關(guān)于a、b、r的方程組，求a、b、r或直接求出圓心(a,b)

和半徑r,一般步驟為：

1°根據(jù)題意，設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x—a)2+(y—02=/；

2。根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a、b、r的方程組；

3。解方程組，求出a、b、r的值，并把它們代入所設(shè)的方程中去，就得到所求圓的方程.

③點M(xo,yo)與圓(x-a)2+(y-b)2=J的關(guān)系的判斷方法：

當(dāng)點M(x(),yo)在圓(x-a尸+(y-b尸=/上時，點M的坐標(biāo)滿足方程(x-af+ly-tO、/.

當(dāng)點M(x(),yo)不在圓(x-a尸+&-?=/上時，點M的坐標(biāo)不滿足方程(x-ay+(y-?=J.

用點到圓心的距離和半徑的大小來說明應(yīng)為：

22

1。點到圓心的距離大于半徑，點在圓外O(x0-a)+(y0-b)>點在圓外；

2。點到圓心的距離等于半徑，點在圓上O(xo-a尸+仇-?=/,點在圓上；

3。點到圓心的距離小于半徑，點在圓內(nèi)<=>(xo-a[+(yo-b)2〈r2,點在圓內(nèi).

(三)應(yīng)用示例

思路1

例I寫出下列各圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)圓心在原點,半徑是3；

⑵圓心在點C(3,4)泮徑是

(3)經(jīng)過點P(5,l),圓心在點C(8,-3);

(4)圓心在點C(l,3),并且和直線3x-4y-7=0相切.

解:⑴由于圓心在原點,半徑是3,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-0尸+(y-0/=32,即x2+y2=9.

⑵由于圓心在點C(3,4),半徑是5,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-3尸+(y-41=(5)2,即(x-3尸+(y-4產(chǎn)=5.

(3)方法一:圓的半徑r=|CP|=7(5-8)2+(1+3)2=4=5,因此所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x⑻2+(y+3『=25.

方法二:設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-8)2+(y+3)2=J,因為圓經(jīng)過點P(5,l),所以(5-8)2+(1+3尸=己/=25,因此所求圓

的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-8尸+(y+3尸=25.

這里方法一是直接法，方法二是間接法，它需要確定有關(guān)參數(shù)來確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,兩種方法都可，要視

問題的方便而定.

J3-12-7I|16|

(4)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-iy+(y02=r2,由圓心到直線的距離等于圓的半徑，所以

V25-V25

因此所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-D2+(y-3)2=^.

點評：要求能夠用圓心坐標(biāo)、半徑長熟練地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

例2寫出圓心為A(2,-3),半徑長等于5的圓的方程，并判斷點M|(5,-7),M2(-君,-1)是否在這個圓上.

解:圓心為A(2,-3),半徑長等于5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

(x-2)2+(y+3)2=25,

把點M|(5,-7),M2(-V51)分別代入方程(x-2尸+(y+3尸=25,

則Mi的坐標(biāo)滿足方程,Mi在圓上.M2的坐標(biāo)不滿足方程,M2不在圓上.

點評:本題要求首先根據(jù)坐標(biāo)與半徑大小寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后給一個點,判斷該點與圓的關(guān)系，這里

體現(xiàn)了坐標(biāo)法的思想，根據(jù)圓的坐標(biāo)及半徑寫方程——從幾何到代數(shù)；根據(jù)坐標(biāo)滿足方程來看在不在圓上

——從代數(shù)到幾何.

例3△ABC的三個頂點的坐標(biāo)是A(5,l),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圓的方程.

活動：教師引導(dǎo)學(xué)生從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a尸+(y-b)2=J入手，要確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,可用待定系數(shù)法確定a、

b、r三個參數(shù).另外可利用直線AB與AC的交點確定圓心，從而得半徑，圓的方程可求，師生總結(jié)、歸納、提

煉方法.

解法一:設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=J,因為八(5,1)](7,-3),(2(2,-8)都在圓上，

它們的坐標(biāo)都滿足方程(x-a尸+(y-b)2=J,于是

(5—")2+(1—。)2=/,(1)

.(7—4尸+(—3—。)2=/(2)

(2-a)2+(-8-Z>)2=r2.(3)

4=2,

解此方程組得小二—3,所以△ABC的外接圓的方程為(x-2/+(y+3)2=25.

r=5.

解法二:線段AB的中點坐標(biāo)為(6,-1),斜率為-2,所以線段AB的垂直平分線的方程為y+l=y(x-6).

