第2課時(shí)指數(shù)型、對數(shù)型函數(shù)模型應(yīng)用舉例1/632/63類型一指數(shù)型函數(shù)模型應(yīng)用實(shí)例【典例1】(1)(·菏澤高一檢測)每次用同體積水清洗一件衣物,且每次能洗去污垢,若洗x次后存留污垢在1%以下,則x最小值是________.3/63(2)設(shè)在海拔xm處大氣壓強(qiáng)是yPa,y與x之間函數(shù)關(guān)系式是y=cekx,其中c,k為常量,已知某地某天在海平面大氣壓為1.01×105Pa,1000m高空大氣壓為0.90×105Pa,求600m高空大氣壓強(qiáng)(結(jié)果保留3個(gè)有效數(shù)字).4/63【解題指南】(1)依據(jù)題意建立指數(shù)函數(shù)模型求解.(2)依據(jù)已經(jīng)有函數(shù)模型,由題中條件先確定c,k,進(jìn)而可求出600m高空大氣壓強(qiáng).5/63【解析】(1)每次洗去污垢,就是存留了,故洗x次后,還有原來(x∈N*),故有<1%,所以5x>100,解得x最小值為3.答案:36/63(2)將x=0,y=1.01×105,x=1000,y=0.90×105分別代入函數(shù)式y(tǒng)=cekx,得所以c=1.01×105,將c=1.01×105代入0.90×105=ce1000k,所以k=7/63由計(jì)算器得k=-1.15×10-4,所以y=1.01×105×將x=600代入上述函數(shù)式得y=1.01×105×由計(jì)算器算得y=0.943×105.所以600m高空大氣壓強(qiáng)約為0.943×105Pa.8/63【方法總結(jié)】指數(shù)型函數(shù)模型在生活中應(yīng)用(1)在實(shí)際問題中,相關(guān)人口增加、銀行利率、細(xì)胞分裂等增加率問題常能夠用指數(shù)型函數(shù)模型表示.通常能夠表示為y=N(1+p)x(其中N為基礎(chǔ)數(shù),p為增加率,x為時(shí)間)形式.9/63(2)增加率問題多抽象為指數(shù)函數(shù)形式,當(dāng)由指數(shù)函數(shù)形式來確定相關(guān)量值要求不嚴(yán)格時(shí),能夠經(jīng)過圖象近似求解.用函數(shù)圖象求解未知量值或確定變量取值范圍,是數(shù)學(xué)慣用方法之一.10/63【賠償訓(xùn)練】1.(1)(·金華高一檢測)衣柜里樟腦丸,會(huì)伴隨時(shí)間揮發(fā)而體積縮小,剛放入衣柜新樟腦丸體積為a,經(jīng)過t天后體積與天數(shù)t關(guān)系式為V=a·e-kt,若新樟腦丸經(jīng)過50天后,體積變?yōu)閍;若一個(gè)新樟腦丸體積變?yōu)閍,則需經(jīng)過天數(shù)為()A.75B.100C.125D.15011/63(2)某種商品進(jìn)價(jià)為每個(gè)80元,零售價(jià)為每個(gè)100元,為了促銷,采取買一個(gè)這種商品贈(zèng)予一個(gè)小禮品方法.實(shí)踐表明:禮品價(jià)格為1元時(shí),銷售量增加10%,且在一定范圍內(nèi),禮品價(jià)格為(n+1)元時(shí),比禮品價(jià)格為n(n∈N*)時(shí)銷售量增加10%.設(shè)未贈(zèng)予禮品時(shí)銷售量為m.12/63①寫出禮品價(jià)格為n元時(shí),利潤yn(元)與n(元)函數(shù)關(guān)系式;②請你設(shè)計(jì)禮品價(jià)格,以使商店取得最大利潤.13/63【解析】(1)選A.依據(jù)題意可知a=a·e-50k,所以=e-50k,所以-50k=ln①.令a=a·e-kt,所以e-kt=,-kt=ln,結(jié)合①式可知,t==75,故選A.14/63(2)①當(dāng)禮品價(jià)格為n元時(shí),銷售量為m(1+10%)n件,故利潤yn=(100-80-n)·m·(1+10%)n=(20-n)·m·1.1n(0<n<20,n∈N*).②令yn+1-yn≥0,即(19-n)·m·1.1n+1-(20-n)·m·1.1n≥0,解得n≤9.所以y1<y2<y3<…y9=y10.15/63令yn+1-yn+2≥0,即(19-n)·m·1.1n+1-(18-n)·m·1.1n+2≥0,解得n≥8.