【新教材】3.Io2函數(shù)的表示法（人教A版）

教材分析

課本從引進(jìn)法教概念開(kāi)始就比較注重法教的不同表示方法:

解析法，圖象法，列表法.舀教的不同表示方法能豐富對(duì)函教的

認(rèn)識(shí)，郝助理解抽象的法教概念.特別是在信息技術(shù)環(huán)境下，可

以使函數(shù)在形與教兩方面的結(jié)合得到更充分的表現(xiàn)，使學(xué)生通

過(guò)函教的學(xué)習(xí)更好地體會(huì)教形結(jié)合這種重要的教學(xué)思想方

法,因此，在研究函教時(shí)，要充分發(fā)揮圖象的直觀作用.左研

究圖象時(shí)，又要注意代教刻畫(huà)以求思考和表述的精確性.課本

將映射作為舀教的一種推廣，這與傳統(tǒng)的處理方式有了近轉(zhuǎn)順序

上的變化.這樣處理,主要是想較好地銜接初中的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生

將更多的精力集中理解法教的概念，同時(shí)，也體現(xiàn)了從特殊到

一般的思維過(guò)程.

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

課程目標(biāo)

1、明確舀教的三種表示方法；

2、族實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞?/p>

教；

3、通過(guò)具體實(shí)例，了解簡(jiǎn)單的分段法教，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用。

教學(xué)學(xué)科素恭

1.教學(xué)抽象：函數(shù)解析法及能由條件求出解析式；

2.邏輯推理：由條件求函數(shù)解析式；

3o教學(xué)運(yùn)算：由函教解析式求值及法教解析式的計(jì)算;

4o數(shù)據(jù)分析:利用圖像表示舀教；

5o教學(xué)建模:由實(shí)際問(wèn)題構(gòu)建合理的法教模型。

教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：舀教的三種表示方法，分段函教的概念.

難點(diǎn)：根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞?，什么才算“?/p>

當(dāng)”?分段函數(shù)的表示及其圖象.

課前準(zhǔn)備

教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，泉用誘思探究式教學(xué)，精講多練。

教學(xué)工具：多媒體。

教學(xué)過(guò)程

、情景導(dǎo)入

初中已經(jīng)學(xué)過(guò)函教的三種表示法：列表法、圖像法、解析

法，那么這三種表示法定義是？?jī)?yōu)缺點(diǎn)是？

要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步

觀察.研探.

二、預(yù)習(xí)課本，引入新課

閱讀課本67-68頁(yè)，思考并完成以下問(wèn)題

1.表示兩個(gè)變量之間函教關(guān)系的方法有幾種？分別是什么？

2o法教的各種表示法各有什么特點(diǎn)？

3.什么是分段法教？分段舀教是一個(gè)還是幾個(gè)的教？

4.怎樣求分段舀教的值？如何畫(huà)分段舀教的圖象？

要求:學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單住，組內(nèi)可商量，最終選出代

表回答問(wèn)題。

三、新知探究

1,法教的表示法

列表法圖像法解析法

用表格的形式杷用圖像杷兩個(gè)~個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)

定兩個(gè)變量間的函變量間的法教關(guān)系可以用自變

義教關(guān)系表示出來(lái)關(guān)系表示出來(lái)量的解析式表示

的方法的方法出來(lái)的方法

不必通過(guò)計(jì)算就可以一.直觀地表能叫便利地通過(guò)

能知道兩個(gè)變量示困數(shù)的局部討算等手段研究

優(yōu)

之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，變化規(guī)律，進(jìn)而函教性質(zhì)

點(diǎn)

比較直觀可以預(yù)測(cè)它的

整體趨勢(shì)

只能表示有F艮個(gè)有些函數(shù)的圖一些實(shí)際問(wèn)題唯

缺

元素的函數(shù)關(guān)系像難以精確作以找到它的解析

點(diǎn)

出式

2.分段函教

(U分段函教就是在函教定義域內(nèi)，對(duì)于自變量x的不同取

值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系的法教.

