2.3直線的交點坐標(biāo)與距離公式

2.3.1兩條直線的交點坐標(biāo)

2.3.2兩點間的距離公式

學(xué)習(xí)指導(dǎo)核心素養(yǎng)

1數(shù).學(xué)運算：求交點坐標(biāo)，計算兩點間

1能.用解方程組的方法求兩直線的交點

的距離.

坐標(biāo).

2.邏輯推理、數(shù)學(xué)運算：坐標(biāo)法解決平

2.探索并掌握兩點間的距離公式.

面幾何問題.

（必備知識=落I實

知識點一兩直線的交點坐標(biāo)

（1）直線/i：4%+8少+。=0和直線/2：4忒+歷丁+。2=0的交點的坐標(biāo)是方

(Aix+5iy+Ci=0,

程組lA2x4-B2y+C2=0的解.

(2)兩直線的位置關(guān)系

A\x-\~B\y-\-C\=0,

方程組4s.八的解一組無數(shù)組無解

.Azx+B2y+C2—0

直線八與/2的公共點個數(shù)1無數(shù)0

直線與/2的位置關(guān)系相交重合平行

甌U判斷下列各組直線的位置關(guān)系，如果相交，求出交點的坐標(biāo).

(1)直線/i：5x+4y—2=0,直線82x+y+2=0；

⑵直線/i：2尢-6y+3=0,直線，2：y=gx+g.

'5x+4y—2=0,

【解】（1）解方程組*

2%+y+2=0,

f__W

\x~3，

,14

所以直線/i與/2相交，且交點坐標(biāo)為（一學(xué)，y

2x—6y+3=0,①

(2)解方程組11三

尸產(chǎn)5,②

②義6整理得2x—6y+3=0.

因此，①和②表示同一條直線，八與/2重合，有無數(shù)交點.

圖題技巧---------------------------------

判斷兩條直線相交的三種方法

方法一：聯(lián)立直線方程解方程組，若有一解，則兩直線相交;

方法二：兩直線斜率都存在且斜率不等；

方法三：兩直線的斜率一個存在，另一個不存在.

《跟蹤訓(xùn)練若三條直線2x+3y+8=0,x—y—1=0和%+6=0交于一點,

則k的值為()

A.—2B.一；

C.2D.

/2x+3y+8=0,[x=—1,

解析：選B.依題意，得八解得。

[x-y-lt=0,U=—2,

所以兩直線2x+3y+8=0和x—y—1=0的交點坐標(biāo)為(一1,—2).

因為直線x+Zy=0,2x+3y+8=0和尤一y—1=0交于一點，

所以一1—2攵=0,所以攵=—2.故選B.

知識點二兩點間的距離公式

條件點Pi(xi,yi),尸2(孫yi)

結(jié)論\P]P2\=_N(X2—%1)(V2—yi)2

特例點P(x,y)到原點0(0,0)的距離IOPI=、/f+y2

面點撥-----------------------------------

(1)兩點間的距離與這兩點的先后順序無關(guān)，即上述公式也可寫成『研2|=

7(XI—X2)2+(6-")2.

(2)①當(dāng)P1P2〃X軸3=”)時，|P1P2|=|X2—Xl|.

②當(dāng)PiP2〃y軸(xi=X2)時，|PiP2|=|yi—”|.

◎即時訓(xùn)練

1.已知點A(7,4),B(4,8),則A,8兩點間的距離為()

A.25B.5

C.4D.巾

解析：選B.由兩點間的距離公式得

\AB\=y](4-7)2+(8-4)2=*=5.

2.已知點A(2,m)與點8(機，1)間的距離是行，則實數(shù)機=.

解析：因為|A3|=N(/”—2)2+(1—/")2,所以加2—3/n—4=0,

解得m=—1或m=4.

答案：一1或4

3.已知點A(3,6),在光軸上的點P與點A的距離等于10,則點P的坐標(biāo)

為.

解析：設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,0),由|以|=10,

得yl(x-3)2+(0-6)2-10,解得x=11或x=-5.

所以點尸的坐標(biāo)為(-5,0)或(11,0).

答案：(一5,0)或(11,0)

因題技巧------------------------------

若已知兩點的坐標(biāo)P/加，V),P2(X2,”)，求兩點間的距離，可直接應(yīng)用兩

點間的距離公式|P42|3(X2—,)2+“2—V)2求解.若已知兩點間的距離,

求點的坐標(biāo)，可設(shè)未知數(shù)，逆用兩點間的距離公式列出方程(組)求解.

