第6招根與系數(shù)的關(guān)系的常見應(yīng)用典例剖析

例已知關(guān)于x的方程(a－5)x2－4x－1＝0.(1)若方程有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍；解題秘方：1.對于二次項(xiàng)系數(shù)含有字母的方程，當(dāng)方程未指明是一元二次方程或有兩個(gè)根時(shí)，必須將方程按二次項(xiàng)系數(shù)為0和不為0兩種情況進(jìn)行分類討論；2.解答與一元二次方程有關(guān)的存在性問題，一般先假設(shè)存在，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出關(guān)于字母系數(shù)的方程，求出字母系數(shù)的值，再看它是否滿足根的判別式大于或等于零，最后確定字母值的存在性．解：當(dāng)a＝5時(shí)，方程為－4x－1＝0，方程有實(shí)數(shù)根；當(dāng)a≠5時(shí)，方程為一元二次方程，要使方程有實(shí)數(shù)根，則(－4)2＋4(a－5)＝4a－4≥0，解得a≥1.綜上，a的取值范圍為a≥1.典例剖析(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使方程的兩根x1，x2滿足x1＋

x2＋x1x2＝3？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．分類訓(xùn)練應(yīng)用已知方程一根，求另一根及待定系數(shù)11.已知關(guān)于x的方程x2＋kx－6＝0的一根為2，求方程的另一根及k的值．

分類訓(xùn)練2.若x1，x2是方程x2－4x－2025＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式x12－2x1＋2x2的值．應(yīng)用已知方程，求有關(guān)兩根的代數(shù)式的值2解：∵x1，x2是方程x2－4x－2025＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴x1＋x2＝4，x12－4x1－2025＝0，即x12－4x1＝2025.則原式＝x12－4x1＋2x1＋2x2＝x12－4x1＋2(x1＋x2)＝2025＋2×4＝2025＋8＝2033.分類訓(xùn)練3.應(yīng)用已知兩方程，求含兩未知數(shù)的代數(shù)式的值3分類訓(xùn)練應(yīng)用已知方程，求字母系數(shù)的取值范圍44.已知關(guān)于x的一元二次方程x2－3x＋k＋1＝0的兩根的平方和小于5，求k的取值范圍．

分類訓(xùn)練5.已知關(guān)于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)根的平方和比兩個(gè)根的積大21，求m的值．應(yīng)用已知方程，求字母系數(shù)的值5解：∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴

[2(m－2)]2－4×1×(m2＋4)≥0.解得m≤0.設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，則x1＋x2＝－2(m－2)，x1x2＝m2＋4.∵x12＋x22－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)2－3x1·x2＝21.∴[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21.整理得m2－16m－17＝0.解得m1＝－1，m2＝17.

又∵m≤0，∴m＝－1.6.不解方程，判斷方程2x2＋3x－7＝0兩個(gè)根的符號(hào)．應(yīng)用已知方程，判斷根的符號(hào)6分類訓(xùn)練7.已知－1和3是某個(gè)關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根，且方程中二次項(xiàng)系數(shù)為1，請寫出這個(gè)方程．解：設(shè)這個(gè)方程為x2＋ax＋b＝0.由題意得－1＋3＝－a，－1×3＝b，∴a＝－2，b＝－3.∴這個(gè)方程為x2－2x－3＝0.應(yīng)用已知兩根，求一元二次方程7分類訓(xùn)練8.已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x＝6－y，z2＝xy－9.求證：x＝y(tǒng).應(yīng)用結(jié)合根的判別式證明等式8分類訓(xùn)練證明：由題意知x＋y＝6，xy＝z2＋9，∴x，y可以看成是關(guān)于t的一元二次方程

t2－6t＋z2＋9＝0①的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴b2－4ac＝36－4(z2＋9)＝－4z2≥0，∴z＝0，則b2－4ac＝0.故方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴x＝y(tǒng).9.應(yīng)用結(jié)合根的判別式證明不等式9分類訓(xùn)練證明：由題意知bc＝a2－a＋1，b＋c＝2a2－2bc＋2＝2