2024年初二下冊數(shù)學(xué)期末考試專項(xiàng)復(fù)習(xí)二次根式的乘除（提高）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握二次根式的乘除法法則和化簡二次根式的常用方法，熟練進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算.2.了解最簡二次根式的概念，能運(yùn)用二次根式的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行化簡.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、二次根式的乘法及積的算術(shù)平方根

1.乘法法則：（≥0，≥0）,即兩個(gè)二次根式相乘，根指數(shù)不變，只把被開方數(shù)相乘.

要點(diǎn)詮釋：

(1)在運(yùn)用二次根式的乘法法則進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，一定要注意：公式中a、b都必須是非負(fù)數(shù)；(在本章中，如果沒有特別說明，所有字母都表示非負(fù)數(shù)).

(2)該法則可以推廣到多個(gè)二次根式相乘的運(yùn)算：≥0，≥0，…..≥0）.

(3)若二次根式相乘的結(jié)果能寫成的形式，則應(yīng)化簡，如.2.積的算術(shù)平方根:

（≥0，≥0）,即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積.

要點(diǎn)詮釋：

(1)在這個(gè)性質(zhì)中，a、b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，無論是數(shù)，還是代數(shù)式，都必須滿足≥0，≥0,才能用此式進(jìn)行計(jì)算或化簡，如果不滿足這個(gè)條件，等式右邊就沒有意義，等式也就不能成立了；(2)與都是的算術(shù)平方根；(3)二次根式的化簡關(guān)鍵是將被開方數(shù)分解因數(shù)，把含有形式的a移到根號(hào)外面.

要點(diǎn)二、二次根式的除法及商的算術(shù)平方根

1.除法法則：（≥0，>0）,即兩個(gè)二次根式相除，根指數(shù)不變，把被開方數(shù)相除.

要點(diǎn)詮釋：

(1)在進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算時(shí)，對(duì)于公式中被開方數(shù)a、b的取值范圍應(yīng)特別注意，≥0，>0，因?yàn)閎在分母上，故b不能為0；

(2)運(yùn)用二次根式的除法法則，可將分母中的根號(hào)去掉，二次根式的運(yùn)算結(jié)果要盡量化簡，最后結(jié)果中分母不能帶根號(hào).

2.商的算術(shù)平方根:

（≥0，>0），即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.

要點(diǎn)詮釋：與都是的算術(shù)平方根.要點(diǎn)三、最簡二次根式（1）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；

（2）被開方數(shù)中不含有分母；（3）分母中不含有根號(hào).滿足這三個(gè)條件的二次根式叫做最簡二次根式.要點(diǎn)詮釋：二次根式化成最簡二次根式主要有以下兩種情況：（1)被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)或分式；（2）含有能開方的因數(shù)或因式.【典型例題】類型一、二次根式的乘除【高清課堂：二次根式及其乘除法（下）例9（2），（3）】1.（1）；（2）.【答案與解析】解：（1）原式＝＝.(2)原式＝.【總結(jié)升華】根據(jù)二次根式的乘除法則靈活運(yùn)算，注意最終結(jié)果要化簡.舉一反三：【高清課堂：二次根式及其乘除法（下）例9（4）】【變式】化簡：【答案】解：原式＝＝2.計(jì)算：(1)·(-)÷(m＞0，n＞0)；(2)-3÷()×(a＞0).【思路點(diǎn)撥】復(fù)雜的二次根式計(jì)算，要注意在化簡過程中運(yùn)用冪的乘除運(yùn)算和因式分解運(yùn)算.【答案與解析】解：(1)原式＝-÷＝-＝＝-；(2)原式＝-2＝-2＝-a.【總結(jié)升華】熟練乘除運(yùn)算，更要加強(qiáng)運(yùn)算準(zhǔn)確的訓(xùn)練.舉一反三：【變式】已知，且x為偶數(shù)，求(1+x)的值．【答案】解：由題意得，即,

∴6＜x≤9，∵x為偶數(shù)，∴x＝8.

∴原式＝(1+x)＝(1+x)＝(1+x)＝.