同理線段AC的中點坐標(biāo)為(3.5,35),斜率為3,所以線段AC的垂直平分線的方程為y+3.5=3(x-3.5).

解由①②組成的方程組得x=2,y=-3,所以圓心坐標(biāo)為(2,-3),半徑r=J(5—20+(1+3尸=5,所以△ABC

的外接圓的方程為(x-2產(chǎn)+(y+3產(chǎn)=25.

點評:△ABC外接圓的圓心是4ABC的外心，它是△ABC三邊的垂直平分線的交點，它到三頂點的距離

相等,就是圓的半徑，利用這些幾何知識，可豐富解題思路.

思路2

例1圖2是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度AB=20m,拱高0P=4m,在建造時每隔4m需用一個

支柱支撐,求支柱A2P2的長度(精確到0.01m).

解:建立坐標(biāo)系如圖，圓心在y軸上，由題意得P(0,4),B(10,0).

設(shè)圓的方程為x2+(y-b)2=F,因為點P(0,4)和B(10,0)在圓上，

+(4—。了=產(chǎn)，b=-10.5,

所以。,解得

102+(0-Z?)2=r2.r2=14.52,

所以這個圓的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.

設(shè)點P2(-2,y0),由題意yo>O,代入圓方程得(-2)2+(yo+lO.5)2=14.52,

解得yo=714.52-22-10.5=14.36-10.5=3.86(m).

答：支柱A2P2的長度約為3.86m.

例2求與圓x2+y2-2x=0外切，且與直線x+JJy=0相切于點(3,-J3)的圓的方程.

活動:學(xué)生審題，注意題目的特點,教師引導(dǎo)學(xué)生利用本節(jié)知識和初中學(xué)過的幾何知識解題.首先利用配

方法，把己知圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用兩圓外切及直線與圓相切建立方程組，求出參數(shù),得到所求的圓

的方程.

解:設(shè)所求圓的方程為(x-a尸+(y-?=J.圓x2+y2-2x-0的圓心為(1,0),半徑為1.因為兩圓外切，所以圓心距

等于兩圓半徑之和抑J(a—+3—0)2=什1,①

H?4

=-1,⑵

。-3v3

由圓與直線x+6y=0相切于點(3,?石),得＜

\a+43b\_

J1+（百￥匚⑶

解得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-4Gr=6.

故所求圓的方程為(x-4尸+y2=4或x2+(y+473)2=36.

點評:一般情況下,如果已知圓心(或易于求出)或圓心到某一直線的距離(或易于求出)，可用圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程來求解,用待定系數(shù)法，求出圓心坐標(biāo)和半徑.

變式訓(xùn)練

一圓過原點0和點P(l,3),圓心在直線y=x+2上，求此圓的方程.

解法一：因為圓心在直線y=x+2上，所以設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,a+2).

則圓的方程為(x-a尸+(y-a-2y=*.

因為點0(0,0)和P(1,3)在圓上，

1

所以(。一。)「(。一”2)：,2Q-----,

解得《4

(l—a)2+(3—a—r~225

廠=—.

8

]725

所以所求的圓的方程為(X+j尸+(丫-：)2=子.

13

解法二：由題意：圓的弦OP的斜率為3,中點坐標(biāo)為(一,一),

22

311

所以弦OP的垂直平分線方程為丫一]。]/-]),即x+3y-5=0.

因為圓心在直線y=x+2上，且圓心在弦OP的垂直平分線上，

1

X-——

y=x+2,4I7

所以由＜解得4，即圓心坐標(biāo)為eq/.

x+3y—5=0,

又因為圓的半徑r=|OC|=

17

所以所求的圓的方程為(x+上產(chǎn)+(廣人尸=三.

448

點評:(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中有a、b、r三個量，要求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即要求a、b、r三個量，有時可用待定系

數(shù)法.

(2)要重視平面幾何中的有關(guān)知識在解題中的運用.

例3求下列圓的方程：

(1)圓心在直線y=-2x上且與直線y=l-x相切于點(2,-1).

(2)圓心在點(2,-1),且截直線y=x-l所得弦長為22.

解:(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,-2a),由題意知圓與直線y=l-x相切于點(2,-1),所以

?與2a二11=_2）2+曰+,解得a=l.所以所求圓心坐標(biāo)為（1,-2）,半徑

VI2+12

廠J（l-2）2+（-2+1）2=V2.所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-D?+（y+2尸=2.