(2)分段函數(shù)是一個(gè)法教，其定義域、值域分別是各段法

教的定義域、值域的并集;各段函教的靈義域的交集是空集.

「點(diǎn)睛7(1)分段函數(shù)雖然由幾部分構(gòu)成，但它仍是一個(gè)

函數(shù)而不是幾個(gè)函教.

(2)分段函教的“段”可以是等長(zhǎng)的，也可以是不等長(zhǎng)的.如

y二錯(cuò)誤!其“段”是不等長(zhǎng)的.

叩、典例分析、舉一反三

題型一函數(shù)的定義

例1票種邕記本的單價(jià)是5元，買(mǎi)x(x￡{l,2,3,4,51)個(gè)

邕記本需要y元.試用三種表示法表示法教產(chǎn)f(x).

【答嗓】見(jiàn)解析

【解析】這個(gè)函教的定義域是教集fl,2,3,4,5}o

用解析法可將函數(shù)y=f(xj表示為y=5x,x€fl,2,3,4,5)

用列表法可將函教y=fCxJ表示為

筆記本數(shù)Z12345

錢(qián)數(shù)y510152025

用圖像法可將舀教y=f(x)表示為

25-

20-

15-

10■

5-

I■■J

345x

解題技巧：r表示法數(shù)的注意事項(xiàng))

Io函教圖象既可以是連續(xù)的曲線(xiàn)，也可以是直線(xiàn)、折線(xiàn)、離散

的點(diǎn)等等，注意到新一個(gè)圖形是否是法教圖象的依據(jù)；

2o解析法：必須注明函教的定義域；

3o圖象法：是否連線(xiàn)；

4.列表法:選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征.

跟蹤訓(xùn)練一

1.已知法教f(x),g(x)分別由下表給出.

X123

fCxJ211

X123

g(x)321

則-------------------f(g(D)的值為;當(dāng)g(fCx))

=2時(shí)，x=o

【答案】11

【解析】由于法教關(guān)系是用表格形式給出的，知g(1)=3,/.

f(gC1)J=f(3)=1.由于g(2)=2,.-.f(x)=2,.-.x=l.

題型二分段函數(shù)求值

|x-1|-2,|x|Wl,

例2已知法l+x2,M>L教f(x)=

ri)求f(〃x))的值；

(2)若f(x)-，求x的值

【答案】(U錯(cuò)誤！(2)土錯(cuò)誤！

【解析】CU因?yàn)閒錯(cuò)誤！二錯(cuò)誤！一2二一錯(cuò)誤!，

所以f錯(cuò)誤！=f錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！o

(2)f(xJ—錯(cuò)誤!，若1X區(qū)1,貝J|x—1|—2—錯(cuò)誤!"子X(jué)—錯(cuò)誤!或jX——錯(cuò)誤!.

因?yàn)镮XI<1,所以X的值不存在；

若|xI>1,貝;1錯(cuò)誤！二錯(cuò)誤!，得X=±錯(cuò)誤!，符合|x|>l。

所以若f(x)=錯(cuò)誤!，X的值為土錯(cuò)誤!。

解題技巧：(分段法教求值問(wèn)題)

1.求分段函教的函教值的方法

(1)確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間.

(2)代入該段的解析式求值，直到求出值為止。當(dāng)出現(xiàn)小。))的

形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

2o求禁條件下自變量的值的方法先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定

義區(qū)間的各段上，然后相應(yīng)求出自變量的值，切記代人檢驗(yàn)。

跟蹤洌練二

X2+2,XW2,

函數(shù)形尸3…>2.若.)=&則x產(chǎn)

1.

