[高考]2012年高中新課標理科數(shù)學所有知識點總結高中數(shù)學必修1知識點第一章集合與函數(shù)概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含義與表示(1)集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.(2)常用數(shù)集及其記法NQ表示自然數(shù)集，或表示正整數(shù)集，表示整數(shù)集，表示有理數(shù)集，表示實數(shù)集.,ZRNN，3)集合與元素間的關系(aM,aM,對象與集合的關系是，或者，兩者必居其一.aM4)集合的表示法(?自然語言法:用文字敘述的形式來描述集合.?列舉法:把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合.?描述法:{|具有的性質(zhì)}，其中為集合的代表元素.xxx?圖示法:用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.(5)集合的分類?含有有限個元素的集合叫做有限集.?含有無限個元素的集合叫做無限集.?不含有任何元素的集合叫做空集().,【1.1.2】集合間的基本關系(6)子集、真子集、集合相等名稱記號意義性質(zhì)示意圖(1)AA,A,B,,A(或A中的任一元素都屬(2)A(B)子集BAA,BBC,AC,于B(3)若且，則B,A)或A,BBA,(4)若且，則AB,,,,AAB(A為非空子集)(1),,A,B，且B中至真子集BA少有一元素不屬于A,AB,BC,AC,(或BA)(2)若且，則,,,,A中的任一元素都屬B(1)A,集合A(B)于B，B中的任一元素AB,(2)BA,相等都屬于Annnn221,21,22,nn(1),(7)已知集合有個元素，則它有個子集，它有個真子集，它有個非空子集，它有非A空真子集.【1.1.3】集合的基本運算(8)交集、并集、補集名稱記號意義性質(zhì)示意圖AAA,(1){|,xxA,且ABA,,,(2)交集ABABA,(3)xB,}ABB,1AAA,(1){|,xxA,或ABAA,,(2)并集BAABA,(3)xB,}ABB,21AAU()e,AA()e,,UU{|,}xxUxA,,且痧()()()ABAB,UUUeA補集U痧ABAB,()()()UUU【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法(1)含絕對值的不等式的解法不等式解集||(0)xaa,,{|}xaxa,,,xxa|,,xa,}||(0)xaa,,或axb，||xa,看成一個整體，化成，把||,||(0)axbcaxbcc，,，,,||(0)xaa,,型不等式來求解(2)一元二次不等式的解法判別式,,0,,0,,02,,,bac4二次函數(shù)2yaxbxca,，，,(0)O的圖象2一元二次方程,,,bbac4x,1,2b22a無實根xx,,,axbxca，，,,0(0)122axx,)(其中的根122axbxca，，,,0(0)b{|xxx,xx,}或{|xx,,}R212a的解集2axbxca，，,,0(0){|}xxxx,,,,12的解集〖1.2〗函數(shù)及其表示【1.2.1】函數(shù)的概念(1)函數(shù)的概念f?設、是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應法則，對于集合中任何一個數(shù)，在集合中都有唯一ABAxBfx()f確定的數(shù)和它對應，那么這樣的對應(包括集合，以及到的對應法則)叫做集合到的一ABABAB2fAB:,(個函數(shù)，記作?函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應法則(?只有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù)((2)區(qū)間的概念及表示法ab,axb,,axb,,ab,[,]ab?設是兩個實數(shù)，且，滿足的實數(shù)的集合叫做閉區(qū)間，記做;滿足的xaxb,,axb,,(,)ab實數(shù)的集合叫做開區(qū)間，記做;滿足，或的實數(shù)的集合叫做半開半閉區(qū)間，分xx[,)ab(,]abxaxaxbxb,,,,,,,別記做，;滿足的實數(shù)的集合分別記做x[,),(,),(,],(,)aabb，,，,,,,,((,)ab{|}xaxb,,注意:對于集合與區(qū)間，前者可以大于或等于，而后者必須abab,((3)求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則:fx()?是整式時，定義域是全體實數(shù)(fx()?是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù)(fx()?是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合(?對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1(,yx,tan?中，(xkkZ,，,(),2?零(負)指數(shù)冪的底數(shù)不能為零(fx()?若是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集(fx()[,]abfgx[()]?對于求復合函數(shù)定義域問題，一般步驟是:若已知的定義域為，其復合函數(shù)的定義域應agxb,,()由不等式解出(?對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論(?由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義((4)求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的(事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小(大)數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值(因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同(求函數(shù)值域與最值的常用方法:?觀察法:對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值(?配方法:將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值(2yfx,()ayxbyxcy()()()0，，,?判別式法:若函數(shù)可以化成一個系數(shù)含有的關于的二次方程，則xy2ay()0,,,,,,byaycy()4()()0在時，由于為實數(shù)，故必須有，從而確定函數(shù)的值域或最值(xy,3?不等式法:利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值(?換元法:通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題(?反函數(shù)法:利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關系確定函數(shù)的值域或最值(?數(shù)形結合法:利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值(?函數(shù)的單調(diào)性法(【1.2.2】函數(shù)的表示法(5)函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種(解析法:就是用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系(列表法:就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系(圖象法:就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系((6)映射的概念f?設、是兩個集合，如果按照某種對應法則，對于集合中任何一個元素，在集合中都有唯一的元素ABABf和它對應，那么這樣的對應(包括集合，以及到的對應法則)叫做集合到的映射，記作ABABABfAB:,(aAbB,,,?給定一個集合到集合的映射，且(如果元素和元素對應，那么我們把元素叫做元素ABaabb的象，元素叫做元素的原象(ab〖1.3〗函數(shù)的基本性質(zhì)【1.3.1】單調(diào)性與最大(小)值(1)函數(shù)的單調(diào)性?定義及判定方法函數(shù)的定義圖象判定方法性質(zhì)如果對于屬于定義域I內(nèi)某(1)利用定義個區(qū)間上的任意兩個自變量(2)利用已知函數(shù)的yy=f(X)的值x、x,當x<x時，都1212f(x)((2單調(diào)性(((有f(x)<f(x)，那么就說12(((3)利用函數(shù)圖象(在(((((((((f(x)1f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)(某個區(qū)間圖(((o象上升為增)xxx12(4)利用復合函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性(1)利用定義如果對于屬于定義域I內(nèi)某(2)利用已知函數(shù)的yy=f(X)個區(qū)間上的任意兩個自變量單調(diào)性f(x)1的值x、x，當x<x時，都1212(((3)利用函數(shù)圖象(在(((f(x)2有f(x)>f(x)，那么就說12((某個區(qū)間圖(((((((((f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)(ox象下降為減)(((xx12(4)利用復合函數(shù)?在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù)(4yfgx,[()]ugx,()yfu,()ugx,()yfgx,[()]?