（2）設(shè)圓的方程為（x⑵2+（丫+1尸=”任＞0）,由題意知圓心到直線y=x-l的距離為d=紇±上U=JL又直

7i2+i2

線y=x-l被圓截得弦長為2四,所以由弦長公式得r12=2,即r=2.所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為住2）2+0+1尸=4.

點評:本題的兩個題目所給條件均與圓心和半徑有關(guān)，故都利用了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解，此外平面幾何的性

質(zhì)的應(yīng)用,使得解法簡便了許多，所以類似問題一定要注意圓的相關(guān)幾何性質(zhì)的應(yīng)用，從確定圓的圓心和半徑

入手來解決.

（四）知能訓(xùn)練

課本本節(jié)練習(xí)1、2.

（一）拓展提升

1.求圓心在直線y=2x上且與兩直線3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圓的方程.

活動:學(xué)生思考交流，教師提示引導(dǎo)，求圓的方程，無非就是確定圓的圓心和半徑，師生共同探討解題方法.

C-Cd

解:首先兩平行線的距離=^=2,所以半徑為尸一二1.

2

7A+B22

方法一:設(shè)與兩直線3x+4y-7=0和3x+4y+3=0的距離相等的直線方程為3x+4y+k=0,由平行線間的距離

公式d=5—G?，得J"+7L=JU.，即k=-2，所以直線方程為3x+4y-2=0.解3x+4y-2=0與y=2x組

VA2+B2V32+42V42+32

.2

9

上一3x+4y-2=0,11,124,

成的方程組，,得1），因此圓心坐標(biāo)為（土，二）.又半徑為-1,所以所求圓的方程為

y=2%,41111

卜=TT

24,

（X--）2+（y---）=1.

146

3x+4y—7=0,,(3x+4y+3=0,_y=7?八一五

11和11

方法二:解方程組與1得因此圓心坐標(biāo)為

y=2x,1y=2%，73

111111

2424

（打,行）.又半徑口,所以所求圓的方程為（x-yy尸+（丫-石尸=1.

點評:要充分考慮各幾何元素間的位置關(guān)系，把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來處理.

（六）課堂小結(jié)

①圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

②點與圓的位置關(guān)系的判斷方法.

③根據(jù)已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法.

④利用圓的平面幾何的知識構(gòu)建方程.

⑤直徑端點是A(XM)、B(X2?2)的圓的方程是(x-X|)(x-X2)+(y-yi)(y-y2)=0.

(七)作業(yè)

1.復(fù)習(xí)初中有關(guān)點與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系有關(guān)內(nèi)容.

2.預(yù)習(xí)有關(guān)圓的切線方程的求法.

3.課本習(xí)題4.1A組第2、3題.

§4.1.2圓的一般方程

一、教材分析

教材通過將二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后化為(x+g尸+(y+5尸=之上互二竺后只需討論

DE

D2+E2-4F>0^D2+E2-4F=0>D2+E2-4FV0.與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程比較可知D2+E2-4F>0時,表示以)為圓

22

1_______np

心,一二加+爐_4尸為半徑的圓;當(dāng)D2+E2-4F=0時，方程只有實數(shù)解x=--,y=-一,即只表示一個點

222

DF

當(dāng)D2+E2-4F<0時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形.

22

從而得出圓的-一般方程的特點：(1*和y2的系數(shù)相同,不等于0；⑵沒有x-y這樣的二次項;(3)D2+E?-4F

>0.其中(1)和(2)是二元一次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=O表示圓的必要條件，但不是充分條件，只有

三條同時滿足才是充要條件.

同圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a/+(y-?=r2含有三個待定系數(shù)a、b、r一樣,圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0

中也含有三個待定系數(shù)D、E、F,因此必須具備三個獨立條件才能確定一個圓.同樣可以用待定系數(shù)法求得

圓的一般方程.在實際問題中,究竟使用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程還是使用圓的一般方程更好呢？應(yīng)根據(jù)具體問題確定.

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點是明確指出了圓心的坐標(biāo)和圓的半徑，因此，對于由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)和圓的

半徑或需利用圓心坐標(biāo)列方程的問題，一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.如果已知條件和圓心坐標(biāo)、圓的半徑都無直

接關(guān)系，通常采用圓的一般方程；有時兩種方程形式都可用時也常采用圓的一般方程的形式,這是因為它可

避免解三元二次方程組.