所以y9=y10>y11>y12>y13>…>y19.所以禮品價(jià)格為9元或10元時(shí),商店取得最大利潤.16/632.某城市現(xiàn)在人口總數(shù)為100萬人,假如年自然增加率為1.2%,試解答下面問題:(1)寫出該城市人口總數(shù)y(萬人)與年份x(年)函數(shù)關(guān)系式.(2)計(jì)算10年后該城市人口總數(shù)(準(zhǔn)確到0.1萬人).(3)計(jì)算大約多少年以后該城市人口將到達(dá)120萬人(準(zhǔn)確到1年).17/63【解題指南】處理這類題關(guān)鍵是依據(jù)題意建立函數(shù)模型.解題流程為“審、設(shè)、列、解、答”,即審題→設(shè)未知量→列出函數(shù)關(guān)系式→求解→作答.在求解過程中要注意所設(shè)未知量實(shí)際意義.18/63【解析】(1)1年后該城市人口總數(shù)為y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%).2年后該城市人口總數(shù)為y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2.19/633年后該城市人口總數(shù)為y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2%=100×(1+1.2%)3.…故x年后該城市人口總數(shù)為y=100×(1+1.2%)x.20/63(2)10年后該城市人口總數(shù)為y=100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7(萬人).(3)設(shè)大約n年后該城市人口將到達(dá)120萬人,即100×(1+1.2%)n≥120,n≥log1.012=log1.0121.20≈15.3.故大約16年以后該城市人口將到達(dá)120萬人.21/63類型二對數(shù)函數(shù)模型應(yīng)用【典例2】燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬,研究燕子科學(xué)家發(fā)覺,兩歲燕子飛行速度能夠表示為函數(shù)v=5log2,單位是m/s,其中Q表示燕子耗氧量.22/63(1)求燕子靜止時(shí)耗氧量是多少個(gè)單位?(2)當(dāng)一只燕子耗氧量是80個(gè)單位時(shí),它飛行速度是多少?23/63【解題指南】(1)燕子靜止時(shí)耗氧量即v=0時(shí)Q值.(2)兩歲燕子耗氧量是80個(gè)單位時(shí),求它飛行速度,即為當(dāng)Q=80時(shí)v值.24/63【解析】(1)由題意,當(dāng)燕子靜止時(shí),它速度v=0,代入題中給出公式可得:0=5log2,解得Q=10.即燕子靜止時(shí)耗氧量是10個(gè)單位.(2)將耗氧量Q=80代入題中給出公式得:v=5log2=5log28=15(m/s).25/63【延伸探究】1.本例中“函數(shù)v=5log2”若換為“v=5log2”,其它條件不變,試求燕子靜止時(shí)耗氧量.26/63【解析】由題意,當(dāng)燕子靜止時(shí),它速度v=0,所以0=5log2,解得Q=100,則燕子靜止時(shí)耗氧量是100個(gè)單位.27/632.本例條件不變,則當(dāng)燕子飛行速度為v=5(m/s)時(shí)耗氧量是多少?【解析】因?yàn)関=5log2,v=5,所以5log2=5,即log2=1,故=2,所以Q=20.28/63【方法總結(jié)】對數(shù)函數(shù)應(yīng)用題基本類型和求解策略(1)基本類型:相關(guān)對數(shù)函數(shù)應(yīng)用題普通都會(huì)給出函數(shù)解析式,然后依據(jù)實(shí)際問題再求解.(2)求解策略:首先依據(jù)實(shí)際情況求出函數(shù)解析式中參數(shù),或給出詳細(xì)情境,從中提煉出數(shù)據(jù),代入解析式求值,然后依據(jù)數(shù)值回答其實(shí)際意義.29/63【賠償訓(xùn)練】載人飛船是經(jīng)過火箭發(fā)射.已知某型號(hào)火箭起飛重量Mt是箭體(包含搭載飛行器)重量mt和燃料重量xt之和.