對于復合函數(shù)，令，若為增，為增，則為增;若yfu,()ugx,()yfgx,[()]yfu,()ugx,()yfgx,[()]為減，為減，則為增;若為增，為減，則yfu,()ugx,()yfgx,[()]為減;若為減，為增，則為減(ya(2)打“?”函數(shù)的圖象與性質(zhì)fxxa()(0),，,xfx()(,],,,a[,)a，,[,0),a(0,]a分別在、上為增函數(shù)，分別在、上為減函數(shù)(3)最大(小)值定義(xoxI,yfx,()?一般地，設函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足:(1)對于任意的，IMfxM(),都有;xI,fxM(),fx()(2)存在，使得(那么，我們稱是函數(shù)的最大值，記作M00fxM(),(maxxI,yfx,()fxm(),?一般地，設函數(shù)的定義域為，如果存在實數(shù)滿足:(1)對于任意的，都有;ImxI,fxm(),fxm(),fx()(2)存在，使得(那么，我們稱是函數(shù)的最小值，記作(m00max【1.3.2】奇偶性(4)函數(shù)的奇偶性?定義及判定方法函數(shù)的定義圖象判定方法性質(zhì)如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)(1)利用定義(要先任意一個x，都有f(,x)=,判斷定義域是否關于(((((((f(x),那么函數(shù)f(x)叫做奇函原點對稱)((((((數(shù)((2)利用圖象(圖象(關于原點對稱)函數(shù)的奇偶性如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)(1)利用定義(要先任意一個x，都有f(,x)=f(x),判斷定義域是否關于((((((((((那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)(原點對稱)((((2)利用圖象(圖象關于y軸對稱)x,0fx()f(0)0,?若函數(shù)為奇函數(shù)，且在處有定義，則(?奇函數(shù)在軸兩側相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在軸兩側相對稱的區(qū)間增減性相反(yy?在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)(或奇函數(shù))的和(或差)仍是偶函數(shù)(或奇函數(shù))，兩個偶函數(shù)(或奇函數(shù))的積(或商)是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積(或商)是奇函數(shù)(5〖補充知識〗函數(shù)的圖象(1)作圖利用描點法作圖:?確定函數(shù)的定義域;?化解函數(shù)解析式;?討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性);?畫出函數(shù)的圖象(利用基本函數(shù)圖象的變換作圖:要準確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象(?平移變換hh,0,左移個單位kk,0,上移個單位yfxyfxh,,,,,,,,,,，()()yfxyfxk,,,,,,,,,,，()()hh,0,|右移|個單位kk,0,|下移|個單位?伸縮變換01,,,,伸yfxyfx,,,,,,,()(),,1,縮,01,,,A縮yfxyAfx,,,,,,,()()A,1,伸?對稱變換y軸x軸yfxyfx,,,,,,,()()yfxyfx,,,,,,,()()直線yx,原點,1yfxyfx,,,,,,,,()()yfxyfx,,,,,,,()()去掉軸左邊圖象yyfxyfx,,,,,,,,,,,,,,,,,,()(||)保留軸右邊圖象，并作其關于軸對稱圖象yy保留軸上方圖象xyfxyfx,,,,,,,,,,,,()|()|將軸下方圖象翻折上去x(2)識圖對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關系((3)用圖函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結果的重要工具(要重視數(shù)形結合解題的思想方法(第二章基本初等函數(shù)(?)〖2.1〗指數(shù)函數(shù)【2.1.1】指數(shù)與指數(shù)冪的運算(1)根式的概念nnN,xaaRxRn,,,,,,,1?如果，且，那么叫做的次方根(當是奇數(shù)時，的次方xannan，nnnaa,a根用符號表示;當是偶數(shù)時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號表示;0nann的次方根是0;負數(shù)沒有次方根(nanna?式子叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)(當為奇數(shù)時，為任意實數(shù);當為偶數(shù)時，nanana,0(aa(0),,nnnnnnaa,()aa,?根式的性質(zhì):;當為奇數(shù)時，;當為偶數(shù)時，(nnaa,,||,,,aa(0),6(2)分數(shù)指數(shù)冪的概念mnmnn,1)且(0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0(?正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是:aaamnN,,,(0,,,，mm,11mnnnn,1)?正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是:且(0的負分數(shù)指數(shù)aamnN,,,,()()(0,,,，aa冪沒有意義(注意口訣:底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)((3)分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)rsrs，rsrsaaaarsR,,,,(0,,)()(0,,)aaarsR,,,??rrr()(0,0,)abababrR,,,,?【2.1.2】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(4)指數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)x定義yaa,,(0a,1)函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù)a,101,,axxyyy,ay,a圖象(0,1)y,1y,1(0,1)11OOxx00定義域R(0,)，,值域x,0(0,1)y,1圖象過定點，即當時，(過定點奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)RRxxax,,1(0)ax,,1(0)函數(shù)值的xxax,,1(0)ax,,1(0)變化情況xxax,,1(0)ax,,1(0)變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越高;在第二象限內(nèi)，越大圖象越低(aaa〖2.2〗對數(shù)函數(shù)【2.2.1】對數(shù)與對數(shù)運算(1)對數(shù)的定義7xxN,logaNaa,,,(0,1)且，則叫做以為底的對數(shù)，記作，其中叫做底數(shù)，叫做真數(shù)(?若xaaNNa?負數(shù)和零沒有對數(shù)(x?對數(shù)式與指數(shù)式的互化:xNaNaaN,,,,,,log(0,1,0)(a(2)幾個重要的對數(shù)恒等式blog10,log1a,，，logab,(aaa(3)常用對數(shù)與自然對數(shù)lnNlogNlogNe,2.71828lgN常用對數(shù):，即;自然對數(shù):，即(其中?)(10eaaMN,,,,0,1,0,0(4)對數(shù)的運算性質(zhì)如果，那么Mlogloglog()MNMN，,?加法:?減法:logloglogMN,,aaaaaaNlogNnaaN,nMMnRloglog(),,?數(shù)乘:?aalogNnnb??換底公式:loglog(0,)MMbnR,,,log(0,1)Nbb,,,且baaablogab【2.2.2】對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(5)對數(shù)函數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)名稱yxa,,log(0a,1)函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù)定義aa,101,,ax,1x,1yyyx,logyx,logaa圖象(1,0)11O(1,0)Oxx00(0,)，,定義域值域Rx,1(1,0)y,0圖象過定點，即當時，(過定點奇偶性非奇非偶(0,)，,(0,)，,在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)單調(diào)性8log0(1)xx,,log0(1)xx,,aa函數(shù)值的log0(1)xx,,log0(1)xx,,aa變化情況log0(01)xx,,,log0(01)xx,,,aa變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越靠低;在第四象限內(nèi)，越大圖象越靠高(aaa(6)反函數(shù)的概念yfx,()yfx,()xy,,()設函數(shù)的定義域為，值域為，從式子中解出，得式子(如果對于在AxyCxy,,()xy,,()中的任何一個值，通過式子，在中都有唯一確定的值和它對應，那么式子表示是xAxyC,1,1xy,,()yfx,()xfy,()yfx,()的函數(shù)，函數(shù)叫做函數(shù)的反函數(shù)，記作，習慣上改寫成((7)反函數(shù)的求法,1yfx,()xfy,()?