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點在于明確直觀地指出圓心坐標(biāo)和半徑的長.我們知道，圓心確定圓的位置，半徑確定

圓的大小,它有利于研究圓的有關(guān)性質(zhì)和作圖.而由圓的一般方程可以很容易判別一般的二元二次方程中，哪

些是圓的方程，哪些不是圓的方程，它們各有自己的優(yōu)點，在教學(xué)過程中,應(yīng)當(dāng)使學(xué)生熟練地掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程與圓的一般方程的互化，尤其是由圓的一般方程通過配方化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求出圓心坐標(biāo)和半徑.要

畫出圓，就必須要將曲線方程通過配方化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后才能畫出曲線的形狀.這充分說明了學(xué)生熟練

地掌握這兩種方程互化的重要性和必要性.

二、教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能一

(1)在掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征，由圓的一般方程確定圓的

圓心半徑，掌握方程x~+y~+Dx+Ey+尸=0表不圓的條件.一

(2)能通過配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能用待定系數(shù)法求圓的方程、

(3)培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實際能力.一

2.過程與方法一

通過對方程f+)2+Dr+⑦+尸=0表示圓的條件的探究，培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實際

能力、

3.情感態(tài)度與價值觀.

滲透數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生的整體素質(zhì)，激勵學(xué)生創(chuàng)新，勇于探索.

三、教學(xué)重點與難點

教學(xué)重點：圓的-一般方程的代數(shù)特征，一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程間的互化，根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)

D、E、F.

教學(xué)難點：對圓的一般方程的認(rèn)識、掌握和運用.

四、課時安排

1課時

五、教學(xué)設(shè)計

(-)導(dǎo)入新課

思路1.①說出圓心為(a,b),半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

②學(xué)生練習(xí):將以C(a,b)為圓心,r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開并整理得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.

③指出:如果D=-2a,E=-2b,F=a2+b2R得到方程x?+y2+Dx+Ey+F=0,這說明圓的方程還可以表示成另外一

種非標(biāo)準(zhǔn)方程形式.

④能不能說方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的曲線一定是圓呢?這就是我們本堂課的內(nèi)容，教師板書課題:

圓的一般方程.

思路2.問題：求過三點A(0,0),B(l/),C(4,2)的圓的方程.利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決此問題顯然有些麻煩，

用直線的知識解決又有其簡單的局限性,那么這個問題有沒有其他的解決方法呢？帶著這個問題我們來共

同研究圓的方程的另一種形式.教師板書課題:圓的一般方程.

(-)推進(jìn)新課、新知探究、提出問題

①前一章我們研究直線方程用的什么順序和方法？

②這里我們研究圓的方程是否也能類比研究直線方程的順序和方法呢？

③給出式子x2+y2+Dx+Ey+F=0,請你利用配方法化成不含x和y的一次項的式子.

④把式子(x-a)2+(y-b)2=r2與x2+y2+Dx+Ey+F=O配方后的式子比較，得出x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的

條件.

⑤對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程作一比較,看各自有什么特點？

討論結(jié)果：①以前學(xué)習(xí)過直線，我們首先學(xué)習(xí)了直線方程的點斜式、斜截式、兩點式、截距式，最后學(xué)

習(xí)一般式.大家知道,我們認(rèn)識一般的東西，總是從特殊入手.如探求直線方程的一般形式就是通過把特殊的

公式(點斜式、兩點式、…)展開整理而得到的.

②我們想求圓的一般方程，可仿照直線方程試一試！我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，把標(biāo)準(zhǔn)形式展開，整

理得到，也是從特殊到一般.

22

nFD+F-4F

③把式子x2+y2+Dx+Ey+F=0酉己方得(x+耳)?+(y+：猿=-------------.

@(x—a)2+(y—b)2=r2中,r>0時表示圓,r=0時表示點(a,b),r〈O時不表示任何圖形.

因此式子(x+5)+(y+—)-=-------------.

r\T-'i______________

(i)當(dāng)D-+E「4F>0時，表示以G—-)為圓心,一VZ)2+E~—AF為半徑的圓；

222

DFDF

(ii)當(dāng)D2+E2-4F=0時，方程只有實數(shù)解x=-—,y=—,即只表示一個點

2222

(iii)當(dāng)D2+E2-4F<0時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形.

綜上所述，方程x2+y2+Dx+Ey+F=O表示的曲線不一定是圓，由此得到圓的方程都能寫成

x2+y2+Dx+Ey+F=O的形式，但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓,只有當(dāng)D2+E2-4F>0時,它表示

的曲線才是圓.因此x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是D2+E2-4F>0.