《關(guān)鍵能力0＞昭夏

考點一兩點間距離公式的應(yīng)用

血12已知：在等腰梯形A3CO中，43〃0C,對角線為AC和8D.求證：\AC\

=\BD\.

【證明】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)A(0,0),B(a,0),C(b,c),

則點D的坐標(biāo)是(a—b,c).

所以|AC|=y(b—O)2+(c—O)2=9+北

|BD|—yl(a—b—a)2+~(c—0)2—-^/?2+c2.

故|AC|=|BD|.

陶題技巧------------------------------

用坐標(biāo)法(解析法)解決幾何問題的基本步驟

第一步：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)的量；

第二步：進行有關(guān)的代數(shù)計算；

第三步：把代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

［注意］建系時讓圖形中盡可能多的點落在坐標(biāo)軸上，這樣便于運算.

<跟蹤訓(xùn)練已知點A(—2,-1),B(—4,-3),C(0,-5),求證：AABC

是等腰三角形.

證明：因為|A8|="(-4+2)2+(—3+1)2:2/，

\AC\=yj(0+2)2+(-5+1)2=2小，

\BC\=yl(0+4)2+(-5+3)2=2小,

所以|AC|=|BC|.

又因為點A,B,。不共線，

所以△A3C是等腰三角形.

考點二過定點的直線問題

碼13］求經(jīng)過兩條直線2x—3y—3=0和x+y+2=0的交點且與直線3x+y

-1=0平行的直線/的方程.

2x—3y—3=0,

【解】方法一：由方程組彳

x+y+2=0,

因為直線/和直線3x+y—1=0平行,

所以直線I的斜率k=-3.

所以根據(jù)點斜式有)一(—,)=—3x—(―1),

即所求直線/的方程為15x+5y+16=0.

方法二：設(shè)直線/的方程為(2x—3y—3)+2(x+y+2)=0,即(2+2)龍+”-3?

+22—3=0.因為直線/與直線3x+y-l=0平行，所以2+2—3(2—3)=0,解得

所以直線I的方程為(2+與x+(g-3)y+2X?—3=0.化簡得15x+5y

+16=0.

■二^箜變(變條件)將本例中的，，平行”改為“垂直”，其他條件不變，

如何求解？

解：設(shè)直線1的方程為(2x—3y—3)+4x+y+2)=0,

即(2+?x+?—3)y+2/l-3=0.

因為/與直線3尤+y-1=0垂直，

3

所以3(2+幻+(4—3)=0,解得2=一彳.

所以直線/的方程為(2—土)》+(一(-3)y+2X(—1)-3=0,即5x-\5y

-18=0.

國思感悟------------------------------

過兩條直線交點的直線的方程的求法

(1)常規(guī)解法(方程組法)：一般是先解方程組求出交點坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件

寫出直線方程.

(2)特殊解法(直線系法)：先設(shè)出過兩直線交點的直線方程，再結(jié)合條件利用

待定系數(shù)法求出參數(shù)，最后確定直線方程.

過兩條已知直線Aix+B\y+Ci=0,A2x+32y+C2=0交點的直線系方程為

Aix+8iy+C+"AM+82y+C2)=0(不包括直線A以+B2y+C2=0).

《跟蹤訓(xùn)練求證：不論見為何實數(shù)，直線(2+2)%一(丸一l)y=-64—3都

恒過一定點.

證明：方法一：(特殊值法)取2=0,得到直線/i：2x+y+3=0,

取2=1,得到直線，2：x=-3,

故/i與一的交點為尸(-3,3).

將點P(—3,3)代入方程左邊，

得?+2)義(-3)—(/1-1)義3=—62—3(右邊)，

所以點(-3,3)在直線(A+2)x—(2—l)y=-62—3上.

所以直線q+2)x—(2—1?=—62—3恒過定點(一3,3).

方法二：(分離參數(shù)法)由(2+2)氏一(4—1?=—62—3,整理得(2x+y+3)+/ia

—y+6)=0.則直線(2+2)x—(A—1)),=—6x—3通過直線2x+y+3=0與x—y+6

=0的交點.

2x+y+3=0,

由方程組1_y+6=。，得

)=3.