確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域;?從原函數(shù)式中反解出;,1,1xfy,()yfx,()?將改寫成，并注明反函數(shù)的定義域((8)反函數(shù)的性質(zhì),1yfx,()yfx,()?原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關于直線對稱(yx,,1yfx,()yfx,()?函數(shù)的定義域、值域分別是其反函數(shù)的值域、定義域(',1Pab(,)yfx,()Pba(,)yfx,()?若在原函數(shù)的圖象上，則在反函數(shù)的圖象上(yfx,()?一般地，函數(shù)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù)(〖2.3〗冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義,yx,一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中為自變量，是常數(shù)(,x9(2)冪函數(shù)的圖象(3)冪函數(shù)的性質(zhì)?圖象分布:冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象(冪函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限(圖象關于軸對稱);是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限(圖象關于原點對稱);是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第一y象限((0,)，,(1,1)?過定點:所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都通過點(,,0,,0[0,)，,(0,)，,?單調(diào)性:如果，則冪函數(shù)的圖象過原點，并且在上為增函數(shù)(如果，則冪函數(shù)的圖象在上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近軸與軸(xyq,,?奇偶性:當為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)(當(其中互質(zhì)，和,,pq,ppqqppqZ,)，若為奇數(shù)為奇數(shù)時，則是奇函數(shù)，若為奇數(shù)為偶數(shù)時，則是偶函數(shù)，若為偶yx,yx,pqpqpqp數(shù)為奇數(shù)時，則是非奇非偶函數(shù)(yx,q,,,1x,101,,xyxx,,，,,(0,)?圖象特征:冪函數(shù)，當時，若，其圖象在直線下方，若，其圖yx,,,1x,101,,x象在直線上方，當時，若，其圖象在直線上方，若，其圖象在直線下方(yx,yx,yx,〖補充知識〗二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式22fxaxbxca()(0),，，,fxaxhka()()(0),,，,?一般式:?頂點式:?兩根式:10fxaxxxxa()()()(0),,,,(2)求二次函數(shù)解析式的方法12?已知三個點坐標時，宜用一般式(?已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大(小)值有關時，常使用頂點式(fx()?若已知拋物線與軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求更方便(x(3)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)b2fxaxbxca()(0),，，,?二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為頂點坐標是x,,,2a2bacb4,((,),24aabbba,0?當時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當時，x,,(,],,,[,),，,2a2a2a2bb4acb,a,0;當時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(,],,,[,),，,fx(),min2a2a4a2b4acb,時，(x,,fx(),max2a4a22fxaxbxca()(0),，，,,,,,bac40?二次函數(shù)當時，圖象與軸有兩個交點x,(MxMxMMxx(,0),(,0),||||,,,11221212||a2axbxca，，,,0(0)(4)一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關系定理(韋達定理)的運用，下面結合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布(22xx,xx,axbxca，，,,0(0)fxaxbxc(),，，設一元二次方程的兩實根為，且(令，從以下四1212b個方面來分析此類問題:?開口方向:?對稱軸位置:?判別式:?端點函數(shù)值符號(x,,a,2a?k,x?x,12yybx,,a,0f(k),02a,kOOxkxxx2112xx,bf(k),0x,,a,02a?x?x,k,1211yybf(k),0x,,a,02a,kOOx2xkxx211xx,bf(k),0a,0x,,2a?x,k,xaf(k),012,yya,0f(k),0,kOxxxOx2k112xx,f(k),0a,0?k,x?x,k1122,ya,0byx,,2a,f(k),01f(k),02,kxk1x221xOOx2kk112xx,,()0fk,1b()0fk,2x,,a,02a?有且僅有一個根x(或x)滿足k,x(或x),kf(k)f(k)0，并同時考慮f(k)=0或f(k)=0,121122,1212這兩種情況是否也符合yya,0,fk,fk,()0()011,kxk212xxOOx12kk211xx,,()0fk,2()0fk,a,02?k,x,k?p,x,p,112122此結論可直接由?推出(2fxaxbxca()(0),，，,[,]pq(5)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值1fx()[,]pq設在區(qū)間上的最大值為，最小值為，令(Mmxpq,，()02a,0(?)當時(開口向上)12bbbbmfp,()mfq,()，則?若，則?若，則?若,,ppq,,,,,qmf,,()2a2a2a2aby,a0,,xyybb,,a0a02a,,,,xx2a2affff(q)(p)(p)p(q)qqOxqppOOxxfbbbff(),f(),(p)f(),2a2a2a(q)bbMfq,()Mfp,()?若，則?，則,,x,,x002a2ayb,a0b,,yx,a0,,x2a2aff(p)qx0x(q)p0pOxqOxbfff(),2ab(p)(q)f(),2aa,0(?)當時(開口向下)bbbbMfp,()Mfq,()?若,,p，則?若pq,,,，則?若，則,,qMf,,()2a2a2a2ay,ba0yy,,bba0a0f(),ff(),f(),2a2a2a(q)ffp(p)(p)qqqOxppOOxxfffbbb,,x,,,,xx(p)(q)(q)2a2a2abbmfq,()mfp,()?若,,x，則?,,x，則(002a2ayy,ba0,ba0f(),f(),f2a2af(q)(p)xqp0x0pOqxOxffbb,,x,,(q)x2a(p)2a第三章函數(shù)的應用一、方程的根與函數(shù)的零點y,f(x)(x,D)f(x),01、函數(shù)零點的概念:對于函數(shù)，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)xy,f(x)(x,D)的零點。13y,f(x)f(x),0y,f(x)2、函數(shù)零點的意義:函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸x交點的橫坐標。即:f(x),0y,f(x)y,f(x)方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點(x,,3、函數(shù)零點的求法:y,f(x)求函數(shù)的零點:1f(x),0?(代數(shù)法)求方程的實數(shù)根;2y,f(x)?(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(4、二次函數(shù)的零點:2y,ax，bx，c(a,0)二次函數(shù)(2ax，bx，c,0,)?,,，方程有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零x點(2ax，bx，c,0,)?,,，方程有兩相等實根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點，二次函x數(shù)有一個二重零點或二階零點(2ax，bx，c,0,)?,,，方程無實根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點，二次函數(shù)無零點(x高中數(shù)學必修2知識點第一章空間幾何體1.1柱、錐、臺、球的結構特征1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖1三視圖:正視圖:從前往后側視圖:從左往右俯視圖:從上往下2畫三視圖的原則:長對齊、高對齊、寬相等3直觀圖:斜二測畫法4斜二測畫法的步驟:(1).平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸;(2).平行于y軸的線長度變半，平行于x，z軸的線長度不變;3).畫法要寫好。