我們把形如x2+y2+Dx+Ey+F=O表示圓的方程稱為圓的一般方程.

⑤圓的一般方程形式上的特點：

x2和y2的系數(shù)相同,不等于0.沒有xy這樣的二次項.

圓的一般方程中有三個待定的系數(shù)D、E、F,因此只要求出這三個系數(shù),圓的方程就確定了.

與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程,代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)

與半徑大小，幾何特征較明顯.

(三)應(yīng)用示例

思路1

例I判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請求出圓的圓心及半徑.

(1)4x2+4y2-4x+12y+9=0;

(2)4x2+4y2-4x+12y+ll=0.

9

解:(1)由4x2+4y2-4x+12y+9=0,WD=-1,E=3,F=一,

4

而D2+E2-4F=l+9-9=l>0,

I31

所以方程4x2+4y2-4x+12y+9=0表示圓的方程，其圓心坐標(biāo)為()，半徑為-；

(2)由4x2+4y2-4x+12y+11=0,#

11

D=-l,E=3,F=—,D2-+E2-4F=l+9-ll=-l<0,

4

所以方程4x2+4y2-4x+12y+11=0不表示圓的方程.

點評:對于形如Ax2+By2+Dx+Ey+F=0的方程判斷其方程是否表示圓,要化為x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,

再利用條件D2+E〈4F與0的大小判斷,不能直接套用.另外，直接配方也可以判斷.

變式訓(xùn)練

求下列圓的半徑和圓心坐標(biāo)：

(1)x2+y2-8x+6y=0;(2)x2+y2+2by=0.

解:⑴把x2+y2-8x+6y=0配方，得(x—4尸+(y+39=5L所以圓心坐標(biāo)為(4,-3)泮徑為5；

(2)x2+y2+2by=0配方，得x2+(y+b-=b2,所以圓心坐標(biāo)為(0,-b)泮徑為|b|.

例2求過三點0(0,0)、M|(l,l)、M2(4,2)的圓的方程，并求圓的半徑長和圓心坐標(biāo).

解:方法一：設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=O,由0、M?在圓上，則有

F=0.

<D+E+F+2=0,

4D+2E+F+20^Q.

解得D=-8,E=6,F=0,

故所求圓的方程為*2+/&+6丫=0,即(*—4)2+(丫+3尸=52.所以圓心坐標(biāo)為(4,-3),半徑為5.

1153

方法二：先求出OM|的中點E(一,一),MiM?的中點F(-,-),

2222

再寫出OM1的垂直平分線PE的直線方程y-；=-(x-；),①

35

AB的垂直平分線PF的直線方程y--=-3(x--),②

聯(lián)立①②得4'得1一’則點P的坐標(biāo)為(4,-3),即為圓心.OP=5為半徑.

3x+y=9,=-3.

方法三：設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為P(a,b),根據(jù)圓的性質(zhì)可得|OP|=|AP|=|BP|,

即x2+y2=(x-iy+(y-l)2=(x-4尸+(y-2)2,解之得P(4,-3),OP=5為半徑.

方法四：設(shè)所求圓的方程為(x—a)2+(y—?=/,因為0(0,0)、A(l,l)、B(4,2)在圓上，所以它們的坐標(biāo)是

方程的解.把它們的坐標(biāo)代入上面的方程,可以得到關(guān)于a、b、r的方程組，即

+(1-份2=/，

<a2+b2=r2,

(4—4)2+(2—=,

(7=4,

解此方程組得"=-3,所以所求圓的方程為尊一4尸+(丫+3)2=52,圓心坐標(biāo)為(4,-3)泮徑為5.

r-5.

點評：請同學(xué)們比較，關(guān)于何時設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，何時設(shè)圓的一般方程.一般說來，如果由已知條件容易求

圓心的坐標(biāo)、半徑或需要用圓心的坐標(biāo)、半徑列方程的問題，往往設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；如果已知條件和圓心坐

標(biāo)或半徑都無直接關(guān)系，往往設(shè)圓的一般方程.

例3已知點P(10,0),Q為圓x2+y2=16上一動點.當(dāng)Q在圓上運動時，求PQ的中點M的軌跡方程.

活動:學(xué)生回想求曲線方程的方法與步驟，思考討論，教師適時點撥提示，本題可利用平面幾何的知識，見

中點作中線，利用中線定長可得方程，再就是利用求曲線方程的辦法來求.

圖1

解法一:如圖1,作MN〃OQ交x軸于N,

則N為0P的中點，即N(5,0).