【答嗓】-錯(cuò)誤!或1。

【解析】解析：當(dāng)xoS2時(shí)，f(xo)=x錯(cuò)誤！+2=8,即x錯(cuò)誤！=6,

/.X0=一錯(cuò)誤！或X0二錯(cuò)誤!(舍去)；

當(dāng)Xo>2時(shí)，f(Xo)=錯(cuò)誤!Xo,/.Xo=10.

綜上可知，xo=—y]6或xo=10.

題型三求函數(shù)斛析式

例3(1)已次口ffx+l)=x-3x+2,求f(x);

(2J已知f(x)是二次法教，且滿(mǎn)足f(0)=l,f(x+l)—f(x)=2x,

求fCxJ的解析式；

(3)已知法教f(x)對(duì)于任意的x都有fCx)+2f(―x)=3x—2,求

fCxJ.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】(1)(方法一)令x+l=t,則x=t-l.

將x=t-l代-f(x+lJ=%2—3x+2,

2z

得f⑴=(t-1)2—3ft-1J+2=t—5t+6,/.f(xj=x-5x+6.

(方法二),.,f(x+l)=/-3X+2=/+2X+1-5X——5+6=(%+1)2——5(x+lJ+6,

.\f(xj=%2-5X+6.

(2J設(shè)所求的二次函數(shù)為f(xj=a%2+bx+c(a#0Jo

,.,f(O)=l,/.c=l,則ffxj=a%2+bx+l.

,.*f(x+1J-f(x)=2x對(duì)任意的x2R都成立,

22

.\a(x+i)+b(x+l)+l—(a%+bx+l)=2x,

即由恒等式的性質(zhì)，得(雷彳

2ax+a+b=2x,Id?U—U,

,2

??所求二次函數(shù)為f(xj=x-x+lo

ID—L

(3)?.?對(duì)于任意的x都有f(x)+2fC—x)=3x—2,

...將x替換為一x,得ff-xj+2ffxj=-3x-2,聯(lián)立方程組消去

f(—x),可得fCxJ=-3x—|o

解題技巧：(求函教解析式的四種常用方法)

1.直接法(代人法)：已知f(x)的解析式，求f(g(x刀的解析式，

直接將g(x)代入即可.

2o待定系教法：若已知函數(shù)的類(lèi)型，可用待定系教法求解，即

由法數(shù)類(lèi)型設(shè)出法教解析入，再根據(jù)條件列方程r或方程組),

通過(guò)解方程r組)求出待定系數(shù)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式。

3.換元法(有時(shí)可用"配虞法”)：已知函教f(g(x))的解析式求

f(xj的解析式可用換元法(或"配泰法”)，即令gCx)=t,反解

出X,然后代八f(g(x))中求出f(t),從而求出f(x).

4.解方程組法或消元法：在已知太子中，含有關(guān)于兩個(gè)不同變量

的函數(shù)，而這兩個(gè)變量有著某種關(guān)系，這時(shí)就要依據(jù)兩個(gè)變量

的關(guān)系，建立~個(gè)新的關(guān)于兩個(gè)變量的灰子，由兩個(gè)灰子建立方

程組，通過(guò)解方程組消去一個(gè)變量，得到目標(biāo)變量的解析式，這

種方法叫做解方程組法或消元法.

跟蹤訓(xùn)練三

1.已知f(x)是一次函數(shù)，且f(fCx)J=2x-l,求f(x)的解析式；

2.已知f(v^+1J=x+2次，求f(x)的解析式；

3.設(shè)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x)+2f(：產(chǎn)xCx#OJ,求f(x).

【答案】見(jiàn)解析

【解析】CUVf(x)為一次改教,...可設(shè)f(xj=ax+b(a#0).

2

,「f(f(xjJ=f(ax+bj=a(ax+bj+b=ax+ab+b=2x-l.

解得卜="或卜=一凡

lab+b=-1,11b=1-V2(b=1+V2.