所以直線?+2比一“一1?=—64—3恒過定點(-3,3).

課堂鞏固一自測

1.直線x+y—3=0與直線x—>+1=0的交點坐標(biāo)是()

A.(2,2)B.(-2,2)

C.(-1,3)D.(1,2)

x+y=3,x=1,

解析：選D.根據(jù)題意聯(lián)立得方程組，解得彳所以這兩條

x-y=-i,〔尸2,

直線的交點坐標(biāo)為(1,2).故選D.

2.若直線ax+y—4=0與直線x—y—2=0的交點位于x軸上，則實數(shù)a的

取值是()

A.-1B.1

C.12D.2

解析：選D.方法一：因為直線ax+y—4=0與直線x—y—2=0相交，所以

f6

ax+y—4=0,x=布，

4W解得4-2?即兩直線的交點坐標(biāo)為

x—y—2=0,

尸

64—2。）4—2a

],,+].由題意，可得q+]=。，解得a=2.

方法二：直線九一丁-2=0與x軸的交點為(2,0).又兩直線的交點位于x軸

上，則點(2,0)在直線ax+y—4=0上，即2。一4=0,得。=2.

3.(多選)直線尤+>—1=0上與點P(—2,3)的距離等于6的點的坐標(biāo)是

()

A.(-4,5)B.(-3,4)

C.(-1,2)D.(0,1)

解析：選BC.設(shè)所求點的坐標(biāo)為Qo,yo),有xo+yo-1=0,

且7(xo+2)2+(yo—3)2=y[2,

xo=_3,xo=—1,

或彳故選BC.

1yo=41yo=2.

4.已知△ABC的三個頂點的坐標(biāo)是A(—3,1),8(3,—3),C(l,7).

⑴判斷△ABC的形狀；

(2)求△ABC的面積.

解：(1)因為|AB|=7(3+3)2+(-3-1)2=2713,

|AQ=N(1+3)2+(7—1)2=2^13,

又出C|=yl(1-3)2+(7+3)2=2回,

所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,且八明=|Aq,

所以△ABC是等腰直角三角形.

的面積&ABC=T\AC\-\AB\

=gX2V13X2V?3=26.

課后達標(biāo)一檢[測

[A基礎(chǔ)達標(biāo)]

1.已知M(2,1),N(~T,5),則|MN|等于()

A.5B.病

C.V13D.4

解析：選A.|M7V|=yj[2-(-1)]2+(1-5)2=5,故選A.

2.過兩直線/i：x—3y+4=0和/2：2x+y+5=0的交點和原點的直線方程

是()