(5用斜二測畫法畫出長方體的步驟:(1)畫軸(2)畫底面(3)畫側棱(4)成圖1.3空間幾何體的表面積與體積(一)空間幾何體的表面積1棱柱、棱錐的表面積:各個面面積之和22S,,rl，,r2圓柱的表面積3圓錐的表面積S,2,rl，2,r222S,,rl，,r，,Rl，,RS,4,R4圓臺的表面積5球的表面積(二)空間幾何體的體積1V,S，h1柱體的體積2錐體的體積V,S，h底底313臺體的體積4球體的體積V,(S，SS，S)，h下下上上DC343αVR,,3AB第二章直線與平面的位置關系2.1空間點、直線、平面之間的位置關系2.1.1141平面含義:平面是無限延展的2平面的畫法及表示0(1)平面的畫法:水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成45，且橫邊畫成鄰邊的2倍長(如圖)(2)平面通常用希臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。3三個公理:(1)公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)符號表示為A?LAB?L=>Lαα?LA?αB?α公理1作用:判斷直線是否在平面內(nèi)(2)公理2:過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。AB?α?C符號表示為:A、B、C三點不共線=>有且只有一個平面α，?使A?α、B?α、C?α。公理2作用:確定一個平面的依據(jù)。(3)公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。β符號表示為:P?α?β=>α?β=L，且P?L公理3作用:判定兩個平面是否相交的依據(jù)PαL?2.1.2空間中直線與直線之間的位置關系1空間的兩條直線有如下三種關系:相交直線:同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點;共面直線平行直線:同一平面內(nèi)，沒有公共點;異面直線:不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。2公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為:設a、b、c是三條直線a?b=>a?cc?b強調(diào):公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。公理4作用:判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3等角定理:空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補4注意點:?a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選擇無關，為簡便，點O一般取在兩直線中的一條上;,?兩條異面直線所成的角θ?(0，);2?當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a?b;?兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形;?計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。2.1.3—2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關系1、直線與平面有三種位置關系:(1)直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點(2)直線與平面相交——有且只有一個公共點(3)直線在平面平行——沒有公共點指出:直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aα來表示15aαa?α=Aa?α2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理:平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡記為:線線平行，則線面平行。符號表示:aαbβ=>a?αa?b2.2.2平面與平面平行的判定1、兩個平面平行的判定定理:一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。符號表示:aβbβa?b=Pβ?αa?α?αb2、判斷兩平面平行的方法有三種:1)用定義;((2)判定定理;(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行。2.2.3—2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、定理:一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為:線面平行則線線平行。符號表示:a?αaβa?bα?β=b作用:利用該定理可解決直線間的平行問題。、定理:如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。2符號表示:α?βα?γ=aa?bβ?γ=b作用:可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1直線與平面垂直的判定1、定義16如果直線L與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面α互相垂直，記作L?α，直線L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時,它們唯一公共點P叫做垂足。Lpα2、判定定理:一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。2.3.2平面與平面垂直的判定1、二面角的概念:表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形A梭lβBα2、二面角的記法:二面角α-l-β或α-AB-β3、兩個平面互相垂直的判定定理:一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。2.3.3—2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理:垂直于同一個平面的兩條直線平行。2性質(zhì)定理:兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。本章知識結構框圖平面(公理1、公理2、公理3、公理4)空間直線、平面的位置關系直線與平面的位置關系平面與平面的位置關系第三章直線與方程3.1直線的傾斜角和斜率3.1傾斜角和斜率1、直線的傾斜角的概念:當直線l與x軸相交時,取x軸作為基準,x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直17線l的傾斜角.特別地,當直線l與x軸平行或重合時,規(guī)定α=0?.2、傾斜角α的取值范圍:0??α,180?.當直線l與x軸垂直時,α=90?.3、直線的斜率:一條直線的傾斜角α(α?90?)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是k=tanα?當直線l與x軸平行或重合時,α=0?,k=tan0?=0;?當直線l與x軸垂直時,α=90?,k不存在.由此可知,一條直線l的傾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.4、直線的斜率公式:給定兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1?x2,用兩點的坐標來表示直線P1P2的斜率:斜率公式:k=y2-y1/x2-x13.1.2兩條直線的平行與垂直1、兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等;反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即注意:上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，結論并不成立(即如果k1=k2,那么一定有L1?L22、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負倒數(shù);反之，如果它們的斜率互為負倒數(shù)，那么它們互相垂直，即3.2.1直線的點斜式方程lkP(x,y)y,y,k(x,x)1、直線的點斜式方程:直線經(jīng)過點，且斜率為00000lky(0,b)y,kx，b2、、直線的斜截式方程:已知直線的斜率為，且與軸的交點為3.2.2直線的兩點式方程P(x,x),P(x,y)(x,x,y,y)1、直線的兩點式方程:已知兩點其中y-y1/y-y2=x-x1/x-x21122221212yl(a,0)(0,b)a,0,b,02、直線的截距式方程:已知直線與軸的交點為A，與軸的交點為B，其中x3.2.3直線的一般式方程x,yAx，By，C,01、直線的一般式方程:關于的二元一次方程(A，B不同時為0)2、各種直線方程之間的互化。3.3直線的交點坐標與距離公式3.3.1兩直線的交點坐標1、給出例題:兩直線交點坐標L1:3x+4y-2=0L1:2x+y+2=03420xy，,,,解:解方程組得x=-2，y=2,2220xy，，,,18所以L1與L2的交點坐標為M(-2，2)3.3.2兩點間距離兩點間的距離公式3.3.3點到直線的距離公式1(點到直線距離公式:Ax，By，C00P(x,y)l:Ax，By，C,0到直線的距離為:點d,0022A，B2、兩平行線間的距離公式:lll行線直線和的一般式方程為:已知兩條平22121PPxxyy,,，,，，，，122221Ax，By，C,0，1C,C12lll，則與的距離為Ax，By，C,0d,212222A，B第四章圓與方程4.1.1圓的標準方程222()()xaybr,，,,1、圓的標準方程:圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程222Mxy(,)()()xaybr,，,,2、點與圓的關系的判斷方法:00222222rr()()xayb,，,()()xayb,，,(1)>，點在圓外(2)=，點在圓上0000222r()()xayb,，,(3)<，點在圓內(nèi)004.1.2圓的一般方程22x，y，Dx，Ey，F(xiàn),01、圓的一般方程:2、圓的一般方程的特點:(1)?x2和y2的系數(shù)相同，不等于0(?