故f(x)=V2X+1—^或f(x)二-V2X+1+V2o

22

r2)r方法一)f(?+D=(?)+2?+i—I=(1+D-i,其中y+i>i,

2

故所求函數(shù)的解析式為f(x)=x-1,其中X>1.

2

r方法二)令次+i=t,則x=(t—u,且t>i,

22

函教f(五+l)=x+24可化為fftj—ft—1)+2(t—l)=t-1,故所求函

2

教的解析式為f(x)=X-1,其中X>1.

(3)因?yàn)閷?duì)任意的xCR,且xWO都有f(xj+2fR)=x成立，

所以對(duì)于］€R,且m0,有f(|)+2ffx)=|,

兩式組成方程組收+嗚=：；

②X2一。得,f(x)行(I-X).

題型四曲數(shù)的圖像及應(yīng)用

2.定函J^Lf(x)=X+l,g(x)=(x+1)2,XeR

(U在同一直角生標(biāo)系中畫(huà)出法教f(x),g(x)的圖像；

(2)VxeR,用M(x)表示f(x),g(x)中的較大者，記為

M(x)=max{f(x),g(x))o請(qǐng)分別用圖像法和解析法表示函數(shù)M(x).

【答去】loB2.見(jiàn)解析

【解析】lo法一：函教的解析式可化為y二錯(cuò)誤!畫(huà)出此分段函教

的圖象，故選B。

法二：由f(-l)=2,知圖象過(guò)點(diǎn)(一1,2),排除A、C、D,故選B。

2.C1J同一直角坐標(biāo)系中函教慟底)的圖像

(2)結(jié)合M(x)的定義，可得函數(shù)M(x)的圖像

由(X+1)2=X+1,得x(x+1)=0."^得"X=1,或X=0O

由圖易知M(x)的解析式為

_((X+1)2,x<-1

M(x)=Jx+1,-1<x<0

((X+1)2X>0

\0\

-1

-2

解題方法(函數(shù)圖像問(wèn)題處理措施J

(1)若y=f(x)是已學(xué)過(guò)的基本初等函教，則描出圖象上的幾個(gè)

關(guān)鍵點(diǎn)，直接畫(huà)出圖象即可，有些可能需要根據(jù)定義域進(jìn)行取舍.

(2)若廣f(x)不是所學(xué)過(guò)的基本初等法教之一，則要按：①列

表;②描點(diǎn)；③連線(xiàn)三個(gè)基本步驟作出y=fCxJ的圖象。

(3)作分段函數(shù)的圖象時(shí)，分別作出各段的圖象，左作每一段

圖象時(shí)，先不管定義域的F艮制，作出其圖象，再保留定義域內(nèi)的

一段圖象即可，作圖時(shí)要特別注意接點(diǎn)處點(diǎn)的虛實(shí)，保證不重

O

跟蹤洌練8

L已知法教f(X)的圖象如右圖所示，則“X)的解析式是_________

-1O?1x

-1

2,若定義運(yùn)算aOb二錯(cuò)誤!則法教f(x)=x?(2-xj的值域?yàn)?/p>

【答案】l.f（X）二錯(cuò)誤!2。（一如1J

【解析】1.由圖可知，圖象是由兩條線(xiàn)段組成，當(dāng)-ISxvO時(shí),

設(shè)f（x）=ax+b,將（一1,0）,CO,1）代入解析式，貝;1錯(cuò)誤！.?.錯(cuò)誤！

當(dāng)0<x<l時(shí)，設(shè)ffx）=kx,將（1,-1J代八，則k=-l。

2o由題意得f（x）=錯(cuò)誤!后出函數(shù)f（xj的圖象得值域是（-00,

題型五國(guó)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

例5下表是禁校高一C1J班三位同學(xué)在高一學(xué)年度幾次教學(xué)測(cè)

試的成績(jī)及班級(jí)及班級(jí)平均分表：

第一第二第三第8第五第六

次次次次次次

王

9887919288一一95

偉

張

907688758680

城

趙_

686573727582