A.19x-9y=0B.9x+19y=0

C.19x-3j=0D.3x+19y=0

九-3y+4=0,

解析：選D.由方程組1

2x+y+5=0,

解得

3

所以兩直線的交點為（一亍引

3

所以所求直線的斜率為一1^-—°

19

~~~0

3

所以所求直線的方程為y=—西X,

即3x+19y=0.

3.以點A(—3,0),8(3,-2),C(-l,2)為頂點的三角形是()

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.以上都不是

解析：選C.因為|AB|=7(—3—3)2+22

=、36+4=^40=2y[10,

iBCI=7(—1—3)2+(2+2)2

='16+16=^/32

=46,

\AQ=yl(-1+3)2+22=78=272,

所以|AC|2+|BC|2=HBF,

所以△ABC為直角三角形.故選C.

4.已知直線/i：x+2y+1=0與直線，2：4x+ay—2=0垂直，則人與/2的交

點坐標(biāo)是()

A.由一|)B.(-1,一§

解析：選A.因為直線/i:x+2y+1=0與直線b:4x+〃y—2=0垂直，所以

1X4+2“=。，解得。=一2,

直線h的方程為4x—2y—2=0.

x+2y+1=0,

由彳

4x—2y—2=0,

解得<故交點坐標(biāo)為七，一|).

3

尸一彳

5.若直線3x+2y—2〃z—1=0與直線2x+4y—加=0的交點在第四象限，則

實數(shù)〃?的取值范圍是()

A.(—8,—2)B.(—2,+°0)

C.1-8,一|)D.[-1,+8)

3x+2y—2m—1=0,

解析：選D.聯(lián)立兩直線的方程得占+仃.…，解得

3m+23m+2

-

x=4，2

因為交點在第四象限，所以《解得m>~-.故選

—m—2—m—2。

y=~8~Q<0，

D.

6.(多選)直線小2x—y=0與，2：x+y—3=0交于點P,則下列結(jié)論正確的

是()

A.尸到原點的距離為小

B.過P點且與/2垂直的直線的方程是x—y—1=0

C.直線5x+2y—9=0經(jīng)過點P

D.過原點。且與直線OP垂直的直線的方程是x—2y=0

2x—y=°,x—1,

解析：選AC.解方程組《."'得｛'所以尸(1,2),則|OP|=小，

x+y—3=01y=2,

選項A正確；過P點且與，2垂直的直線的方程是y—2=lX(x—l),即x—y+l

=0,選項B錯誤；將尸(1,2)的坐標(biāo)代入5x+2y-9=0,成立，選項C正確；

過原點。且與直線OP垂直的直線的方程是y=-；x,即x+2y=0,選項D錯

誤.故選AC.

7.已知點M(x,—4)與點M2，3)間的距離為八R,則％=.

解析：由|MN|=7啦，

得TMM=\。-2)2+(—4-3)2=7啦,

即X2—4x-45=0,

解得xi=9或X2=—5.

故所求x的值為9或-5.

答案：9或一5

8.已知直線Ax+3y+C=0與直線2x—3y+4=0的交點在y軸上，則。的

值為.

解析：因為兩直線的交點在y軸上，且直線2x—3y+4=0與y軸的交點是

(0,?,所以點(0,§在直線Ax+3y+C=0上.則AX0+3x1+C=0,解

得C=-4.

答案：一4

9.已知A,8兩點都在直線y=2x—l上，且A,8兩點的橫坐標(biāo)之差的絕

對值為近，則A,8兩點間的距離為.

解析：設(shè)點A(a,2a—1),點仇仇2b-1),

因為I。一。|=啦,所以|A8|=

yj(a—b)2+[(2a—1)—(2b—I)]2

=小\a—b\=\[iO.

答案：VTo

10.分別判斷下列各對直線的位置關(guān)系，若相交，求出它們的交點.

2x~y=J和83x+2y—7=0；

(2)/i：2x—6y+4=0和4x—12y+8=0.

[2x—y—7=0,x=3,

解：(1)方程組■的解為，

[3x+2y—7=0[y=-1.

因此直線人和，2相交，交點坐標(biāo)為(3,—1).

2元-6y+4=0,

⑵方程組。_c八有無數(shù)個解，直線/I和/2重合.

4x—12y+8=0

[B能力提升]

11.已知1(5,2a-1),13+1,61-4),當(dāng)|AB|取最小值時，實數(shù)a的值是()

71

A.B.-2

解析：選C.因為A(5,2a-l),8(a+l,a—4),

所以|AB|=7[(a+1)—5產(chǎn)+[(a—4)一(2a-l)F

=7(a—4)2+(a+3)1=yj2a2—2a+252,—?+粵,

所以當(dāng)a=T時，|A8|取得最小值.

12.光線從點A(—3,5)射到x軸上，經(jīng)反射以后經(jīng)過點8(2,10),則光線

從A到3經(jīng)過的路程為()

A.5^2B.2小

C.5①D.l(h/5

解析：選C?點4(-3,5)關(guān)于x軸的對稱點為4(—3,-5),則光線從A到

B經(jīng)過的路程為A'B的長度，\A'B\(-3-2)2+(-5-10)2=5?.故

選c.

13.方程(4一1)%一廠1~20+1=0362所表示的直線()

A.恒過定點(一2,3)

B.恒過定點(2,3)

C.恒過點(一2,3)和點(2,3)

D.都是平行直線

解析：選A.(〃-l)x—y+2〃+l=0可化為一x—y+1+a(x+2)=0,

-x-y+l=O,\x=-2,

由<得〈

[冗+2=0,[y=3.

3

14.已知直線/i的方程為x+2y—4=0,/2在x軸上的截距為,且

(1)求直線/]與〃的交點坐標(biāo)；

(2)已知直線/3經(jīng)過/1與h的交點，且在y軸上的截距是在％軸上的截距的2

倍，求/3的方程.

解：(1)設(shè)/2的方程為2x—>+m=0,

,,3

因為/2在光軸上的截距為],

3

所以2X$—0+機=0,解得m=-3,

即b: