《線性代數(shù)》總復習.121/23

第二章第四節(jié)分塊矩陣第四章第五節(jié)向量空間第五章后幾節(jié)二次型部分此次期末考試不考內(nèi)容2/23齊次線性方程組有非零解充分條件化三角法遞推法數(shù)學歸納法降階展開法拆項法

…行列式概念性質(zhì)展開式計算應用3/23行列式1、二階三階行列式計算4/232、n階行列式計算性質(zhì)1行列式與它轉(zhuǎn)置行列式相等.性質(zhì)2交換行列式兩行（列）,行列式變號.性質(zhì)3行列式某一行（列）中全部元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式.性質(zhì)４行列式中假如有兩行（列）元素成百分比，則此行列式為零．(1)利用行列式性質(zhì)計算（化為三角形）5/23性質(zhì)5若行列式某一列（行）元素都是兩數(shù)之和.性質(zhì)６把行列式某一列（行）各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應元素上去，行列式不變．(2)利用行列式展開計算定理行列式等于它任一行（列）各元素與其對應代數(shù)余子式乘積之和，即6/23m×n個數(shù)組成m行n列數(shù)表加法：A+B=(aij+bij),A、B是同型矩陣

A+B=B+A,(A+B)+C=A+(B+C),A+O=A,A+(

A)=O,數(shù)乘：kA=k(aij)k(lA)=(kl)A,

(k+l)A=kA+lA,k(A+B)=kA+kBcij=

aikbkj.k=1s矩陣乘法：AB=C，其中C是m×n矩陣.(AB)C=A(BC),A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC,(kA)B=k(AB).矩陣矩陣概念矩陣運算伴隨矩陣逆矩陣特殊矩陣矩陣秩初等變換7/23轉(zhuǎn)置：A=(aij),AT=(aji)方陣行列式：(AT)T=A,(kA)T=kAT,(A+B)T=AT+BT,(AB)T=BTAT.設A=[aij]n

n為方陣,元素aij代數(shù)余子式為Aij,則稱以下矩陣為方陣A伴隨矩陣.矩陣矩陣概念矩陣運算伴隨矩陣逆矩陣特殊矩陣矩陣秩初等變換8/23定義:

設A為方陣,若存在方陣B,使得

AB=BA=E.

則稱A可逆,并稱B為A逆矩陣.

注意：A可逆

detA≠0(A1)1=A.

(AT)1=(A1)T.

(kA)1=k1A1.

(AB)1=B1A1.

運算性質(zhì)逆陣求法:定義法用伴隨矩陣用初等行變換(A

E)→(E

A-1)逆陣證法:

A

≠0，R(A)=n,反證法矩陣矩陣概念矩陣運算伴隨矩陣逆矩陣特殊矩陣矩陣秩初等變換9/23單位矩陣對角矩陣初等矩陣對稱矩陣定義：非0子式最高階數(shù)求法：初等變換或定義法性質(zhì)：經(jīng)初等變換矩陣秩不變幾個慣用初等變換行階梯矩陣、行最簡型、標準型矩陣矩陣概念矩陣運算伴隨矩陣逆矩陣特殊矩陣矩陣秩初等變換10/23線性方程組Ax=bb=0?齊次方程組是否非齊次方程組行階梯形矩陣初等行變換R(A)

nR(A)＝R(Ab)解結(jié)構基礎解系有沒有非零解有解判定線性方程組11/231.解判定

(1)齊次線性方程組有非零解充要條件定理3.1.

Am

nx=0有非零解

r(A)<n.

A列向量組

1,

2,…,

n

線性相關特殊,An

nx=0有非零解|A|=0.

12/23(2)非齊次線性方程組有解充要條件定理3.4.設ARm

n,bRm,則

(3)當秩([A,b])=秩(A)<n時,Ax=b有沒有窮解,且通解中含有n

秩(A)

個自由未知量.(1)Ax=b有解(2)當秩([A,b])=秩(A)=n時,Ax=b有唯一解;秩([A,b])=秩(A);2.解結(jié)構

(1)齊次線性方程組基礎解系及通解若

1,

2,…,

s是Ax

=0一個基礎解系,則應該滿足三條:13/23

(2)非齊次線性方程組解結(jié)構及普通解。(a)

1,

2,…,

s是Ax

=0解向量;

(b)

1,

2,…,

s是線性無關；

(c)Ax=0每個解都能夠由

1,

2,…,

s線性表示。Ax=b普通解為

x=

+k1

1

+…+kn

r

n

r

.

14/23n維向量運算線性表示線性相關性k1

1+k2

2+…+kn

n=0

ki均為0，則

1,

2,…,

n線性無關

只要有一個ki不為0，

1,

2,…,

n

線性相關

極大線性無關組：向量組A中，能找到r個向量線性無關，任意r+1個線性相關，則這r個向量組成向量組是A一個最大線性無關組。求法：非零子式法、初等變換法極大無關組包含向量個數(shù)極大無關組向量組秩15/23向量組與矩陣關系矩陣A=(

1,

2,…,

s)

列向量組:

1,

2,…,

s

注：行向量問題與列向量相同矩陣A秩R(A)向量組秩RT

最高階非零子式最大線性無關組

16/23線性無關

A

E

A=P1…Ps

線性相關17/23定義：向量內(nèi)積

對稱性:

[

,

]=[

,

];(2)線性性:

[k1

1+k2

2,

]=k1[

1,

]+k2[

2,

];(3)[

,

]0;且[

,

]=0

=0.(4)|[

,

]|[

,

][

,

].性質(zhì)：正交：施密特(Schmidt)正交化方法若[

,

]=0,則稱

與

正交.正交矩陣A為正交矩陣ATA=E

18/23(

E–A)

=0基礎解系法方陣特征值和特征向量特征值與特征向量A

=

，

≠0定義求法性質(zhì)相同矩陣實對稱陣特征值特征向量定義法特征方程|

E–A|=0定義法

1+…+

n=tr(A).

1…

n=|A|.A

可逆

1,…,

n全不為零.|

E–A|=|

E–AT|.19/23概念求法性質(zhì)相同矩陣實對稱陣特征值與特征向量矩陣相同，則其特征值相同。不一樣特征值特征向量線性無關。A有n個線性無關特征向量P-1AP=BA有n個不一樣特征值A是實對稱陣

定義矩陣可對角化條件應用An=P-1

nP第四章方陣特征值和特征向量20/23概念求法性質(zhì)相同矩陣實對稱陣特征特征值與特征向量必可相同對角化不一樣特征值特征向量相互正交特征值全是實數(shù)k重特征值必有k個線性無關特征向量與對角陣協(xié)議第四章方陣特征值和特征向量21/23矩陣等價、相同、協(xié)議聯(lián)絡與區(qū)分

A,B∈Mn,

A與B相同

存在可逆矩陣P，使P-1AP=BA與B協(xié)議

存在可逆矩陣C，使CTAC=B

A,B∈Mm×n,

A與B等價

存在m階可逆矩陣P，n階可逆矩陣Q，使PAQ=B第四章方陣特征值和特征向量22/23實對稱陣對角化步驟求A全部特征值依據(jù)（全部特征值重根次數(shù)之和等于n）對每個ki重特征值

i求方程(A-

iE)x=0基礎解系得出對應于特征值

ik