在不考慮空氣阻力條件下,假設(shè)火箭最大速度ykm/s關(guān)于x函數(shù)關(guān)系為y=k[ln(m+x)-ln(m)]+4ln2(其中k≠0,lnx是以e為底x對數(shù)).當(dāng)燃料重量為(-1)mt時(shí),該火箭最大速度為4km/s.30/63(1)求此型號(hào)火箭最大速度ykm/s與燃料重量xt之間函數(shù)解析式.(2)若此型號(hào)火箭起飛重量是479.8t,則應(yīng)裝載多少噸燃料(準(zhǔn)確到0.1t,取e=2.718)才能使火箭最大飛行速度到達(dá)8km/s,順利地把飛船發(fā)送到預(yù)定橢圓軌道?31/63【解析】(1)由題意,得4=k{ln[m+(-1)m]-ln(m)}+4ln2,解得k=8,所以y=8[ln(m+x)-ln(m)]+4ln2=8ln32/63(2)由已知,得M=m+x=479.8,則m=479.8-x.將y=8代入(1)中所得式中,得8=8ln解得x≈303.3.答:應(yīng)裝載303.3t燃料,才能使火箭最大飛行速度到達(dá)8km/s,順利地把飛船送到預(yù)定橢圓軌道.33/63類型三擬合型函數(shù)模型應(yīng)用【典例3】(·重慶高一檢測)某學(xué)習(xí)小組在暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中,經(jīng)過對某商場一個(gè)品牌服裝銷售情況調(diào)查發(fā)覺:該服裝在過去一個(gè)月內(nèi)(以30天計(jì))每件銷售價(jià)格P(x)(百元)與時(shí)間x(天)函數(shù)關(guān)系近似滿足P(x)=1+(k為正常數(shù)),日銷售量Q(x)(件)與時(shí)間x(天)部分?jǐn)?shù)據(jù)以下表所表示:34/63已知第10天日銷售收入為121(百元).x(天)10202530Q(x)(件)11012012512035/63(1)求k值.(2)給出以下四種函數(shù)模型:①Q(mào)(x)=ax+b,②Q(x)=a|x-25|+b,③Q(x)=a·bx,④Q(x)=a·logbx.36/63請你依據(jù)表中數(shù)據(jù),從中選擇你認(rèn)為最適當(dāng)一個(gè)函數(shù)來描述日銷售量Q(x)(件)與時(shí)間x(天)改變關(guān)系,并求出該函數(shù)解析式.(3)求該服裝日銷售收入f(x)(百元)最小值.37/63【解題指南】(1)依據(jù)題中條件求k值.(2)選擇一個(gè)函數(shù)模型,依據(jù)待定系數(shù)法求其解析式.(3)借助(2)中函數(shù)解析式求其最值.38/63【解析】(1)依題意知第10天日銷售收入為P(10)·Q(10)=×110=121,解得k=1.(2)由表中數(shù)據(jù)知,當(dāng)初間改變時(shí),日銷售量有增有減并不單調(diào),故只能選②Q(x)=a|x-25|+b.從表中任意取兩組值代入可求得Q(x)=125-|x-25|(1≤x≤30,x∈N*).39/63(3)由(2)知Q(x)=125-|x-25|=所以f(x)=P(x)·Q(x)=40/63當(dāng)1≤x<25時(shí),y=x+在[1,10]上是減函數(shù),在[10,25)上是增函數(shù),所以當(dāng)x=10時(shí),f(x)取得最小值,f(x)min=121;41/63當(dāng)25≤x≤30時(shí),y=-x為減函數(shù),所以當(dāng)x=30時(shí),f(x)取得最小值f(x)min=124.總而言之,當(dāng)x=10時(shí),f(x)取得最小值f(x)min=121.所以該服裝日銷售收入最小值為121百元.42/63【方法總結(jié)】數(shù)據(jù)擬合問題三種求解策略(1)直接法:若由題中條件能顯著確定需要用數(shù)學(xué)模型,或題中直接給出了需要用數(shù)學(xué)模型,則可直接代入表中數(shù)據(jù),問題即可獲解.