吉林省長春市19中2023-2024學(xué)年高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若不相等的非零實(shí)數(shù)，，成等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，則（）A． B． C．2 D．2．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與軸交于點(diǎn)，線段與交于點(diǎn).若，則的方程為（）A． B． C． D．3．已知在中，角的對邊分別為，若函數(shù)存在極值，則角的取值范圍是（）A． B． C． D．4．如圖，設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，且，則與的面積之比為A． B．C． D．5．已知等差數(shù)列{an}，則“a2＞a1”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件6．已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最小值是A． B． C．1 D．47．已知函數(shù)，若時，恒成立，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．8．一場考試需要2小時，在這場考試中鐘表的時針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為（）A． B． C． D．9．若函數(shù)在時取得最小值，則（）A． B． C． D．10．函數(shù)且的圖象是（）A． B．C． D．11．已知集合，則的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．12．已知函數(shù)，若則（）A．f(a)<f(b)<f(c) B．f(b)<f(c)<f(a)C．f(a)<f(c)<f(b) D．f(c)<f(b)<f(a)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的圖象在處的切線與直線互相垂直,則_____．14．函數(shù)在上的最小值和最大值分別是_____________．15．已知集合，，則__________．16．設(shè)f（x）＝etx（t＞0），過點(diǎn)P（t，0）且平行于y軸的直線與曲線C：y＝f（x）的交點(diǎn)為Q，曲線C過點(diǎn)Q的切線交x軸于點(diǎn)R，若S（1，f（1）），則△PRS的面積的最小值是_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若在定義域內(nèi)是增函數(shù)，且存在不相等的正實(shí)數(shù)，使得，證明：.18．（12分）已知，，.（1）求的最小值；（2）若對任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）在中，角，，的對邊分別為，，，，，且的面積為.(1)求；(2)求的周長.20．（12分）健身館某項(xiàng)目收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為每次60元，現(xiàn)推出會員優(yōu)惠活動：具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：現(xiàn)隨機(jī)抽取了100為會員統(tǒng)計(jì)它們的消費(fèi)次數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下：假設(shè)該項(xiàng)目的成本為每次30元，根據(jù)給出的數(shù)據(jù)回答下列問題：（1）估計(jì)1位會員至少消費(fèi)兩次的概率（2）某會員消費(fèi)4次，求這4次消費(fèi)獲得的平均利潤；（3）假設(shè)每個會員每星期最多消費(fèi)4次，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件的概率，從會員中隨機(jī)抽取兩位，記從這兩位會員的消費(fèi)獲得的平均利潤之差的絕對值為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望21．（12分）已知函數(shù)，.（1）若不等式的解集為，求的值.（2）若當(dāng)時，，求的取值范圍.22．（10分）已知點(diǎn)，且，滿足條件的點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）是否存在過點(diǎn)的直線，直線與曲線相交于兩點(diǎn)，直線與軸分別交于兩點(diǎn)，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由題意，可得，，消去得,可得，繼而得到，代入即得解【詳解】由，，成等差數(shù)列，所以，又，，成等比數(shù)列，所以，消去得，所以，解得或，因?yàn)椋?，是不相等的非零?shí)數(shù)，所以，此時，所以．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.2、D【解析】

由題可得，所以，又，所以，得，故可得橢圓的方程.【詳解】由題可得，所以，又，所以，得，，所以橢圓的方程為.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解.3、C【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)，由有不等的兩實(shí)根，即可得不等關(guān)系，然后由余弦定理可及余弦函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】，.若存在極值，則，又.又．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值，考查余弦定理．掌握極值存在的條件是解題關(guān)鍵．4、A【解析】

作交于點(diǎn)，根據(jù)向量比例，利用三角形面積公式，得出與的比例，再由與的比例，可得到結(jié)果.【詳解】如圖，作交于點(diǎn)，則，由題意，，，且，所以又，所以，，即，所以本題答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)與向量的結(jié)合，三角形面積公式，屬基礎(chǔ)題，作出合適的輔助線是本題的關(guān)鍵.5、C【解析】試題分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．解：在等差數(shù)列{an}中，若a2＞a1，則d＞0，即數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，若數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，則a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”充分必要條件，故選C．考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．6、B【解析】