沒有xy這樣的二次項((2)圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F，因之只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了((3)、與圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小，幾何特征較明顯。4.2.1圓與圓的位置關系1、用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關系(DE22ax，by，c,0x，y，Dx，Ey，F(xiàn),0(,,,)設直線:，圓:，圓的半徑為，圓心到直線的rlC2219，則判別直線與圓的位置關系的依據(jù)有以下幾點:距離為d(1)當時，直線與圓相離;(2)當時，直線與圓相切;d,rlCd,rlC(3)當時，直線與圓相交;d,rlC4.2.2圓與圓的位置關系兩圓的位置關系(設兩圓的連心線長為，則判別圓與圓的位置關系的依據(jù)有以下幾點:lCCCCl,r，rl,r，r(1)當時，圓與圓相離;(2)當時，圓與圓外切;12121212CC|r,r|,l,r，r(3)當時，圓與圓相交;121212CCCCl,|r,r|l,|r,r|(4)當時，圓與圓內(nèi)切;(5)當時，圓與圓內(nèi)含;121212124.2.3直線與圓的方程的應用1、利用平面直角坐標系解決直線與圓的位置關系;2、過程與方法用坐標法解決幾何問題的步驟:第一步:建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題;第二步:通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題;R第三步:將代數(shù)運算結果“翻譯”成幾何結論(M4.3.1空間直角坐標系OQy(x,y,z)1、點M對應著唯一確定的有序?qū)崝?shù)組，、、分別是P、Q、R在、、zzyyxxPM'軸上的坐標x(x,y,z)2、有序?qū)崝?shù)組，對應著空間直角坐標系中的一點(x,y,z)3、空間中任意點M的坐標都可以用有序?qū)崝?shù)組來表示，該數(shù)組叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記(x,y,z)M，叫做點M的橫坐標，叫做點M的縱坐標，叫做點M的豎zyxz坐標。4.3.2空間兩點間的距離公式P2P(x,y,z)P(x,y,z)1、空間中任意一點到點之間的距離公式11112222P1O222HyNMPP,(x,x)，(y,y)，(z,z)2212121212MM1NN1x20高中數(shù)學必修3知識點第一章算法初步1.1.1算法的概念1、算法概念:在數(shù)學上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成.2.算法的特點:(1)有限性:一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的.(2)確定性:算法中的每一步應該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結果，而不應當是模棱兩可.(3)順序性與正確性:算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進行下一步，并且每一步都準確無誤，才能完成問題.(4)不唯一性:求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法.(5)普遍性:很多具體的問題，都可以設計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經(jīng)過有限、事先設計好的步驟加以解決.1.1.2程序框圖1、程序框圖基本概念:(一)程序構圖的概念:程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準確、直觀地表示算法的圖形。一個程序框圖包括以下幾部分:表示相應操作的程序框;帶箭頭的流程線;程序框外必要文字說明。(二)構成程序框的圖形符號及其作用程序框名稱功能表示一個算法的起始和結束，是任何流程圖不可少的。起止框表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任何需輸入、輸出框要輸入、輸出的位置。賦值、計算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式等分別處理框?qū)懺诓煌挠靡蕴幚頂?shù)據(jù)的處理框內(nèi)。判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標明“是”或判斷框“Y”;不成立時標明“否”或“N”。學習這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用及使用規(guī)則，畫程序框圖的規(guī)則如下:1、使用標準的圖形符號。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、除判斷框外，大多數(shù)流程圖符號只有一個21進入點和一個退出點。判斷框具有超過一個退出點的唯一符號。4、判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結果;另一類是多分支判斷，有幾種不同的結果。5、在圖形符號內(nèi)描述的語言要非常簡練清楚。(三)、算法的三種基本邏輯結構:順序結構、條件結構、循環(huán)結構。1、順序結構:順序結構是最簡單的算法結構，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進行的，它是由若干個依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一種基本算法結構。順序結構在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而A下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，A框和B框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著執(zhí)B行B框所指定的操作。2、條件結構:條件結構是指在算法中通過對條件的判斷根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結構。條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框或B框。無論P條件是否成立，只能執(zhí)行A框或B框之一，不可能同時執(zhí)行A框和B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行。一個判斷結構可以有多個判斷框。3、循環(huán)結構:在一些算法中，經(jīng)常會出現(xiàn)從某處開始，按照一定條件，反復執(zhí)行某一處理步驟的情況，這就是循環(huán)結構，反復執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結構中一定包含條件結構。循環(huán)結構又稱重復結構，循環(huán)結構可細分為兩類:(1)、一類是當型循環(huán)結構，如下左圖所示，它的功能是當給定的條件P成立時，執(zhí)行A框，A框執(zhí)行完畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行A框，如此反復執(zhí)行A框，直到某一次條件P不成立為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結構。(2)、另一類是直到型循環(huán)結構，如下右圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則繼續(xù)執(zhí)行A框，直到某一次給定的條件P成立為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結構。AAPP成立成立不成立不成立當型循環(huán)結構直到型循環(huán)結構22注意:1循環(huán)結構要在某個條件下終止循環(huán)，這就需要條件結構來判斷。因此，循環(huán)結構中一定包含條件結構，但不允許“死循環(huán)”。2在循環(huán)結構中都有一個計數(shù)變量和累加變量。計數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結果。計數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的，累加一次，計數(shù)一次。1.2.1輸入、輸出語句和賦值語句1、輸入語句(1)輸入語句的一般格式圖形計算器格式INPUT“提示內(nèi)容”;變量INPUT“提示內(nèi)容”，變量(2)輸入語句的作用是實現(xiàn)算法的輸入信息功能;(3)“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息，變量是指程序在運行時其值是可以變化的量;(4)輸入語句要求輸入的值只能是具體的常數(shù)，不能是函數(shù)、變量或表達式;(5)提示內(nèi)容與變量之間用分號“;”隔開，若輸入多個變量，變量與變量之間用逗號“，”隔開。2、輸出語句(1)輸出語句的一般格式圖形計算器格式Disp“提示內(nèi)容”，變量PRINT“提示內(nèi)容”;表達式(2)輸出語句的作用是實現(xiàn)算法的輸出結果功能;(3)“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息，表達式是指程序要輸出的數(shù)據(jù);(4)輸出語句可以輸出常量、變量或表達式的值以及字符。