∴當(dāng)x＝8時(shí)，原式的值＝＝6．類型二、最簡二次根式

3.（x＞0，y＞0）【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式的乘除法把根號(hào)外的相乘除，根號(hào)里的相乘除再化簡即可．【答案與解析】解：原式=﹣=﹣，∵x＞0，y＞0，∴原式=﹣=﹣3xy．【總結(jié)升華】本題主要考查了最簡二次根式及二次根式的乘除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．4.（2016?羅平縣三模）觀察分析下列數(shù)據(jù)：0，﹣，，﹣3，2，﹣，3，…，根據(jù)數(shù)據(jù)排列得到第10個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)是（結(jié)果化為最簡二次根式）【思路點(diǎn)撥】根據(jù)觀察，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：（﹣1）n+1，根據(jù)規(guī)律，可得答案．【答案與解析】解：由規(guī)律：（﹣1）n+1，得第10個(gè)數(shù)據(jù)為：（﹣1）11=-=﹣3，故答案為：﹣3．【總結(jié)升華】本題考查了最簡二次根式，觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】若的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是，求的值.【答案】解：.又因?yàn)檎麛?shù)部分是，小數(shù)部分是，則＝13，＝.＝.【變式2】閱讀材料，并解決問題．定義：將分母中的根號(hào)化去的過程叫做分母有理化．如：將分母有理化．解：原式==+運(yùn)用以上方法解決問題：（1）將分母有理化；（2）比較大?。海ㄔ跈M線上填“＞”、“＜”或“=”）（n≥2，且n為整數(shù)）（3）化簡：+++…+．【答案】解：（1）===2﹣；（2）∵=+，=+，又＜，∴＜，∵=+，=+，∴＜，故答案為：＜，＜；（3）原式=++…+=﹣1+﹣+﹣+…+﹣=﹣1.二次根式的乘除（提高）鞏固練習(xí)【鞏固練習(xí)】一.選擇題1.若（）.A．-1B.1C.2x-1D.1-2x2.（2015春?北流市期中）已知m=+1，n=，則m和n的大小關(guān)系為（）A．m=n B．mn=1 C．m=﹣n D．mn=﹣13.（2016春?天津期末）下列計(jì)算正確的是（）A．=2 B．（）2=4 C．×= D．÷=34.把根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)，得（）．A．B．C．D．5.設(shè)用含的式子表示，則下列表示正確的是（）.A.B.C.D.6.若,那么的值是（）.A．1B.-1C.D.二、填空題7.計(jì)算___________,=_______________.8.=________.9.若互為相反數(shù)，則x=_____________.10.已知=___________.

11.（2015春?周口期末）已知a=+，b=，則a與b的大小關(guān)系是ab．12.計(jì)算：=_______________________.三、解答題13.（2016春?滑縣校級(jí)月考）已知=，且x為偶數(shù)，求（1+x）的值．14.若15.若成立，化簡.【答案與解析】一、選擇題

1．【答案】A【解析】所以選A.2．【答案】A【解析】解：因?yàn)閚==，m=+1，所以m=n；又因?yàn)閙n==4所以mn≠1，mn≠﹣1，所以選項(xiàng)B、D錯(cuò)誤．故選：A．3．【答案】C【解析】解：A、=4，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、（）2=2，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、×=，此選項(xiàng)正確，D、÷=，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．4．【答案】C5．【答案】A【解析】因?yàn)?.6．【答案】D【解析】.則，則=.二、填空題7．【答案】8．【答案】-69．【答案】0【解析】因?yàn)榛橄喾磾?shù)，所以則.10.【答案】1【解析】=.11．【答案】=；【解析】解：∵b===，又a=+，∴a=b．故答案為：=．12．【答案】【解析】=＝.三、解答題.

13.【解析】解：∵=，∴6＜x≤9，∵x為偶數(shù)，∴x=8，則（1+x）=（1+x）===6．14.【解析】解：因?yàn)椋?.所以＝.15【解析】解：∵成立，∴.即.則===7+.二次根式的加減（基礎(chǔ)）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、理解并掌握同類二次根式的概念和二次根式的加減法法則，會(huì)合并同類二次根式，進(jìn)行簡單的二次根式加減運(yùn)算；2、會(huì)利用運(yùn)算律和運(yùn)算法則進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、同類二次根式1.定義：幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式.

要點(diǎn)詮釋：

(1)判斷幾個(gè)二次根式是否是同類二次根式，必須先將二次根式化成最簡二次根式，再看被開方數(shù)是否相同；

(2)幾個(gè)二次根式是否是同類二次根式，只與被開方數(shù)及根指數(shù)有關(guān)，而與根號(hào)外的因式無關(guān).

2.合并同類二次根式

合并同類二次根式，只把系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開方數(shù)不變.要點(diǎn)詮釋：

(1)根號(hào)外面的因式就是這個(gè)根式的系數(shù).