(2)列式比較法:若題所包括是最優(yōu)化方案問題,則可依據(jù)表格中數(shù)據(jù)先列式,然后進(jìn)行比較.43/63(3)描點(diǎn)觀察法:若依據(jù)題設(shè)條件不能直接確定需要用哪種數(shù)學(xué)模型,則可依據(jù)表中數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行描點(diǎn),作出散點(diǎn)圖,然后觀察這些點(diǎn)位置改變情況,確定所需要用數(shù)學(xué)模型,問題即可順利處理.44/63【拓展延伸】數(shù)據(jù)擬合過程中假設(shè)作用普通情況下數(shù)學(xué)建模,是離不開假設(shè),假設(shè)作用主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:45/63(1)深入明確模型中需要考慮原因和它們在問題中作用,通常初步接觸一個(gè)問題,會(huì)以為圍繞它原因非常多,經(jīng)仔細(xì)分析篩選,發(fā)覺有原因并無實(shí)質(zhì)聯(lián)絡(luò),有原因是無關(guān)緊要,排除這些原因,問題則越發(fā)清楚明朗,在假設(shè)時(shí)對這些原因就不需考慮.46/63(2)降低解題難度,經(jīng)過適當(dāng)假設(shè)就都能夠有能力建立數(shù)學(xué)模型,而且得到對應(yīng)解.(3)普通情況下,是先在最簡單情形下組建模型,然后經(jīng)過不停地調(diào)整假設(shè)使模型盡可能地靠近實(shí)際,從而得到更滿意解.47/63【賠償訓(xùn)練】1.北京某企業(yè)常年生產(chǎn)一個(gè)出口產(chǎn)品,依據(jù)需求預(yù)測:自從舉行奧運(yùn)會(huì)以來,前8年在正常情況下,該產(chǎn)品產(chǎn)量將平穩(wěn)增加.已知年為第一年,前4年年產(chǎn)量f(x)(萬件)以下表所表示:x1234f(x)4.005.587.008.4448/63(1)畫出～年該企業(yè)年產(chǎn)量散點(diǎn)圖.(2)建立一個(gè)能基本反應(yīng)(誤差小于0.1)這一時(shí)期該企業(yè)年產(chǎn)量改變函數(shù)模型,并求之.(3)年(即x=8)因受到某國對我國該產(chǎn)品反傾銷影響,年產(chǎn)量應(yīng)降低30%,試依據(jù)所建立函數(shù)模型,確定年年產(chǎn)量為多少?49/63【解析】(1)如圖所表示.50/63(2)由散點(diǎn)圖知,可選取一次函數(shù)模型.設(shè)f(x)=ax+b,由已知得解得a=1.5,b=2.5,所以f(x)=1.5x+2.5.檢驗(yàn):f(2)=5.5,|5.58-5.5|=0.08<0.1;f(4)=8.5,|8.44-8.5|=0.06<0.1,所以一次函數(shù)模型f(x)=1.5x+2.5能基本反應(yīng)年產(chǎn)量改變.51/63(3)f(8)=(1.5×8+2.5)×(1-30%)=10.15,年年產(chǎn)量應(yīng)為10.15萬件.52/632.某個(gè)體經(jīng)營者把開始六個(gè)月試銷A,B兩種商品逐月投資與所獲純利潤列成下表:投資A種商品金額(萬元)123456獲純利潤(萬元)0.651.391.8521.841.40投資B種商品金額(萬元)123456獲純利潤(萬元)0.250.490.7611.261.5153/63該經(jīng)營者準(zhǔn)備下月投入12萬元經(jīng)營這兩種商品,但不知投入A,B兩種商品各多少萬元才合算.請你幫助制訂一個(gè)資金投入方案,使得該經(jīng)營者能取得最大利潤,并按你方案求出該經(jīng)營者下月可取得最大純利潤(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字).54/63【解題指南】制訂投資方案時(shí),首先應(yīng)確定好兩種商品投資金額與純利潤之間函數(shù)關(guān)系,而題目未明確給出其滿足函數(shù)關(guān)系,僅僅給定了兩個(gè)表格說明二者之間數(shù)量關(guān)系,極難看出其滿足函數(shù)模型,所以可畫出對應(yīng)散點(diǎn)圖,依據(jù)散點(diǎn)圖特征找到其滿足函數(shù)關(guān)系.55/63【解析】以投資額為橫坐標(biāo),純利潤為縱坐標(biāo),在平面直角坐標(biāo)系中畫出散點(diǎn)圖,如圖所表示.56/63觀察散點(diǎn)圖能夠看出,A種商品