3、賦值語句圖形計算器(1)賦值語句的一般格式格式表達式變量,變量,表達式(2)賦值語句的作用是將表達式所代表的值賦給變量;(3)賦值語句中的“,”稱作賦值號，與數(shù)學中的等號的意義是不同的。賦值號的左右兩邊不能對換，它將賦值號右邊的表達式的值賦給賦值號左邊的變量;(4)賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達式，右邊表達式可以是一個數(shù)據(jù)、常量或算式;(5)對于一個變量可以多次賦值。注意:?賦值號左邊只能是變量名字，而不能是表達式。如:2=X是錯誤的。?賦值號左右不能對換。如“A=B”“B=A”的含義運行結果是不同的。?不能利用賦值語句進行代數(shù)式的演算。(如化簡、因式分解、解方程等)?賦值號“=”與數(shù)學中的等號意義不同。1(2(2條件語句1、條件語句的一般格式有兩種:(1)IF—THEN—ELSE語句;(2)IF—THEN語句。2、IF—THEN—ELSE語句IF—THEN—ELSE語句的一般格式為圖1，對應的程序框圖為圖2。IF條件THEN否滿足條件,語句1是ELSE語句2語句2語句1ENDIF23圖1圖2分析:在IF—THEN—ELSE語句中，“條件”表示判斷的條件，“語句1”表示滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容;“語句2”表示不滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容;ENDIF表示條件語句的結束。計算機在執(zhí)行時，首先對IF后的條件進行判斷，如果條件符合，則執(zhí)行THEN后面的語句1;若條件不符合，則執(zhí)行ELSE后面的語句2。3、IF—THEN語句IF—THEN語句的一般格式為圖3，對應的程序框圖為圖4。IF條件THEN是滿足條件,語句ENDIF(圖3)語句否(圖4)注意:“條件”表示判斷的條件;“語句”表示滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容，條件不滿足時，結束程序;ENDIF表示條件語句的結束。計算機在執(zhí)行時首先對IF后的條件進行判斷，如果條件符合就執(zhí)行THEN后邊的語句，若條件不符合則直接結束該條件語句，轉(zhuǎn)而執(zhí)行其它語句。1(2(3循環(huán)語句循環(huán)結構是由循環(huán)語句來實現(xiàn)的。對應于程序框圖中的兩種循環(huán)結構，一般程序設計語言中也有當型(WHILE型)和直到型(UNTIL型)兩種語句結構。即WHILE語句和UNTIL語句。1、WHILE語句(1)WHILE語句的一般格式是對應的程序框圖是循環(huán)體WHILE條件是循環(huán)體滿足條件,WEND否(2)當計算機遇到WHILE語句時，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執(zhí)行WHILE與WEND之間的循環(huán)體;然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執(zhí)行循環(huán)體，這個過程反復進行，直到某一次條件不符合為止。這時，計算機將不執(zhí)行循環(huán)體，直接跳到WEND語句后，接著執(zhí)行WEND之后的語句。因此，當型循環(huán)有時也稱為“前測試型”循環(huán)。2、UNTIL語句(1)UNTIL語句的一般格式是對應的程序框圖是DO循環(huán)體循環(huán)體LOOPUNTIL條件否滿足條件,是24(2)直到型循環(huán)又稱為“后測試型”循環(huán)，從UNTIL型循環(huán)結構分析，計算機執(zhí)行該語句時，先執(zhí)行一次循環(huán)體，然后進行條件的判斷，如果條件不滿足，繼續(xù)返回執(zhí)行循環(huán)體，然后再進行條件的判斷，這個過程反復進行，直到某一次條件滿足時，不再執(zhí)行循環(huán)體，跳到LOOPUNTIL語句后執(zhí)行其他語句，是先執(zhí)行循環(huán)體后進行條件判斷的循環(huán)語句。分析:當型循環(huán)與直到型循環(huán)的區(qū)別:(先由學生討論再歸納)(1)當型循環(huán)先判斷后執(zhí)行，直到型循環(huán)先執(zhí)行后判斷;在WHILE語句中，是當條件滿足時執(zhí)行循環(huán)體，在UNTIL語句中，是當條件不滿足時執(zhí)行循環(huán)1.3.1輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術1、輾轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下:SRRR0000(1):用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個商和一個余數(shù);(2):若,0，則n為m，n的最大公約數(shù);若RSRRRR011111?0，則用除數(shù)n除以余數(shù)得到一個商和一個余數(shù);(3):若,0，則為m，n的最大公約數(shù);若?0，RRSRRR0122nn,1則用除數(shù)除以余數(shù)得到一個商和一個余數(shù);??依次計算直至,0，此時所得到的即為所求的最大公約數(shù)。2、更相減損術我國早期也有求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術。在《九章算術》中有更相減損術求最大公約數(shù)的步驟:可半者半之，不可半者，副置分母?子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。翻譯為:(1):任意給出兩個正數(shù);判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡;若不是，執(zhí)行第二步。(2):以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)(等數(shù))就是所求的最大公約數(shù)。例2用更相減損術求98與63的最大公約數(shù).分析:(略)3、輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術的區(qū)別:(1)都是求最大公約數(shù)的方法，計算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術以減法為主，計算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計算次數(shù)相對較少，特別當兩個數(shù)字大小區(qū)別較大時計算次數(shù)的區(qū)別較明顯。(2)從結果體現(xiàn)形式來看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結果是以相除余數(shù)為0則得到，而更相減損術則以減數(shù)與差相等而得到1.3.2秦九韶算法與排序1、秦九韶算法概念:nn-1f(x)=ax+ax+….+ax+a求值問題nn-110nn-1n-1n-2n-2n-3f(x)=ax+ax+….+ax+a=(ax+ax+….+a)x+a=((ax+ax+….+a)x+a)x+ann-110nn-110nn-1210=......=(...(ax+a)x+a)x+...+a)x+ann-1n-210求多項式的值時，首先計算最內(nèi)層括號內(nèi)依次多項式的值，即v=ax+a1nn-1然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值，即v=vx+av=vx+a......v=vx+a21n-232n-3nn-1025這樣，把n次多項式的求值問題轉(zhuǎn)化成求n個一次多項式的值的問題。2、兩種排序方法:直接插入排序和冒泡排序1、直接插入排序基本思想:插入排序的思想就是讀一個，排一個。將第,個數(shù)放入數(shù)組的第,個元素中，以后讀入的數(shù)與已存入數(shù)組的數(shù)進行比較，確定它在從大到小的排列中應處的位置(將該位置以及以后的元素向后推移一個位置，將讀入的新數(shù)填入空出的位置中((由于算法簡單，可以舉例說明)2、冒泡排序基本思想:依次比較相鄰的兩個數(shù),把大的放前面,小的放后面.即首先比較第1個數(shù)和第2個數(shù),大數(shù)放前,小數(shù)放后.然后比較第2個數(shù)和第3個數(shù)......直到比較最后兩個數(shù).第一趟結束,最小的一定沉到最后.重復上過程,仍從第1個數(shù)開始,到最后第2個數(shù)......由于在排序過程中總是大數(shù)往前,小數(shù)往后,相當氣泡上升,所以叫冒泡排序.1.3.3進位制1、概念:進位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值?？墒褂脭?shù)字符號的個數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進位制，簡稱n進制?，F(xiàn)在最常用的是十進制，通常使用10個阿拉伯數(shù)字0-9進行記數(shù)。對于任何一個數(shù)，我們可以用不同的進位制來表示。比如:十進數(shù)57，可以用二進制表示為111001，也可以用八進制表示為71、用十六進制表示為39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。一般地，若k是一個大于一的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進制可以表示為:aaaaakaaak...