(2)二次根式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的要變成假分?jǐn)?shù)的形式.（3）合并同類二次根式的方法與整式加減運(yùn)算中的合并同類項(xiàng)類似，不是同類二次根式不能合并.要點(diǎn)二、二次根式的加減

二次根式相加減，先化簡每個(gè)二次根式，然后合并同類二次根式.要點(diǎn)詮釋：（1）在進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算時(shí)，整式加減運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律及去括號(hào)、添括號(hào)法則仍然適用.（2）二次根式加減運(yùn)算的步驟：

1)將每個(gè)二次根式都化簡成為最簡二次根式；

2)判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類的二次根式結(jié)合為一組；

3)合并同類二次根式.

要點(diǎn)三、二次根式的混合運(yùn)算

二次根式的混合運(yùn)算是對(duì)二次根式的乘除及加減運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用.

要點(diǎn)詮釋：

(1)二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后算加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里面的；

(2)在實(shí)數(shù)運(yùn)算和整式運(yùn)算中的運(yùn)算律和乘法公式在二次根式的運(yùn)算中仍然適用；

(3)二次根式混合運(yùn)算的結(jié)果要寫成最簡形式.【典型例題】類型一、同類二次根式1.（2015?浦東新區(qū)二模）如果最簡二次根式與是同類二次根式，那么x的值是（）A.-1B.0C.1D.2【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，它們的被開方數(shù)相同，列出方程求解即可．【答案】C.【解析】解：由最簡二次根式與是同類二次根式，得x+2=3x，解得x=1．故選：C．【總結(jié)升華】同類二次根式是化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式稱為同類二次根式．舉一反三：【變式】如果兩個(gè)最簡二次根式和是同類二次根式，那么、的值是().A.=2，=1B.=1，=2C.=1，=-1D.=1，=1【答案】D.根據(jù)題意，得

解之，得，故選D.類型二、二次根式的加減運(yùn)算2.計(jì)算：(1)+；(2).【答案與解析】解：(1)+=.【總結(jié)升華】一定要注意二次根式的加減要做到先化簡，再合并.舉一反三：【變式】（1）（2015春?建湖縣期末）4﹣+．（2）（2015春?文安縣期末）．【答案】解：(1)原式=4×﹣3+2=2﹣3+2=．（2）原式=2+3﹣2=．類型三、二次根式的混合運(yùn)算

3.（2016?德州校級(jí)自主招生）計(jì)算：．【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)二次根式的乘除法法則得到原式=﹣+2，然后利用二次根式的性質(zhì)化簡后合并即可．【答案與解析】解：原式=﹣+2=4﹣+2=4+．【總結(jié)升華】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再把各二次根式化為最簡二次根式，然后進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算．【高清課堂：高清ID號(hào)：388064關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：鞏固練習(xí)4-5】4、計(jì)算：已知，則=_______,=________.【答案】1；10.【解析】【總結(jié)升華】數(shù)學(xué)運(yùn)算包含著很多技巧性的東西，技巧運(yùn)用得好計(jì)算就很簡便而且準(zhǔn)確.舉一反三：【變式】已知求的值.【答案與解析】解：..所以原式=.二次根式的加減（基礎(chǔ)）鞏固練習(xí)一.選擇題

1.（2015春?荔城區(qū)期末）下列二次根式，不能與合并的是（）

A．B．C．D.

2.（2017?德州校級(jí)自主招生）下列各組二次根式中是同類二次根式的是（）A． B． C． D．3.下列計(jì)算中，正確的是（）.

A．B．

C．D．

4.若，則的值等于（）.

A.4B.C.2D.

5.計(jì)算等于（）.A．7B.C.1D.6.下列計(jì)算正確的是（）.A.B.C.D.二.填空題7．化簡基礎(chǔ)訓(xùn)練：

__________；__________；__________；__________；

__________；__________；__________；__________；8.如果+=0，那么=．9.當(dāng)_________時(shí)，最簡二次根式可以合并.10.一個(gè)三角形的三邊長分別為，，，則它的周長是________cm.11.計(jì)算=__________________.12.=________________.三.解答題13.（2016春?壽光市期末）計(jì)算．14.化簡求值：，其中.15.（2015?江西校級(jí)模擬）已知x=，y=，求的值．【答案與解析】一.選擇題1．【答案】B.【解析】=2，A、=4，能合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、=3，不能合并，故本選項(xiàng)正確；C、==，能合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、﹣=﹣5，能合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B．2．【答案】C【解析】解：A、=2與被開方數(shù)不同，故不是同類二次根式，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、與被開方數(shù)不同，故不是同類二次根式，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、與被開方數(shù)相同，是同類二次根式，故C選項(xiàng)正確；D、與被開方數(shù)不同，故不是同類二次根式