作出該不等式組表示的平面區(qū)域，如下圖中陰影部分所示，設(shè)，則，易知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，z取得最小值，由，解得，所以，所以，故選B．7、D【解析】

通過分析函數(shù)與的圖象，得到兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn)，解方程組即得解.【詳解】如圖所示，函數(shù)與的圖象，因?yàn)闀r，恒成立，于是兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn)，所以，解得．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象的綜合應(yīng)用和函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.8、B【解析】

因?yàn)闀r針經(jīng)過2小時相當(dāng)于轉(zhuǎn)了一圈的，且按順時針轉(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角，綜合以上即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)闀r針旋轉(zhuǎn)一周為12小時，轉(zhuǎn)過的角度為，按順時針轉(zhuǎn)所形成的角為負(fù)角，所以經(jīng)過2小時，時針?biāo)D(zhuǎn)過的弧度數(shù)為.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查正負(fù)角的定義以及弧度制，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

利用輔助角公式化簡的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值，求得在函數(shù)取得最小值時的值．【詳解】解：，其中，，，故當(dāng)，即時，函數(shù)取最小值，所以，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的最值的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性，再取特殊值，利用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)零點(diǎn)分布情況，即可得解.【詳解】由題可知定義域?yàn)?，，是偶函?shù)，關(guān)于軸對稱，排除C，D.又，，在必有零點(diǎn)，排除A.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷，考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.11、A【解析】

先求出集合，化簡=，令，得由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得值域.【詳解】由，得，，令，，，所以得，在上遞增，在上遞減，，所以，即的值域?yàn)楣蔬xA【點(diǎn)睛】本題考查了二次不等式的解法、二次函數(shù)最值的求法，換元法要注意新變量的范圍，屬于中檔題12、C【解析】

利用導(dǎo)數(shù)求得在上遞增，結(jié)合與圖象，判斷出的大小關(guān)系，由此比較出的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增；在同一坐標(biāo)系中作與圖象，，可得，故.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1.【解析】

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合直線垂直的直線斜率的關(guān)系建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直,函數(shù)的圖象在的切線斜率本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題主要考查直線垂直的應(yīng)用以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．14、【解析】

求導(dǎo)，研究函數(shù)單調(diào)性，分析，即得解【詳解】由題意得，，令，解得，令，解得.在上遞減，在遞增．，而，故在區(qū)間上的最小值和最大值分別是．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值的求解中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題15、【解析】

解一元二次不等式化簡集合，再進(jìn)行集合的交運(yùn)算，即可得到答案.【詳解】，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的求解、集合的交運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

計(jì)算R（t，0），PR＝t﹣（t），△PRS的面積為S，導(dǎo)數(shù)S′，由S′＝0得t＝1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值.【詳解】∵PQ∥y軸，P（t，0），∴Q（t，f（t））即Q（t，），又f（x）＝etx（t＞0）的導(dǎo)數(shù)f′（x）＝tetx，∴過Q的切線斜率k＝t，設(shè)R（r，0），則k，∴r＝t，即R（t，0），PR＝t﹣（t），又S（1，f（1））即S（1，et），∴△PRS的面積為S，導(dǎo)數(shù)S′，由S′＝0得t＝1，當(dāng)t＞1時，S′＞0，當(dāng)0＜t＜1時，S′＜0，∴t＝1為極小值點(diǎn)，也為最小值點(diǎn)，∴△PRS的面積的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求面積的最值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）當(dāng)時，在上遞增，在上遞減；當(dāng)時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；當(dāng)時，在上遞增；當(dāng)時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；（2）證明見解析【解析】