(0,0,...,,),,,,，nnknn,,110()110而表示各種進位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來表示,如111001表示二進制數(shù),34表示5進制數(shù)(2)(5)第二章統(tǒng)計2.1.1簡單隨機抽樣1(總體和樣本在統(tǒng)計學中,把研究對象的全體叫做總體(把每個研究對象叫做個體(把總體中個體的總數(shù)叫做總體容量(為了研究總體的有關性質(zhì)，一般從總體中隨機抽取一部分:，，，研究，我們稱它為樣本(其中個體的個數(shù)稱為樣本容量(2(簡單隨機抽樣，也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨機地抽取調(diào)查單位。特點是:每個樣本單位被抽中的可能性相同(概率相等)，樣本的每個單位完全獨立，彼此間無一定的關聯(lián)性和排斥性。簡單隨機抽樣是其它各種抽樣形式的基礎。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時，才采用這種方法。3(簡單隨機抽樣常用的方法:26(1)抽簽法;?隨機數(shù)表法;?計算機模擬法;?使用統(tǒng)計軟件直接抽取。在簡單隨機抽樣的樣本容量設計中，主要考慮:?總體變異情況;?允許誤差范圍;?概率保證程度。4(抽簽法:(1)給調(diào)查對象群體中的每一個對象編號;(2)準備抽簽的工具，實施抽簽(3)對樣本中的每一個個體進行測量或調(diào)查例:請調(diào)查你所在的學校的學生做喜歡的體育活動情況。5(隨機數(shù)表法:例:利用隨機數(shù)表在所在的班級中抽取10位同學參加某項活動。2.1.2系統(tǒng)抽樣1(系統(tǒng)抽樣(等距抽樣或機械抽樣):把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣本采用簡單隨機抽樣的辦法抽取。K(抽樣距離)=N(總體規(guī)模)/n(樣本規(guī)模)前提條件:總體中個體的排列對于研究的變量來說，應是隨機的，即不存在某種與研究變量相關的規(guī)則分布。可以在調(diào)查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對比幾次樣本的特點。如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分布承某種循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距離重合。2(系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實際中最為常用的抽樣方法之一。因為它對抽樣框的要求較低，實施也比較簡單。更為重要的是，如果有某種與調(diào)查指標相關的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊的話，使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計精度。2.1.3分層抽樣1(分層抽樣(類型抽樣):先將總體中的所有單位按照某種特征或標志(性別、年齡等)劃分成若干類型或?qū)哟?，然后再在各個類型或?qū)哟沃胁捎煤唵坞S機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構成總體的樣本。兩種方法:1(先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。2(先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。2(分層抽樣是把異質(zhì)性較強的總體分成一個個同質(zhì)性較強的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進而代表總體。分層標準:27(1)以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關的變量作為分層的標準。(2)以保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強、各層之間異質(zhì)性強、突出總體內(nèi)在結構的變量作為分層變量。(3)以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。3(分層的比例問題:(1)按比例分層抽樣:根據(jù)各種類型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比重來抽取子樣本的方法。(2)不按比例分層抽樣:有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會非常少，此時采用該方法，主要是便于對不同層次的子總體進行專門研究或進行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時，則需要先對各層的數(shù)據(jù)資料進行加權處理，調(diào)整樣本中各層的比例，使數(shù)據(jù)恢復到總體中各層實際的比例結構。2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征xxx，，？，12nx1、本均值:,n222xxxxxx(,)，(,)，？，(,)212n2、(樣本標準差:ss,,n3(用樣本估計總體時，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會有偏差。在隨機抽樣中，這種偏差是不可避免的。雖然我們用樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標準差并不是總體的真正的分布、均值和標準差，而只是一個估計，但這種估計是合理的，特別是當樣本量很大時，它們確實反映了總體的信息。4((1)如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個共同的常數(shù)，標準差不變(2)如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)乘以一個共同的常數(shù)k，標準差變?yōu)樵瓉淼膋倍(x,3s,x，3s)(3)一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對標準差的影響，區(qū)間的應用;“去掉一個最高分，去掉一個最低分”中的科學道理2.3.2兩個變量的線性相關1、概念:(1)回歸直線方程(2)回歸系數(shù)2(最小二乘法3(直線回歸方程的應用(1)描述兩變量之間的依存關系;利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存的數(shù)量關系(2)利用回歸方程進行預測;把預報因子(即自變量x)代入回歸方程對預報量(即因變量Y)進行估計，即可得到個體Y值的容許區(qū)間。(3)利用回歸方程進行統(tǒng)計控制規(guī)定Y值的變化，通過控制x的范圍來實現(xiàn)統(tǒng)計控制的目標。如已經(jīng)得到了空28的濃度和汽車流量間的回歸方程，即可通過控制汽車流量來控制空氣中NO的濃度。氣中NO224(應用直線回歸的注意事項(1)做回歸分析要有實際意義;(2)回歸分析前,最好先作出散點圖;(3)回歸直線不要外延。第三章概率3.1.1—3.1.2隨機事件的概率及概率的意義1、基本概念:(1)必然事件:在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的必然事件;(2)不可能事件:在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的不可能事件;(3)確定事件:必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件;(4)隨機事件:在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機事件;(5)頻數(shù)與頻率:在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nAnAn為事件A出現(xiàn)的頻數(shù);稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=為事件A出現(xiàn)的概率:對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率。nAn(6)頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系:隨機事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)nA與試驗總次數(shù)n的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數(shù)叫做隨機事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復試驗的前提下可以近似地作為這個事件的概率3.1.3概率的基本性質(zhì)1、基本概念:(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件(2)若A?B為不可能事件，即A?B=ф，那么稱事件A與事件B互斥;(3)若A?B為不可能事件，A?B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件;(4)當事件A與B互斥時，滿足加法公式:P(A?B)=P(A)+P(B);若事件A與B為對立事件，則A?B為必然事件，所以P(A?B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性質(zhì):1)必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0?P(A)?1;2)當事件A與B互斥時，滿足加法公式:P(A?B)=P(A)+P(B);3)若事件A與B為對立事件，則A?B為必然事件，所以P(A?B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B);4)互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發(fā)生，其具體包括三種不29同的情形:(1)事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生;(2)事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生;(3)事件A與事件B同時不發(fā)生，而對立事件是指事件A與事件B有且僅有一個發(fā)生，其包括兩種情形;(1)事件A發(fā)生B不發(fā)生;(2)事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對立事件互斥事件的特殊情形。