因為|MN|=!|0Q|=2(定長).

2

所以所求點M的軌跡方程為(x-5/+y2=4.

點評:用直接法求軌跡方程的關(guān)鍵在于找出軌跡上的點應(yīng)滿足的幾何條件,然后再將條件代數(shù)化.但在許

多問題中,動點滿足的兒何條件較為隱蔽復(fù)雜，將它翻譯成代數(shù)語言時也有困難，這就需要我們探討求軌跡問

題的新方法.轉(zhuǎn)移法就是一種很重要的方法.用轉(zhuǎn)移法求軌跡方程時，首先分析軌跡上的動點M的運動情況,

探求它是由什么樣的點控制的.

解法二:設(shè)M(x,y)為所求軌跡上任意一點Q(x0,y0).

「一10+與

A-

Hn[x0=2x-10.

因為M是PQ的中點，所以＜-叫(*)

Jo=2y.

又因為Q(x(),yo)在圓x2+y2=16上，所以.將(*)代入得

(2x-10)2+(2y)2=16.

故所求的軌跡方程為(x-51+y2=4.

點評:相關(guān)點法步驟:①設(shè)被動點M(x,y),主動點Q(x0,y0).

x-f,(x,y),

②求出點M與點Q坐標(biāo)間的關(guān)系＜0n?0n(I)

③從(I)中解出卜(II)

jo=g2(x,y)?

④將(H)代入主動點Q的軌跡方程(已知曲線的方程)，化簡得被動點的軌跡方程.

這種求軌跡方程的方法也叫相關(guān)點法，以后要注意運用.

變式訓(xùn)練

已知線段AB的端點B的坐標(biāo)是(4,3),端點A在圓(x+D?+y2=4上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程.

解:設(shè)點M的坐標(biāo)是(x,y),

點A的坐標(biāo)是(x(),yo).

由于點B的坐標(biāo)是(4,3)且M是線段AB的中點，所以x=~)；4,y=)o；3.于是有xo=2x_4,yo=2y-3.

因為點A在圓(x+l/+yJ4上運動，所以點A的坐標(biāo)滿足方程(x+l/+y2=4,即(xo+l尸+y()2=4.②

把①代入②周(2x-4+1尸+(2丫-3)2=4,整理，得(x--)2+(y-y)2=l.

33

所以點M的軌跡是以(一，一)為圓心，半徑長為1的圓.

22

思路2

2222

例1求圓心在直線l：x+y=O上，且過兩圓C?:x+y-2x+10y-24=0和C2:x+y+2x+2y-8=0的交點的圓的方程.

活動:學(xué)生審題，教師引導(dǎo)，強調(diào)應(yīng)注意的問題，根據(jù)題目特點分析解題思路,確定解題方法.由于兩圓的交

點可求，圓心在一直線上，所以應(yīng)先求交點再設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解:解兩圓方程組成的方程組《，一得兩圓交點為(0,2),(-4,0).

盧-+y?+2x+2y-8=0.

設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=J,因為兩點在所求圓上，且圓心在直線1上,所以得方程組

(-4-a)2+b-=r2,

<a2+(2-b)2=r2,

a+b=0.

解得a=-3,b=3,r=Jib.故所求圓的方程為(x+3)?+(y-3尸=10.

點評：由已知條件容易求圓心坐標(biāo)、半徑或需要用圓心的坐標(biāo)、半徑列方程的問題，往往設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方

程.

例2已知圓在x軸上的截距分別為1和3,在y軸上的截距為-1,求該圓的方程.

解法一:利用圓的一般方程.

設(shè)所求的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由已知，該圓經(jīng)過點(1,0),(3,0)和(0,-1),則有

1+D+F=0,

?32+3D+尸=0,,解之得D=-4,E=4,F=3.故所求圓的方程為x2+y2-4x+4y+3=0.

(―一E+R=0.

解法二:利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

由題意該圓經(jīng)過P(l,0),Q(3,0),R(-l,0),

設(shè)圓的方程為(x-af+ly-b):/,則圓心C(a,b)在PQ的垂直平分線上，故a=2.

因為|PC|=|RC|,所以，=J4+為+1>將a=2代入，得b=-2,所以C(2,-2).

而r=|PC|=75，故所求圓的方程為(x-2尸+(y+2/=5.

例3試求圓C:x2+y2-x+2y=0關(guān)于直線l:x-y+l=O對稱的曲線。的方程.

活動：學(xué)生先思考，