（1）對求導(dǎo)，分，，進(jìn)行討論，可得的單調(diào)性；（2）在定義域內(nèi)是是增函數(shù)，由（1）可知，，設(shè)，可得，則，設(shè)，對求導(dǎo)，利用其單調(diào)性可證明.【詳解】解：的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以，?dāng)時，令，得，令，得；當(dāng)時，則，令，得，或，令，得；當(dāng)時，，當(dāng)時，則，令，得；綜上所述，當(dāng)時，在上遞增，在上遞減；當(dāng)時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；當(dāng)時，在上遞增；當(dāng)時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；（2）在定義域內(nèi)是是增函數(shù)，由（1）可知，此時，設(shè)，又因?yàn)?，則，設(shè)，則對于任意成立，所以在上是增函數(shù)，所以對于，有，即，有，因?yàn)?，所以，即，又在遞增，所以，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性及導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)偏移中的應(yīng)用，考查學(xué)生分類討論與轉(zhuǎn)化的思想，綜合性大，屬于難題.18、（1）2；（2）.【解析】

（1）化簡得，所以，展開后利用基本不等式求最小值即可；（2）由（1），原不等式可轉(zhuǎn)化為，討論去絕對值即可求得的取值范圍.【詳解】（1）∵，，∴，∴.∴.當(dāng)且僅當(dāng)且即時，.（2）由（1）知，，對任意，都有，∴，即.①當(dāng)時，有，解得；②當(dāng)，時，有，解得；③當(dāng)時，有，解得；綜上，，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的運(yùn)用和求解含絕對值的不等式，考查學(xué)生的分類思想和計(jì)算能力，屬于中檔題.19、（1）（2）【解析】

（1）利用正弦，余弦定理對式子化簡求解即可；（2）利用余弦定理以及三角形的面積，求解三角形的周長即可．【詳解】（1），由正弦定理可得：，即：，由余弦定理得.（2）∵，所以，，又，且，，的周長為【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，三角形的面積公式，也考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）（2）22.5（3）見解析，【解析】

（1）根據(jù)頻數(shù)計(jì)算頻率，得出概率；（2）根據(jù)優(yōu)惠標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算平均利潤；（3）求出各種情況對應(yīng)的的值和概率，得出分布列，從而計(jì)算出數(shù)學(xué)期望．【詳解】解：（1）估計(jì)1位會員至少消費(fèi)兩次的概率；（2）第1次消費(fèi)利潤；第2次消費(fèi)利潤；第3次消費(fèi)利潤；第4次消費(fèi)利潤；這4次消費(fèi)獲得的平均利潤：（3）1次消費(fèi)利潤是27，概率是；2次消費(fèi)利潤是，概率是；3次消費(fèi)利潤是，概率是；4次消費(fèi)利潤是，概率是；由題意：故分布列為：0期望為:【點(diǎn)睛】本題考查概率、平均利潤、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查古典概型、相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．21、（1）；（2）【解析】試題分析：（1）求得的解集，根據(jù)集合相等，列出方程組，即可求解的值；（2）①當(dāng)時，恒成立，②當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為，設(shè)，求得函數(shù)的最小值，即可求解的取值范圍.試題解析：（1）由，得，因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以，故不等式可化為，解得，所以，解?（2）①當(dāng)時，恒成立，所以.②當(dāng)時，可化為，設(shè)，則，所以當(dāng)時，，所以.綜上，的取值范圍是.22、（1）（2）存在，或．【解析】

（1）由得看成到兩定點(diǎn)的和為定值，滿足橢圓定義，用定義可解曲線的方程.（2）先討論斜率不存在情況是否符合題意，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線點(diǎn)斜式方程，由，可得，再直線與橢圓聯(lián)解，利用根的判別式得到關(guān)于的一元二次方程求解.【詳解】解：設(shè)，由，，可得，即為，由，可得的軌跡是以為焦點(diǎn)，且的橢圓，由，可得，可得曲線的方程為；假設(shè)存在過點(diǎn)的直線l符合題