3.2.1—3.2.2古典概型及隨機數(shù)的產(chǎn)生1、(1)古典概型的使用條件:試驗結果的有限性和所有結果的等可能性。(2)古典概型的解題步驟;?求出總的基本事件數(shù);A包含的基本事件數(shù)總的基本事件個數(shù)A)=?求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式P(3.3.1—3.3.2幾何概型及均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生1、基本概念:(1)幾何概率模型:如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型;(2)幾何概型的概率公式:構成事件A的區(qū)域長度(面積或體積)試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度(面積或體積)P(A)=;(2)幾何概型的特點:1)試驗中所有可能出現(xiàn)的結果(基本事件)有無限多個;2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等(高中數(shù)學必修4知識點第一章三角函數(shù)正角:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角,,1、任意角負角:按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角,,零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角,2、角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角(,x,第一象限角的集合為,,kkk,,,,，,,36036090,,,第二象限角的集合為,kkk,，,,，,,36090360180,,,第三象限角的集合為,,kkk,，,,,，,,360180360270,,,第四象限角的集合為,,kkk,，,,,，,,360270360360,,,終邊在軸上的角的集合為,,,,,,kk180,x,,30終邊在軸上的角的集合為,,,,，,,kk18090,y,,終邊在坐標軸上的角的集合為,,,,,,kk90,,,3、與角終邊相同的角的集合為,,,,,，,,kk360,,,,14、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做弧度(ll5、半徑為的圓的圓心角所對弧的長為，則角的弧度數(shù)的絕對值是(,,r,,r,180,,2360,,6、弧度制與角度制的換算公式:，，(1,,,157.3,,,180,,lCSCrl,，2,,為弧度制lr,,7、若扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，周長為，面積為，則，，r，，112(,,,Slrr2222xy,8、設是一個任意大小的角，的終邊上任意一點的坐標是，它與原點的距離是，rrxy,，,0,,,，，，，xyyy則，，(sin,,cos,,tan0,,,x，，rrxTP9、三角函數(shù)在各象限的符號:第一象限全為正，第二象限正弦為正，v第三象限正切為正，第四象限余弦為正(OMxsin,,,,cos,,,,tan,,,,10、三角函數(shù)線:，，(A11、角三角函數(shù)的基本關系:222222sin1cos,cos1sin,,,,,,,,1sincos1,,，,;，，，，sin,sin,,,(,,,sintancos,cos2tan,,,,,，，,,tancos,,,,12、函數(shù)的誘導公式:1sin2sink,,,，,cos2cosk,,,，,tan2tankk,,,，,,,，，(，，，，，，，，，，2sinsin,,,，,,coscos,,,，,,tantan,,,，,，，(，，，，，，，，3sinsin,,,,,coscos,,,,tantan,,,,,，，(，，，，，，，，4sinsin,,,,,coscos,,,,,,tantan,,,,,,，，(，，，，，，，，口訣:函數(shù)名稱不變，符號看象限(,,,,,,,,,,,,5sincos，cossin(6sincos，cossin(,,，,,,，,,,,,,,,,,，，，，,,,,,,,,2222,,,,,,,,口訣:正弦與余弦互換，符號看象限(,yx,，sin,yx,，sin,13、?的圖象上所有點向左(右)平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象;再將函數(shù)，，，，311yx,，sin,,倍(縱坐標不變)，得到函數(shù)的圖象;再將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長(縮短)到原來的，，,,yx,，sin,,yx,,，sin,,的圖象上所有點的縱坐標伸長(縮短)到原來的倍(橫坐標不變)，得到函數(shù)，，，，的圖象(1yx,sin?數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長(縮短)到原來的倍(縱坐標不變)，得到函數(shù),,yx,sin,yx,sin,的圖象;再將函數(shù)的圖象上所有點向左(右)平移個單位長度，得到函數(shù),,yx,，sin,,yx,，sin,,的圖象;再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標伸長(縮短)到原來的倍(橫坐，，，，yx,,，sin,,標不變)，得到函數(shù)的圖象(，，yx,,，,,,sin0,0,,,14、函數(shù)的性質(zhì):，，，，2,1,,,,x，振幅:;?周期:;?頻率:;?相位:;?初相:(?,,,,f,,2,,xx,yxx,yyx,,，，,sin,,函數(shù)，當時，取得最小值為;當時，取得最大值為，則，，1min2max,11,,,xxxx，，(,,，yy,,,yy，，，，，，maxminmaxmin2112222、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì):15函yx,cosyx,tanyx,sin數(shù)性質(zhì)圖象,,,xxkk,定義域,，,,,RR,,2,,,1,1,1,1值域,,,,R,xkk,,,2,時，當k,,當時，xk,，2，，,，，2,y,1xk,，2,,;當y,1最值;當既無最大值也無最小值xk,,2,maxmax2y,,1y,,1k,,k,,時，(時，(，，，，minmin,周期性2,2,奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)32,,，，在2,2kk,，,,,,22，，2,2kkk,,,,,,上是在，，,,,,,,k,,上是增函數(shù);在在kk,,，，，,,,,22,,2,2kk,,,，增函數(shù);在單調(diào)性,,,,3，，k,,上是增函數(shù)(，，2,2kk,,，，,,k,,上是減函數(shù)(，，22，，k,,上是減函數(shù)(，，kk,,0,,對稱中心,，，，，,,對稱中心kk,0k，,,,,，，,,,,對稱中心,0k,,，，2,,,,對稱性,2,,對稱軸xkk,，,,,，，2xkk,,,,對稱軸無對稱軸，，第二章平面向量16、向量:既有大小，又有方向的量(數(shù)量:只有大小，沒有方向的量(0有向線段的三要素:起點、方向、長度(零向量:長度為的向量(1單位向量:長度等于個單位的向量(平行向量(共線向量):方向相同或相反的非零向量(零向量與任一向量平行(相等向量:長度相等且方向相同的向量(17、向量加法運算:?三角形法則的特點:首尾相連(?平行四邊形法則的特點:共起點(?三角形不等式:(ababab,,，,，abba，,，?運算性質(zhì):?交換律:;aaa，,，,00?結合律:;?(abcabc，，,，，，，，，Caxy,,bxy,,abxxyy，,，，,?坐標運算:設，，則(，，，，，，11221212a,18、向量減法運算:b?三角形法則的特點:共起點，連終點，方向指向被減向量(,axy,,bxy,,abxxyy,,,,,?坐標運算:設，，則(，，，，，，11221212abCC,,,,,,,,,xy,xy,,,,,,xxyy,設、兩點的坐標分別為，，則(,，，，，，，1122121219、向量數(shù)乘運算:,a,a?實數(shù)與向量的積是一個向量的運算叫做向量的數(shù)乘，記作(,,aa,?;,,0,aa,,0,aa,,0,a,0?當時，的方向與的方向相同;當時，的方向與的方向相反;當時，(,,,,aa,,,,,，,，aaa?運算律:?;?;?,,,abab，,，(，，，，，，，，33axy,,,,,,axyxy,,,,，則(?坐標運算:設，，，，，，,20、向量共線定理:向量與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)，使ba,,(aa,0，，xyxy,,0aaxy,,bxy,,b,0設，，其中，則當且僅當時，向量、共線(bb,0，，，，，，12211122aee21、平面向量基本定理:如果、是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有12,,aee,，,,ee一對實數(shù)、，使((不共線的向量、作為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底)12112212,,,,xy,xy,,,,,,,22、分點坐標公式:設點是線段上的一點，、的坐標分別是，，當時，,，，，，1212112212xxyy，，,,,,1212,,1時，就為中點公式。